1、第 22卷 第 1期2010年 3月甘肃科学学报 Journal of Gansu Sciences Mar . 2010甲型 H1 N1流感传播模型刘 蕾(兰州商学院统计学院 ,甘肃兰州 730020)摘 要 : 运用经典的 SIR数学模型 ,研究了甲型 H1N1流感传播模型及其传播规律 ,并对疫情的传播时间和程度做出预测 ,预测疫情将于 2009年 9月达到高峰期 ,2010年 9月将会基本消除.但加强控制措施和早日研发出防疫药品的举措将会对疫情起到控制作用 ,可提早消除疫情.关键词 : 数学建模 ;传染病模型 ;微分方程The Spread Model of H1 N1 Influenz
2、aL IU Lei( S chool of S tatistics , L anz hou Commercial College , L anz hou 730020 , China)Abstract : By using t he classical SIR mat hematical model ,t he sp read model and regular pattern of H1N1Influenza were set up ,and t hen t he sp read time and degree were p redicted. The calculated result s
3、 showedt hat t he mo st serio us time of H1N1 Influenza wo uld be September ,2009 ,and t hat in September ,2010 ,t hevented and co nt rolled more effectively.Key words : mat hematical model ; infectio us disease model ; differential equatio ns传染病是当今世界最严重的疾病之一 1 ,2009 运用认为病人无免疫力的 SIS模型.经典的 SIR模年4月26日
4、世界卫生组织已确认 ,美国和墨西哥发 型考虑到将病愈者退出传染系统 ,能够有效地分析生了甲型H1N1流感,另有多个国家报告发现了疑此类 传染病的传播问题 3 .运用 SIR模型围绕甲型似或确诊病例.随后 ,流感疫情迅速蔓延 ,截止至 8 H1N1流感的传播问题得出其传播规律 ,分析疫情月中旬 ,全球感染甲型 H1N1流感人数约 5万人， 的感染情况和相关防控措施 ,对预测和控制类似传2 因此 ,运用传染病的数学模型来描述传染病甲型H1N1流感的传播过程 ,分析受感染人数的变化规律 ,探索制止甲型 H1N1蔓延的手段是值得关注的 考查中国内地疫情变化 ,在疾病传播期间不考问题。 虑人口的出生率和
5、死亡率 ,人口总数不变 ,即为常不同类型的传染病传播过程有各自不同的特 量.由于中国内地疫情最初是由从国外归来者携带点 ,大多数传染病如天花、感、炎、疹等治愈后 而来,内地自从 5月 11日发现第一例病例以来就在均有很强的治愈力 ,所以病愈的人既非健康者(易感 全社会范围内加强医疗卫生手段和控制预防措染者) ,也非病人 (已被感染者) ,他们已经退出传染 施 4 ,且研究发现易感染人群大多为 20岁 50岁系统 ,甲型 H1N1流感是一种典型的传染病.因此 的青壮年 5 ,故保守估计在此传染病系统的人数不能运用没有考虑病人可以治愈的SI模型 ,也不能 N = 5万.Vol . 22 No .
6、1中图分类号 : R181. 2 + 1 ,O211 63 文献标志码 : A 文章编号 :100420366 (2010) 0120126204epidemic sit uatio n of H1N1 wo uld be eliminated. But if measures are taken earlier ,t he influenza will be p re2全球过半国家报告病例 ,中国内地确诊病例逾千染病有重要的现实意义和科学价值.1 模型建立流肝麻收稿日期 :2009209209第 22卷 刘 蕾 :甲型 H1N1流感传播模型 2 甲型 H1N1流感的传播途径是与病源的直接 表
7、 1 疫情原始数据接触 ,患者与健康者接触时 ,都使健康者感染病变.故将人群分为 3类 :健康者 (易感染者人群)、患者日期6月 14日6月 15日新增病例确诊病例累计治愈累计新增治愈数20 185 73 -41 226 86 13(已被感染人群)、治愈者 (研究期间 6月 14日 8月 14日间中国内地感染病毒死亡人数为 0 ,故此处不考虑死亡者) .三者在总人数中的比例分别为s( t) , i ( t) , r( t) ,且 s( t) + i ( t) + r( t) = 1 ,i0 , s0分别为患者人数 ,健康人数的比例初始值.设每个患者每日感染健康者的平均人数为日感6月 16日6月
8、 17日6月 18日6月 19日6月 20日6月 21日6月 22日6月 23日6月 24日11273331285827493823726429732835641444149052897114135160185199227251275111721252514282424染率 ,记为j ,则j日新增病例数( j - 1)日 (累计确诊人数 -累计出院人数) ;6月 25日6月 26日6月 27日6月 28日4248605157061867872932133837340146173528每日被治愈的患者人数占其总数的比例为日治愈率 ,记为j ,则j日被治愈的人数 ,定义整个传染期内每个患者有效接触
9、的平均人数为接触数.由 s( t) + i ( t) + r( t) = 1可知 ,对于病愈免疫的d rdt型 67 ,该模型的方程为6月 29日6月 30日7月 1日7月 2日7月 3日7月 4日7月 5日7月 6日7月 7日7月 8日7月 9日7月 10日7月 11日7月 12日37445649454040575436364039267668108669159601 0001 0401 0971 1511 1871 2231 2631 3021 3284454965546126607047497938709279851 0351 0851 1104451585848444544775758
10、505025didt=si -i ,7月 13日7月 14日7月 15日2645451 3541 3991 4441 1341 1661 197243231dsdti ( 0) = i0 , s( 0) = s0 .( 1) 7月 16日7月 17日7月 18日7月 19日415244441 4851 5371 5811 6251 2301 2631 2931 323333330302 模型的求解2. 1 数值运算由于在方程 ( 1)中无法求出 s( t)和 i ( t)的解析解 ,故先做数值运算.据来自中国卫生部网站公布的 2009年 6月 14日8月 14日的疫情数据 (见表 1) 8 ,
11、包括日累计确诊病例、日累计治愈病例等.其中缺失的部分数据 ,将以通过给定的数据拟合得到.以 6月 15日为基日 ,当日累计确诊病例 226例 ,累计出院者 86例 ,故7月 20日7月 21日7月 22日7月 23日7月 24日7月 25日7月 26日7月 27日7月 28日7月 29日7月 30日7月 31日8月 1日8月 2日8月 3日4352523842262626373643442021211 6681 7201 7721 8101 8521 8781 9041 9301 9672 0032 0462 0902 1102 1312 1521 3551 4041 4541 5291 60
12、41 6631 7221 7811 8171 8531 8831 9121 9371 9621 988324950757559595936363029252526s0 = 50 000 - 226 + 8650 000226 - 86i0 = 50 0008月 4日8月 5日8月 6日8月 7日8月 8日29292727282 1812 2102 2372 2642 2922 0312 0742 0982 1222 1374343242415在研究期间 ,平均日感染率和平均日治愈率由每天相应数据平均求得.由已知数据可得8月 9日8月 10日8月 11日2828382 3202 3482 386
13、2 1522 1672 203151536 = 0. 176 502 , = 0. 165 217 ,= 1. 068 309.8月 12日 39 2 4258月 13日 57 2 4828月 14日 55 2 537注 :2009年疫情数据见文献 8 1 7j =j = j日累计确诊病人数=i .因此考虑 SIR传染模治愈者而言应有= -si ,= 0. 997 2 ,= 0. 002 8.接触数 = 2 2402 2612 2833721221 甘肃科学学报 2010年 第 1期运用上述计算得到的, s0 , i0 ,用 Matlab软 在方程 ( 1)中消去 dt并注意到接触数 的定义
14、,可得件编程 ,计算结果见表 2 , i ( t)、s( t)、i s图形分别见图 1图 3.dids =1s - 1 , ( 2)表 2 i ( t) 、s( t)数值计算 i| s = s0 = i0 ,时间 t/ d04076103170250300400456457i( t) /患者比例0. 002 80. 004 00. 004 70. 004 70. 003 10. 001 20. 000 60. 000 10. 000 10s( t) /健康者比例0. 997 20. 973 50. 946 90. 925 90. 882 90. 857 30. 850 80. 846 40.
15、845 70. 845 7容易求出方程 ( 2)的解为1 slns 0在定义域 D内 ,式 ( 3)表示的曲线即为相轨线 ,如图3所示.图 3 is (相轨线)比例由以上分析可知 :(1)不论初始条件 s0 , i0如何 ,患者人数终将消失 ,即 i = 0.从相轨线图形上看 ,无论从哪一点出发 , i ( t)终将与 s轴相交 ( t充分大) .图 1 患者人数 i ( t)( 2)最终未感染者的比例是 s ,在式 (3)中令i = 0 ,得到 s是方程ss0= 0 ( 4)10 , 1达到最大值im = s0 + i0 - 1 + lns 0 ) , ( 5)图 2 健康者人数 s( t)
16、 然后 i ( t)减小且趋于 0 , s( t)则单调减小至 s;若2. 2 相轨线分析s0 1 ,则 i ( t)单调减小至 0 , s( t)单调减小至 s.在数值计算和图形观察的基础上 ,利用相轨线 可以看出 ,如果仅当患者比例 i ( t)有一段增长讨论解 i ( t) , s( t)的性质 :i s平面称为相平面 ,相轨线在相平面的定义的时期才认为传染病在蔓延 ,那么 1 是一个阈值 ,28. i = ( s0 + i0 ) - s + ( 3)(s0 + i0 ) - s + 1 ln在 0 ,内的根 ,在图形上 s是相轨线与 s轴在内交点的横坐标 ,此例中 s约为 0. 85.
17、( 3)若 s0 1 ,则 i ( t)先增加 ,当 s = 1时 , i ( t)1 (域 ( s , i)D为 D = ( s , i) | s0 , i0 , s + i1 , 当 s0 1 时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数1 9,即提高阈值 1 ,使得 s0 1 ,传染病就不会蔓延.式 ,另外 ,s =s是传染期内的一个患者传染被s个健康者交换.所以当 s0公患,控机理研究J .中国管理科学 ,2004 ,12 (2) :1432148. 2 刘静 .甲型 H1N1流感正在袭来J .观察与思考 ,2009 ,11 :172由以上分析可知 ,要想控制传染病的蔓延 ,有二条途径 :(1
18、)提高 1 ,即要对患者进行隔离 ,减少患者与川党的建设 (城市版) ,2009 ,06 :28229.甲型 H1N1流感的药品 ,提高日治愈率.业高等专科学校学报 ,2004 ,11 (3) :5218.学校学报 ,2004 ,22 (2) :46252.有 s0 = 1 - r0 ,于是传染病不会蔓延的条件 s0 1可以表示为 r01 - ,只要群体免疫使初始时刻1刘 蕾 (19872)女 ,青海省格尔木人 ,2007年毕业于中国地质大学 (北京)数学与应用数学专业 ,现为兰州商学院统计学院第 22卷 刘 蕾 :甲型 H1N1流感传播模型 2 的移出者比例 (即免疫者比例) r0满足上式
19、,就可以制止传染病的蔓延.即使 s0 1 ,从式 ( 4)、 ( 5)可以看出减小时 , s 4 结语增加 , im降低 ,也控制了蔓延的程度.1的健康者的平均数 ,称为交换数 ,其含义是一个患者通过对甲型 H1N1流感病例数据和模型进行分析和预测 ,研究甲型 H1N1流感在国内的传播趋势及相应预防措施对疾病流行的影响 ,对预防与控1 ,即s 01 ,必有制甲型 H1N1流感病毒的传播提供依据 ,同时也为今后各类突发性公共卫生事件的控制和预防提供s1.既然交换数不超过 1 ,患者比例 i ( t)绝不会增加 ,传染病不会蔓延.3 模型预测结果分析由以上 SIR模型分析甲型 H1N1流感疫情的结
20、果可知 ,预计疫情在基日后的 76日至 103日达到峰值 ,即整个 9月份疫情将达到高峰期 ;在 450日后即约 2010年 9月基本消除.该模型与实际疫情情况基本相符. 2009年 9月以来 ,中国内地 31个省区市已全部报告甲型 H1N1流感确诊病例.面对如此严峻的疫情 ,卫生部调整了疫情防控策略 ,已研制出甲参考.通过分析可知 ,如果全社会的努力和投入的程度继续增加 ,即隔离措施的提早进行、隔离率增大、防疫药品的早日研发、众的防御意识提高 ,可使得疫情周期缩短、者人数逐步减少.但遗憾的是 ,对于甲型 H1N1流感病毒 ,目前仍有很多谜有待解开 ,故应对甲型 H1N1流感的战役“是一场马拉
21、松 ,而不是冲刺”.参考文献 : 1 刘云忠 ,宣慧玉 ,林国玺. SARS 传染病数学建模及预防、制流疫苗并计划将于 2009年 9月底全国范围内接种 ,相信此举会对疫情的控制起到积极的作用.21. 3 姜启源 ,谢金星 ,叶俊.数学建模 (第三版) M .北京 :高等教育出版社 ,2003. 4 张冉燃 ,沈安 ,刘国远.甲型 H1N1会成为第二次非典吗J .四健康人的接触 ,提高卫生水平 ,降低日接触率 ;提高 5 徐明.甲型 H1N1流感的已知与未知J .农村工作通讯 ,2009 ,医疗水平 ,对患者进行有效的治疗 ,尽早研发出治疗 10 :52. 6 赵锡英 ,支建军 ,万芳新 ,等. SARS疫情分析模型 J .兰州工( 2)降低 s0 ,可以通过预防接种使群体免疫的 7 李伟 .关于 SARS病毒传播的数学模型J .毕节师范高等专科方法控制传染病的传播.忽略患者比例的初始值 i0 , 8 卫生部新闻办公室.卫生部甲型 H1N1流感防控工作信息通报 DB .中华人民共和国卫生部网站 www. mo h. gov. cn ,2009 ,8 ,14.作者简介 :数量经济学专业在读硕士研究生 ,研究方向为金融计量经济分析 .
