1、四点共圆竞赛训练共圆点 A 卷一、选择题1、设 ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：(1)sinA=sinC； (2)sinA+sinC=0； (3)cosB+cosD=0； (4)cosB=cosD；其中总能成立的关系式的个数是( )A、一个； B、两个； C、三个； D、四个；2、下面的四边形有外接圆的一定是( )A、平行四边形； B、梯形； C、等腰梯形； D、两个角互补的四边形；3、四边形 ABCD 内接于圆，A：B：C=7：6：3，则D 等于( )A、36； B、72； C、144； D、54；4、如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=BC=AD=AC，AHCD 于H，CP
2、BC 交 AH 于 P，若 A，AP=1，则 BD 等于 ( )A、 2； B、2； C、3； D、 7；5、对于命题：内角相等的圆内接五边形是正五边形；内角相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论中正确的是( )A、，都对； B、对，错； C、错，对； D、，都错；二、填空题6、如图 2，ABC 中，B=60，AC=3cm，则ABC 的外接圆半径为 。7、如图 3，ABC 中，ACB=65，BDAC 于 D，CEAB 于 E，则AED= ,CED= 。8、如图 4，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，延长 AD 交ABC 的外接圆于 E，已知 AB=a，BD= b，BE= c，则 AE=
3、 ，DE 。9、如图 5，正方形 ABCD 的中心为 O，面积为 1989 2cm，P 为正方形内一点，且OPB=45，PA：PB5：14，则 PB= 。10、如图 6，四边形 ABCD 内接于以 AD 为直径的圆中，若 AB 和 BC 的长度各为 1，72CD，那么 AD= 。三、解答题11、如图 7，在ABC 中， AD 为高线，DEAB 于 E，DFAC 于 F。求证：B、C、F、E 四点共圆。12、如图 8，四边形 ABCD 内接于圆，AD、BC 的延长线交于 F，AB，DC 的延长线交于 E，EG 平分AED 交 BC 于 M，交 AD 于G，FH 平分AFB 交 AB 于 H，交
4、CD 于 N。求证：EGFH。13、如图 9，AD、BC 为过圆的直径 AB 两端点的弦，且 BD 与 AC 相交于 E。求证：(1)HP DCBA(5)OPD CBA(3)DECBA(2)CBAD(4)ECBAE(8)HFMNGD CBA(7)FE D CBA(6) DCBA2ACEBDA。14、如图 10，O 为凸五边形 ABCDE 内一点，且1=2，3=4，56，78，求证：9 与10 相 等或互补。15、如图 11，ABC 内接于圆，P 为 ABC上一 点，PDAB 于 D，PEBC 于 E，PFAC 于F。求证：D、E、F 三点共线。共圆点 A 卷一、选择题1、(B)；因 ABCD
5、为圆内接四边形，故对角互补，即C180A，且A，C 均不为 0 或180，(1)式恒成立，(2)式恒不成立。同样由D180B 得，(3)式恒成立；(4)式只有BD=90 时成立，故选(B)2(C)；平行四边形及梯形都不能保证对角一定互补，而两个角互补的四边形，互补的两个有未必是对角。等腰梯形对角互补，故一定有外接圆。3、(B)；如图，因四边形 ABCD 为圆内接四边形，故对角互补，所以A+C180，又AC=73，设A7x，C=3x，x=18B=108又因B+D=180 故D=724、(C)；由 AB=AC=AD=BC 知，B、C、D 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上，且由BAC=60，知弧
6、ABC的度数为 60，BDC=30 又ACP=30，BDC=ACP又CAP= 13CAD=CBP ，BCDAPC PD 又AB=AC=3，AP=1BD=35、(B)；命题正确，证明如下：如图，ABCDE 为圆内接五边形各内角相等。由A=B，知ABCE， ABCEBC=EA同理可证 BC=DE=AB=CD=EAABCDE 为正五边形命题不正确，反例如下：如图，ABCD 为圆内接矩形，A=B=C=D=90，AB=CD，BC=DA，但 ABC，显然，ABCD 满足命题的条件，但它不是正方形。二、填空题6、 3cm；根据正弦定理： 2sinRB (R 为ABC 的外接圆半径)，AC=3cm，B=60
7、故 R= cm3(11)PFED CBA10987654321(10)OED CBA(9)ED CBAHP DCBAEDCBADCBA7、65，25由已知，BDAC，CEABBEC=BDC=90，B、C、D、E 四点共圆，又AED 为四边形 BCDE 的外角，由圆内接四边形的性质知，AED=BCD=65，又CEA=90 故DEC=258、 ,acb由已知，A、B、E、C 四点共圆，得EBC=EAC，又 AD 平分BAC，BAE=EAC，BAE=EBC 且E=EABEBDE， D即 aAEcbD ,acb9、42；如图，连结 OA，OB，由于 O 为正方形的中心，得OAB=45AOB=90 又O
8、PB=45OPAB 四点共圆，AOB=APB=90设 PA=5x，PB=14x，在 RtAPB 中， 22PAB 又正方形的面积为 1989 2cm， 1989 (5)1498x x=3则 PB=14342。10、4；如图，连接 AC，因 AD 为直径ACD=90 22,cosCDACDA又 A、B、C、D 四点共圆，B+D=180cosB=cosD=在ABC 中，由余弦定理得： 22cosBB 即 22cosBCAD 3(AD)20DC将 AB=BC=1， 72代入并整理得：34580，即 67ADA， (4)(4)0D即 21，AD=4(舍负)三、解答题11、证明，如图，连接 E、F，DE
9、AB，DFAC，AED+AFD=180A、E、D、F 四点共圆AEF=ADF 又 ADBC，在 RtADC 与 RtCDF 中C=ADFC=AEF，而AEF 为四边形 BCFE 的外角，B、C、F、E 四点共圆。12、证明：四边形 ABCD 内接于圆，ADE=FBE，OPD CBADCBAFE D CBA又 EG 平分AED，AEG=GED在BEM 与GED 中EGF=180ADEGEDBME=180FBEAEGEGF=BME。又EMB=GMFFGE=GMFFGM 为等腰三角形，又 FH 平分AFB，HFGE13、证明：如图作 EFAB 于 F，EFB90又AB 为直径，C=90E、F、B、C
10、 四点共圆 AEB (1)同理：D、A、F、E 四点共圆 A (2)(1)+(2)得 ()CEDAFB即 2AB14、证明：由于对定线段的张角为定角的点的轨迹是以定线段为弦，张角为定角的两个相等的弓形弧。故由12，得OAB 的外接圆与OCB 的外接圆相等。同理，OCB 的外接圆与OCD 的外接圆相等；OCB 的外接圆与ODE 的外接圆相等；ODE 的外接圆与OAE 的外接圆相等；于是，OAB 的外接圆与OAE 的外接圆相等。从而，9 和10 相等或互补另证，由正弦定理及已知条件得sin10isin2OAB i3sin4i5OCD 678DE 9A，从而 sin10=sin9，故9 与10 相等或互补。15、证明：如图，连结 DE，EC，BP，CPPDAB 于 D，PEBC 于 EB、D、E、P 四点共圆BPD=BED，PBD=PEF。同理，E、C、F、P 四点共圆，CEF=CPF，PCF=PEF。DBP=PCF，在 RtDBP 与 RtCPF 中，BPD=CPFBED=CEF，又 BC 为直线，D、E、F 三点共线。FED CBAPFED CBA
