微积分讲义.doc

1、考研数学强化讲义微积分1.5 常规考研题型分析 常规考点一 简单极限的计算（热点）（2004）若 ，则 b=0sinlm(co)5xbea-=-a（2005） 2li1x+（2006） ()linn-=（2007）32lim(cosi)xxx+（2009）s230li1xe-=（2010 ） 若 ，则 等于0li1xxae-aA 0 B 1 C 2 D 3（2011）设 ，则()0()lim3xttf=+()f=（2012） 1cosin4liaxxp-常规考点二 无穷小、无穷大及其阶的比较（重点）（2007）当 时，与 等价的无穷小量是0+xA B C D 1xe-ln(1)1x+-1cos

2、x-(2009)当 时， 与 是等价的无穷小，则sinfxa=-2()ln()gb=A B ,6ab- ,6C D 1=- 1-（2010）设 ，则当 充分大时有1010()ln,(),()xfxgxhe=A B ghf (,)-+（2009）函数 的可去间断点的个数为3()sinxfp-A 1 B 2 C 3 D 无穷多个（2008）设函数 在-1,1上连续，则 是函数 的()fx0x=0()()xftdg=A 跳跃间断点 B 可去间断点 C 无穷间断点 D 震荡间断点（2004)设 在 内有定义，且 ，()f,)-+lim()xfa，则10()fxgx=A 必是 的第一类间断点 B 必是

3、的第二类间断点 ()g0x=()gxC 必是 的连续点 D 在点 处的连续性与 a 的取值有关0x=x()gx(2013) 函数 的可去间断点的个数为 【 】1()lnxf-=+(A) 0 ( B) 1 ( C ) 2 ( D) 3（2003）设 ，试补充定义 ，使得1(),sifxxxp- (1)f在 上连续()fx1,2习题一计算题9. 21limln()xx10. 201lim()ln(),0xaax11. 0silil()x+-12. 40coinlixx13. 已知 211(),(),(0).fgfgxx且试求 0lim()xf第二章 导数与微分2.1 导数的概念与性质(三)内容提要

4、导数的定义：函数在一点 处的导数定义有三种形式：0x=1. ；00()()limxffxfD+-2. ；00lixff-3. 0 0()()()fAffxA+-=导数的几何意义：1. 在几何上为过曲线 上点 处的切线斜率；0()fx()yf0,()xf2.当 时， 为过曲线 上点 处的法线斜率0f01()fx-f=0,()fx导数的性质：1. 可导的偶函数的导数是奇函数；2. 可导的奇函数的导数是偶函数；3. 可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变。(四)典型例题2.2 导数的计算(三)内容提要1、基本初等函数的导数与微分：1()xa-=()ln(0,1)xxaa=xe l()1logl

5、na=()sincosx=csix- 2tae()2otcx()sctanxxotcx=- 21ir=-()21arsx- ()2nactx+2cot1x=-+相应的有基本初等函数微分表（略） 。2、导数与微分的四则运算法则：（1） ；()()fxgfxg（2） ()fx=+(3) 2()(),0)fxfxggg- 相应的有微分的四则运算法则。3、复合函数的导数：设 在 处可导， 在对应点 处可导，则复合函数()uxj=()yfu=()xj=在 处可导且yfjdxu4、反函数的导数：如果函数 在区间 I 上单调、可导且 ，则它的反函数()yf=()0fx1x-在相应区间上可导，且有 。1()(

6、)dxfyfx-=2.3 中值定理与泰勒公式 (三)内容提要费马定理 若 在 处可导且取极值，则 。()yfx0 0()fx罗尔定理 设 在 上连续，在 内可导， ，则至少,ab(,)abafb存在一点 使得(,)()f拉格朗日定理 设 在 上连续，在 内可导，则至少存在一点x,(,)使得(,)ab()fbaf柯西定理设 在 上连续，在 内可导且 ，则至少(,xg,(,)b()0gx存在一点 使得,)ab()fafg泰勒定理 设 在 有 n+1阶导数，则fx02()0 0 011()()() )()2!nnfxfxfxRxL其中 之间。(1)100,!nnnRf在 与（四）典型例题（5） 在

7、上连续，在 内可导，且 ，证明：()fx0,(,)(),(1ff1）存在一点 使得 ；(1)1f2）存在两个不同的 使得,()f（6）设函数 在 上连续，在 内存在二阶导数，且()fx030,320()(2)fdxf=+（1）证明存在 ，使 ；,hh=（2）证明存在 ，使 。(3)x()0f（7）设函数 在a,b上连续，在（a,b）内二阶可导且存在相等的最大(),fxg值，又 证明：()ab=（1）存在 ；(,)fghh=使 得（2）存在 。()xx使 得2.4 导数的应用-函数（曲线）的几何形态讨论(三)内容提要函数的单调性：设 在 上连续，在 内可导，若 时恒有 ，)fx,ab(,)ab(

8、,)xab()0fx则 在 内单调增加；若 时恒有 ，则 在 内(x 0fd+f()f处取极小值。0极值第二充分判别定理设 在 二阶可导且 ，则()fx00()fx当 时， 在 处取极小值；0()fx当 时， 在 处取极大值；()fx)yfx, 0fxD在点 处的增量， 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，x0,dD()f 0A则A B C D dy()fbC至少存在一点 ，使得0(,)xab0()fx=D至少存在一点 ，使得（2005）设 ,下列命题正确的是()sincofxx=+A 是极大值， 是极小值 B 是极小值， 是极大值0f()2f(0)f()2fC 是极大值， 也是极大值 D

9、 是极小值， 也是极小值()（2005）以下四个命题中，正确的是A若 在 内连续，则 在 内有界()fx0,1()fx0,1B 若 在 内连续，则 在 内有界 )C若 在 内有界，则 在 内有界()fx,()fx,D若 在 内有界，则 在 内有界0101（2005）当 a 取下列哪个值时，函数 恰有两个不同的32()9fxxa=-+-零点。A 2 B 4 C 6 D 8（2007）曲线 渐近线的条数为 1ln()xye=+A 0 B 1 C 2 D 3（2012）曲线 渐近线的条数为 【 】2x-(A) 0 ( B) 1 ( C ) 2 ( D) 3(2010) 设函数 具有二阶导数，且 。若

10、 是 的极),fg)0gx()f ()0f（2010）若曲线 有拐点 ，则321yxbx=+(,-b=（2007）设函数 由方程 确定，试判断曲线 在()lnyy+()yx点（1，1）附近的凸凹性。（2012）已知函数 满足方程fx()2()0()2xfxfxfe及+-=（）求 的表达式；()fx（）求曲线 的拐点。20()xyftd常规考试题型三-中值问题与不等式(2004) 设 在a,b上连续，且满足 ，(),fxg()(),)xxaaftdgtb，证明：()bbaaftdt()bbaxfdg（2005）设 在0，1上的导数连续，且,()x (0),()0,().ffx=证明：对任何 ，有

11、01 100() 1agxf dag+（2006）证明：当 时bp（2007）设函数 在a,b上连续，在（a,b ）内二阶可导且存在相等的最(),fxg大值，又 证明：()fab=（1）存在 (,)fghh=使 得（2）存在 ()xx使 得（2009 ） （1）证明拉格朗日中值定理，若函数 在a,b上连续，在（a,b）()fx内可导，则存在 (,)()abfaba-=-使 得(2)证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，fx0(0,)d0lim()xfA+=则 存在，且(0)f+()A+=（2010）设函数 在 上连续，在 内存在二阶导数，且fx,3(),320()()2fdxf+（1）证

12、明存在 ，使 ；,h(0)h=（2）证明存在 ，使(3)xf（2012）证明： 。21lncos1x+-(1)x（2013）设函数 在 上可导， ，且 证明：()fx0,)+(0)f=lim()2xf（）存在 使得 ；a1fa=（）对（）中的 ，存在 ，使得(0,)x 1()fa常规考试题型四- 经济应用（2007）设某商品的需求函数为 ，其中 Q,p 分别表示需求量和价162Qp=-格，如果该商品的需求弹性的绝对值等于 1，则该商品的价格是A 10 B 20 C 30 D 40（2009）设某产品的需求函数为 ，其对价格 的弹性 ，则当() 0.2pe=需求量为 10000件时，价格增加 1

13、元会使收益增加 元（2010）设某商品的收益函数为 ，收益弹性为 ，其中 价格，且()Rp31+，则(1)R=()p(2004) 设某商品的需求函数为 ，其中价格 为需求量。105Q(0,2)pQ（1）求需求量对价格的弹性 ()dE（2）推到 （其中 R 为收益）并用弹性 说明价格在何范围内(1)dRpdE变化时，降低价格反而使收益增加。（2013）设生产某商品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为 ， （ 是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件） ，已知产601=-销平衡，求：（）该商品的边际利润；（）当 时的边际利润，并解释其经济意义；5p（）使得利润最大的定价

14、 p习题二.证明：当 时，02x31tan.x第三章 一元函数积分学3.1 不定积分(三)内容提要1.原函数与不定积分的定义设 是定义在区间 I上的已知函数，若存在函数 ，使得在区间 I()fx ()Fx上恒有 。则称 为 在区间 I上的一个原函数。(),Ffx()Fxf若 在区间 I上有一个原函数 ， 在区间 I上必有无穷多个原()fxf函数， 在区间 I上全体原函数记作 +c。()x的全体原函数称为 的不定积分，记作 。()f ()f ()fxd2.不定积分的性质（1）求不定积分与求导（基本）互为逆运算：， 。()()fxdf()()Fxdc（2）不定积分的基本性质,0kffxk()()(

15、)xgdgxd3.不定积分的计算（1）直接积分法-分拆项法（2）第一换元法凑微分法设 可导，则()(),fudFcx()()()fxfdfudFcxc （3）第二换元法设 单调、可微且 ，若()t)0tfttG1()()fxdftdGcxc（4）分部积分法假定 均具有连续的导函数，则,uvxuvx（四）典型例题注意 1cot(sin)xd3.2 定积分(三)内容提要1.定积分的定义设 是区间 上有定义的函数（分割，作和，求极限。详细叙述略）fx,ab01()lim()niadIfxfx其中 。1iind2.定积分的性质（1） 。()()bbaakfxfxd（2）设 都在 上可积则有,g,()(

16、)()bbbaaaffgxd(3) 。ccxdx（4） ba（5）设 都在 上可积，且 ，则(),fg,ab()fxg。bbaaxdx（6）设 在 上可积，且 ，则()f,()mfM()bamfdba（7）若 在 上连续，则在 上至少存在一点 ，使得()fx,。ba()f3.原函数存在性定理与变限积分的导数（1）如果 在 上连续，则 在 上的原函数一定存在，且fx,ab()fx,ab()(),ptd就是 在 上的原函数。f,（2） ()()()xaftfx（3） 21()21()()xftdfxfx4.牛顿莱布尼兹公式设 在 上连续， 为 的任一原函数原函数，则()f,ab()Fffxda3.

17、4 反常积分（一）考核知识点无穷区间上的反常积分 无界函数的反常积分（二）考核要求了解反常积分的概念，会计算反常积分。(三)内容提要1. 无穷区间上的反常积分的概念（1）设 在 上连续，则定义 ()fx,)a()lim()baafxdfxd当上式右端极限存在时，称反常积分 收敛，否则称它发散。af（2）设 在 上连续，则定义 ()f,b()li()bbaff当上式右端极限存在时，称反常积分 收敛，否则称它发散。bfxd（3）设 在 上连续，则定义 ()fx,)，其中 c 为任意常数。()ccdfxf当上式右端两个广义积分均收敛时，称反常积分 收敛，否则称它()fxd发散。2. 无界函数的反常积

18、分的概念（1）设 在 上连续，在 点无界，则定义()fx,abb0lim()badfxd当上式右端极限存在时，称反常积分 收敛，否则称它发散。b（2）设 在 上连续，在 点无界，则定义()fx,b0li()bbaadfxd当上式右端极限存在时，称反常积分 收敛，否则称它发散。（3）设 在 上连续，在 点均无界，则定义()fx,ab,ab()()bccdfxfxd当上式右端两个广义积分均收敛时，称反常积分 收敛，否则称它发ba散。（4）设 在 上除 点外连续，在 点无界，则定义()fx,ab()cc(b bcdfxfxd当上式右端两个广义积分均收敛时，称反常积分 收敛，否则称它发)baf散。3.

19、几个常见的反常积分（1） 1,pdx时 收 敛 ;时 发 散 .（2） ,(1)lnpa a时 收 敛 ;时 发 散 .（3） 101,pdx时 收 敛 ;时 发 散 .（4） ,()bpa时 收 敛 ;时 发 散 .3.5 定积分的应用(三)内容提要1.平面图形的面积（1）设 在 上连续，则由曲线 及直线,()fxg,ab(),()yfxg所围图形面积为a()fxg设baSd（2）设 在 上连续，则由曲线 及直12(),y,c12(),()xy线 所围图形面积为cd1()(y2设21)cSd2.旋转体的体积（1）设连续函数 ，则由曲线 及直线()0)fxab()yfx及 轴所围图形绕 轴旋转

20、一周所得旋转体体积为,xabx2()bxaVfd当 时，该平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积为0y()byafx（2）设连续函数 ，则由曲线 及直线0)gcyd()xgy及 轴所围图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积为,c()d2(dycV3.函数的平均值若 在 上连续，则 在 上平均值 为()fx,ab()fx,ab()f。()fdf3.6 考研题型分析常规考研题型一 - 求不定积分（2009）计算不定积分 1ln()(0)xd+（2011） arcsilx（2013） =21ln()dx+常规考研题型二 -定积分及其应用（2004）设 ，则212()xef-= 12()fxd-=（2008）

21、设 ，则341()xf+=2()fxd=（2008） 是周期为 2 的连续函数f设 函 数（1） 对任意的实数 t有 20()()tfxdfxd+（2） 证明 是周期为 2的周期函数。20()xtGst=-（2009）使不等式 成立的 x 的范围是1sinlt（A） （B） （C） D (,)(,)2(,)2(,)p+（2009）设曲线 ，其中 是可导函数，且 。曲线yfx=fx)0fx与直线 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的()yfx=0,1()t立体体积是该曲边梯形面积值的 倍，求该曲线的方程。（2010 设位于曲线 下方， 轴上方的无界区域为2()(ln)yexx=123II213I

22、I312II（2007）设函数 连续，则二次积分 等于(,)fxysin2(,)xdfydp（A） （B）10arcsin(,)ydfxp+10arcsin,yfxp-（C） （D 102,fdp 102(,)fdp（2012）设函数 连续，则二次积分 【 ()fx20cos()fr】（A） (B) 224220()xdyfxdy-+22420()xfd-(C) (D)2242201()ydfxy-+224201()ydfxd-+（2008）设 ，则 (,)1Dx=2()Dxy-=(2013) 设 是圆域 位于第 象限的部分，记k,)k，则 【 】()kDIyxd-(,234(A) ( B)

23、( C ) ( D) 10I20I30I40I计算题（2004） 求 ，其中 D 是由圆 和 2()Dxyd 24xy2(1)xy所围成（2005） 求 ，21(,)01,xy（2006） 求 ，其中 D 是由直线 所围成(Dyxd ,0xy（2007） 设二元函数221(,) 2xf xyy求 ，其中 D=(,)Dfxyd(,)x（2008）计算 其中ma,1yd (,)02,Dxy（2009）计算二重积分 其中 D=(),Dxy-2(1)(),yx（2010）计算二重积分 其中 D 是由曲线 与直线2,d+2x=+及 围成。20xy+=20xy-（2012）计算二重积分 ，其中 D 是以曲

24、线 及xDedy1,yx轴为边界的无界区域。y（2013）设平面区域 D 由直线 围成，计算3,8x及2Dxd第五章 无穷级数5.1 数项级数的敛散性(三)内容提要1.数项级数的概念与性质无穷多个数 依次相加所得到的式子12,nuL12nnu=+L称为无穷级数。简称级数。称为前 n 项的部分和。12ni nSu=若 存在，称级数 收敛，否则，称发散。limnS1nu=敛散性不变（相同）的性质：性质 1. 与 敛散性相同。1nu=1(0)nk性质 2. 在级数中添加或去掉或改变有限项的值都不影响级数的敛散性。收敛级数的性质：性质 3. 若两个级数 ， ，均收敛，则 收敛，且其和1nu=1nv1(

25、)nuv=111()nnnv=性质 4. 若级数 收敛，则任意加括号（注意：不改变项的次序）所得级数1nu=仍收敛，且其和不变。性质 5. 级数 收敛的必要条件是1n=lim0nu=正项级数的敛散性比较判别法的一般形式设 ， 都是正项级数，且存在正常数 ，有 ，则1nu=1nv 0cnucv（1）当 收敛时， 收敛；1n=1nu=（2）当 发散时， 发散。1nu=1nv=比较判别法的极限形式设 ， 都是正项级数，且 ，则1n=1nvlimnulv=（1）当 时， 与 敛散性相同；0l11,lim,nnnuul时 收 敛时 发 散时 失 效=+交错级数的敛散性莱布尼兹判别法交错级数的一般形式是

26、，其中 。1()nnu-=0n若交错级数 满足：（1） （2） 。1()nn-= 1,;nL+=lim0nu=则收敛。1()nnu-=任意项级数的敛散性若级数 收敛，称 绝对收敛；1n=1nu=若级数 发散，但 收敛，称 条件收敛。1nu=1n=1nu=5.2 幂级数的收敛域及和函数(三)内容提要1.幂级数的概念设 为常数，形如 的级数称为 的幂级数。常数(1,2)naL=00()nnax=-0x-称为幂级数的系数，当 时， 称为 的幂级数。(,)n 00na=2.幂级数的收敛半径、收敛域与收敛区间如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上收敛，0nax=x则必存在正数 ，使得0R当 时，幂级数绝对收敛；x()Sx0nax=函数，则（1） 在收敛区间 内连续，当 在 处收敛时，()Sx(,)R-0nx=()Rx-在 处单侧连续。)=-（2） 在收敛区间 内可导，且有()Sx(,)-101nnaxax-=（3） 在收敛区间 内可积，且有()Sx(,)R-1000xnnatdatdx+=5.3 函数的幂级数展开(三)内容提要1.泰勒级数与麦克劳林级数设函数 在点 的某邻域内有任意阶导数，则称级数()fx0() ()20 00 00000 0()()() )!1!n nn nf fxfxfxf LL= -=+-+-+-+为函数 在点 泰勒级数。(fx0