1、第十四章 決策分析（Decision Analysis）(貝氏定理在最後一頁)本章內容：14.1 決策問題之結構14.2 不含機率的決策14.3 含有機率的決策14.4 敏感度分析14.5 基於樣本資訊的決策分析14.6 計算分枝機率-貝氏定理14.7 效用與決策14.8 賽局理論14.1 決策問題之結構1. 決策分析係以決策方案（decision alternative） 、自然狀態（state of nature）及其償付結果（resulting payoff）所組成。2. 決策方案是由決策者所能應用之各種可能策略。3. 自然狀態是決策者不能控制之未來可能發生的事件。4. 自然狀態互不重疊
2、，而且只有一種狀態會發生。償付表每一個決策方案和自然狀態產生一償付結果，其通常以矩陣表示，稱為償付表（payoff table） 。償付表內每項數字可能為利潤、成本或其他用於表示結果的量度。決策樹1.決策樹是依先後順序表示的決策問題。2.每一決策有二種型態的節點，圓節點相當於自然狀態點，方塊節點相當於決策方案點。3.在決策樹之分枝上以圓形表示之節點表示不同的自然狀態，方形節點表示不同的決策方案。4.決策樹每一枝幹之末端表示不同分枝不同決策加總後之償付額。例：匹茲堡開發公司(PDC)購買了一塊土地做為建築豪華河濱公寓的基地。每一戶的標價從 300,000 到 1,200,000 不等。PDC 有
3、 3 個備選方案：d1=6 層樓 30 戶的小型公寓d2=12 層樓 60 戶的中型公寓d3=18 層樓 90 戶的大型公寓管理當局估計償付表（見下表 14.1） ，用 V(dj,sj)來表示償付表內的各項。表 14.1 PDC 公寓開發案的償付表(百萬元)自然狀態決策方案高接受度 低接受度決策方案 s1 s2小型公寓 d1 8 7中型公寓 d2 14 5大型公寓 d3 20 -91234小 型 (d )1中 型 (d )2大 型 (d )3高 (s )1低 (s )28714520-9高 (s )1低 (s )2高 (s )1低 (s )2圖 14.1 PDC 問題決策樹決策樹是決策過程的圖
4、示，公司必須作決定( d1,d2或 d3)，一旦決策執行，就遇到自然狀態( s1或 s2)，當決策方案為小型公寓(d 1)而市場接受度高(s 1)的償付為 8 百萬元，當決策方案為小型公寓(d 1)而市場接受度低(s 2)的償付為 7 百萬元。決策分析第一步為找出決策方案、自然方案及各種方案狀態組合的償付。14-0514.2 不含機率的決策若決策者不知道自然狀態發生的機率，則該決策者係在不確定性（uncertainty）下做決策。在不確定下做決策，一般有三種準則（criteria）為：一、樂觀（optimistic）法則二、保守（conservation）法則三、遺憾（regret）法則樂觀法
5、則決策者甘冒最大風險以求取最大利潤，其先就每一方案中選出最大報酬，然後再就其中挑選最大者，換言之，即大中取大。實際上，這個法則即是在整個償付表中挑選能夠獲得最大報酬之方案。例：PDC 問題之償付表如下表 14.1 PDC 公寓開發案的償付表(百萬元)自然狀態決策方案高接受度 低接受度決策方案 s1 s2小型公寓 d1 8 7中型公寓 d2 14 5大型公寓 d3 20 -9應用樂觀法則求解，如下表：表 14.2 PDC 決策方案的最大償付保守法則保守法則又名悲觀（Pessimistic）根據每個方案所可能發生的最壞償付來做決策。最後的決策方案是所有方案中，相較之下最壞可能償付最適的方案。換言之
6、，即小中取大。例：PDC 問題之償付表如下決策方案 最大償付小型公寓 d1 8中型公寓 d2 14大型公寓 d3 20 最大償付的極大值表 14.1 PDC 公寓開發案的償付表(百萬元)應用保守法則求解，如下表：表 14.3 PDC 決策方案的最小償付決策方案 最小償付小型公寓 d1 7 最小償付的極大值中型公寓 d2 5大型公寓 d3 -9 自然狀態決策方案高接受度 低接受度決策方案 s1 s2小型公寓 d1 8 7中型公寓 d2 14 5大型公寓 d3 20 -9極小化最大遺憾法則此法則是應用於機會損失(opportunity loss)或懊悔(regret)所表示之償付表。根據此一準則，
7、決策者比較各種方案之最大機會損失，然後選取其中最小者，因此該法則為一種大中取小的法則。機會損失的計算方式是在償付表中，先就每一個狀態找出最大報酬者，然後將其他方案之報酬與之相減並取其絕對值，此一數字表示在某一特定的狀態下，未能選擇最適方案所遭致之損失。例：PDC 問題之償付表如下：表 14.1 PDC 公寓開發案的償付表(百萬元)自然狀態決策方案 高接受度 s1 低接受度 s2小型公寓 d1 8 7中型公寓 d2 14 5大型公寓 d3 20 -9應用遺憾法則求解過程如下：自然狀態 中最大償付表為 20 百萬元1s自然狀態 中最大償付表為 7 百萬元2其他方案償付減最大償付並取其絕對值表 14
8、.4 PDC 問題的遺憾表(百萬元)自然狀態決策方案高接受度 s1 低接受度 s2小型公寓 d1 8-2012 7-70中型公寓 d2 14-206 5-72大型公寓 d3 20-200 -9-716表 14.5 PDC 決策方案的最大遺憾決策方案 最大遺憾小型公寓 d1 12中型公寓 d2 6 最大遺憾的極小值大型公寓 d3 16 14.3 含有機率的決策若每種自然狀態之機率資訊可用，則可以期望值法(expected value (EV) approach)求得最適決策方案。每一決策的期望報酬是由每一自然狀態的償付及自然狀態發生機率加總而得。決策乃選擇最好的預期報酬。方案 的期望值(EV)定
9、義如下：id方案 期望值i(14.4)Nj jiji s,dVPEV1N=自然狀態的數目=自然狀態 的機率jsPjsN 個自然狀態只有其中一個會發生，其機率必滿足以下兩個條件：0 對所有自然狀態 (14.2)jsP(14.3)Nj Nj sP.sP121例：設 PDC 管理當局相信高接受度 的機率為 0.8，低接受度1s的機率是 0.2，試問決策為何？2s已知 及 。利用表 14.1 的償付表與 (14.4)式8.01sP2.02sP表 14.1 PDC 公寓開發案的償付表(百萬元)決策方案 自然狀態高接受度 s18.01sP低接受度 s2.02sP小型公寓 d1 8 7中型公寓 d2 14
10、5大型公寓 d3 20 -9三個方案的期望值為：0.8(8)+0.2(7)=$7.8 百萬元1EV0.8(14)+0.2(5)=$12.2 百萬元2d0.8(20)+0.2(-9)=$14.2 百萬元3的期望值最高(14.2 百萬元)，所以 為決策。3d 3d1234小 型 (d )1中 型 (d )2大 型 (d )3高 (s )1低 (s )28714520-9高 (s )1低 (s )2高 (s )1低 (s )2P(s )=0.81P(s )=0.22P(s )=0.81P(s )=0.22P(s )=0.81P(s )=0.22圖 14.2 PDC 決策樹圖 14.2 是 PDC 問
11、題的決策樹，每個自然狀態枝上有機率表示，決策樹由後向前計算每個自然狀態節點的期望值，其係將每個可能償付乘以機率，爾後相加，節點 2,3 及 4 的期望值見圖14.3。2341小型(d 1)中型(d 2)大型(d 3)EV(d1)=0.8(8)+0.2(7)=$7.8EV(d2)=0.8(14)+0.2(5)=$12.2EV(d3)=0.8(20)+0.2(-9)=$14.2圖 14.3 用決策樹計算期望值因為決策者是要期望利潤最大，所以在節點 1 的最適決策枝是 ，3d由決策樹得知 為決策，這與償付表的期望值法結果相同。3d完全資訊的期望值（EVPI）不斷的新資料可改進自然狀態的機率估計值。若
12、確知某一自然狀態會發生而導致預期利潤之增加，謂之完全資料之預期值(EVPI)。EVPI 為任何抽樣或調查資料之預期價值之上限。EVPI 之計算：步驟 1：決定每一自然狀態之最適報酬。步驟 2：計算這些最適報酬之預期值。步驟 3：將步驟 2 計算之最適報酬預期價值減去最適決策預期價值。例：PDC 之償付表如下：表 14.6 PDC 公寓開發案的償付表(百萬元)自然狀態決策方案高接受度 s1 低接受度 s2小型公寓 d1 8 7中型公寓 d2 14 5大型公寓 d3 20 -9已知 2.0,8.021 spsp一、 若“有完全資訊”可用時PSI 的最適決策為：如果 發生，選擇 ，1s3d如果 發生
13、，選擇 ，21“有完全資訊”的期望值為0.8($20)+0.2($7)=17.4 百萬元此 17.4 百萬元即為“有完全資訊”之期望值(EVwPI)。二、 沒有完全資訊”可用時8.7$72.08.01 dEV 2.15.14.2.4$92.028.03 dEV決策 期望值最大，14.2 百萬元為“無完全資訊”期望值(EVwoPI)。三、 “完全資訊”的期望值(EVPI)EVPI=EVwPI-EVwoPI=17.4-14.2=3.2(百萬元)換言之，若有完全資訊可用能夠多獲得 32,000 元的利潤，即資訊價值為 32,000 元。PSI 管理當局認為不論資訊有多好，市場研究支出絕不可超過 32
14、,000 元。下圖為 EVPI 計算的摘要。$17,40,0000 “有完全資訊”期望值EVwPI=$17,400,000完全資訊期望值（即資訊價值）EVPI=$17,400,000-$14,200,000=$3,200,000$14,200,000 “無完全資訊”期望值EVwoPI=$14,200,00014.4 敏感度分析本節敏感度分析係討論自然狀態機率改變對決策的影響。敏感度分析考慮狀態的不同機率，然後重新計算。由於重新計算需做大量的計算，因此可以圖解法做敏感度分析。以圖解法對 PDC 問題做敏感度分析如下：以 表示 的機率：p1spsP1所以 P2方案 的期望值可以寫成 的函數1d78
15、21sPsEV718pp(14,6)7再做方案 及 的期望值，得到以下 的函數：2d3 p(14,7)59pEV(14,8)23d再以 值為橫軸，期望值為縱軸，在圖上劃出 ， 及p 1dEV2如下圖：35101520-5-100.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P期望值(EV)EV(d )1EV(d )2EV(d )3d 的 期 望 值最 高1d 的 期 望 值最 高2d 的 期 望 值最 高3圖 14.4 PDC 決策方案的期望值：表示成 的函數pPDC 係求最大利潤，在上圖中可看出對於小的 值，方案 (小1d型公寓)提供最大的期望值，所以是建議的方案。當 值增加到某個程度時，方案 (中
16、型公寓)提供最大的期望值，成為建議2d的決策。最後比較大的 值， (大型公寓)成為建議的決策。p3d1. 與 的期望值相等的 值發生於 EV( )與 EV( )直線的交1d2 p1d2d叉點。令 EV( )EV( )，求解 值：1d2d597pp285.08p所以當 時，方案 與 有相同的期望值。2.p 1d22. 與 的期望值相等的 值發生於 EV( )與 EV( )直線的交叉2d3 p2d3d點。令 EV( )EV( )，求解 值：2d39959pp70.2014所以當 時，方案 與 有相同的期望值。.p 2d33.歸納(1) 期望值最大25.01d(2) 期望值最大7.0.p2(3) 期
17、望值最大70.p3d因為 是自然狀態 S1的機率，而 是自然狀態 S2的機率。P1有了敏感度分析的資訊，才知道自然狀態機率的改變是如何影響決策，敏感度分析能對自然狀態機率提供最好的建議。本例中原來估計 ，方案 最好，但作了敏感度分析之後，瞭8.01sp 3d解原來 的估計並不是那麼具關鍵性，只要 ，方70.1sp案 仍是最適解。3d14.5 基於樣本資訊的決策分析在應用期望值分析，我們曾瞭解機率資訊如何影響期望值的計算及建議的決策，常常決策者對自然狀態做先驗機率的估計，但是爲了要做出最好的決策，決策者要找出更多有關自然狀態的資訊。新資訊可用來修正或更新先驗機率，以使最後決策能依據對自然狀態更好的機率分配估計。假設 PSI 決定考慮雇請市場研究公司去研究 PSI 服務的接受性。市場研究可以提供新資訊，能與先驗機率合併，透過貝氏方法去更新自然狀態的估計機率，這個修正過的機率叫事後機率(posterior probobility)，修正機率的過程如下：先驗機率 從實驗或研究獲得知新資訊 事後機率
