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类型第一章 整数.doc

  • 上传人:wspkg9802
  • 文档编号:9309378
  • 上传时间:2019-08-01
  • 格式:DOC
  • 页数:12
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    第一章 整数.doc
    资源描述:

    1、第 1 页 共 12 页第一章 整数一、填空题1、 4答案: 02、 34答案: 13、 2答案: 4、 12答案: 05、 312答案: 46、 85答案: 37、 1答案:8、 14答案:9、 7答案: 0第 2 页 共 12 页10、两个有理数的和与积 有理数.(填“都是”或“不都是” )答案:都是11、每个非空的负整数集合都有一个 (填“最大元”或“最小元” )答案:最大元12、每个非空的正整数集合都有一个 (填“最大元”或“最小元” )答案:最小元注意:此条性质称为“正整数的良序性质”.13、如果序列 的前 8 项是 则na5,12983,4571,289653na答案: 32()N

    2、14、如果序列 的前 10 项是 则na1,235,81,45na答案: 12,3015、整数集合 可数的(填“是”或“不是” )答案:是16、有理数集合 可数的(填“是”或“不是” )答案:是17、大于 的所有整数构成的集合 可数的(填“是”或“不是” )10答案:是18、所有形如 的有理数的集合 可数的(填“是”或“不是” )/5n答案:是19、所有形如 的数的集合 可数的(填“是”或“不是” )2,()abZ答案:是第 3 页 共 12 页20、可数的多个可数集合的并集 可数的(填“是”或“不是” )答案:是21、如果 ,则只有 有理数 ,使得 .(填“有限个”abQpq21/abq或“

    3、无限个”)答案:有限个22、 1nk答案: 2 211 1()()(1)(1)(2)/6n nnkmmnn 23、整数 从小到大的顺序为012!,(5!)答案: 1102(24、若 ,则01A*()nN答案:25、 12()njj答案: )/n26、 1()2(3)njj答案: 45n27、 1()2njj第 4 页 共 12 页答案: 1()2(3)4nn28、 1()2nk答案: 3429、 1!nj答案: ()30、 数列的通项公式Fibonacina答案: 12151,()(),(3)2nnff31、 2025;ff答案:6765 7502532、在 100 和 1000 之间有 个整

    4、数能被 7 整除;有 个整数能被 49 整除( )答案:128 1833、不超过 1000 且不能被 3 , 5 或 7 整除的正整数个数( )答案:462提示:10(10)(10502135)10546234、 能被 3 整除当且仅当 n 可被 整除( 为第 n 个 数)nf ffiboaci答案:435、 能被 4 整除当且仅当 n 可被 整除( 为第 n 个 数)nf ffiboaci答案:6第 5 页 共 12 页36、 “鸽笼原理”的内容是:答案:如果把 个或者更多的物体放入 个盒子中,那么至少有一个盒子中有两个或者1kk更多的物体.附:这个原理是德国数学家狄利克雷提出的,他并未把此

    5、定理称为鸽笼原理,而是德语称为 Schubfachprinzip,译为英语是抽屉原理 .37、 “狄利克雷逼近定理”的内容是:答案:如果 则 ,使得 .,RnZ,1aban1bn38、在带余除法中若 则,0,qr;qr答案: ab39、 的周期是,yxR答案:140、若 则,xmZx答案: 41、若 则*,xRnN121nxxxn答案: 42、下列命题正确的个数是 个.设 则,xRmZx 的个位数是192(3)1 ,R若 则,xyRxy第 6 页 共 12 页答案:443、下列命题正确的序号是设 则,xyRxy设 若 则,若 则,Z1若 则xx答案:二、解答题1、如果必要,使用一些计算辅助方法

    6、,求整数 a 和 b 使得 且 y 于是 1zy所以 y+1 2.所以 x=y=1 z=2 是满足题意的唯一解三、证明题1、证明如果 n 是整数,则对于任意实数 x ,都有 x+n=x+n .证明:设x=m , 则 m 是整数,即 1m我们在这个不等式上加 n 得到 . n这说明 m+n=x+n 是小于或等于 x+n 的最大整数从而x+n=x+n.2、证明两个有理数的和与积都是有理数.证明:假设 x 和 y 是有理数,令 x=a/b , y=c/d . a , b , c ,和 d 都是整数 b 和0d所以 xy=(a/b) (c/d)=ac/bd , x+y=a/b+c/d=(ad+bc)/

    7、bd ,bd 0 由于(x+y)和 xy 是两个整数的比所以 x+y 和 xy 都是有理数3、证明对于所有实数 x 和 y,都有x+y .xy证明:由于x 和 由这两个等式得到 x+y x+yy因此x+y x+y=x+y4、证明当 x 为非负实数时, .x证明:令 x=k+ , k 是整数 , 并且令 k= a 是最大的整数012b因此 2a所以 222()kbxa第 8 页 共 12 页所以 和 结论得证xaxka5、证明所有形如 的数的集合是可数的,这里 a 和 b 是整数.2b证明:这是一种仿照有理数集合是可数的证明,用 a/b 替换 a+b 2另一种方法是考虑有理数集合的一对一映射的函

    8、数 即可知道()3abf是可数的6、证明如果 是实数, n 为正整数,则存在整数 k 使得 .|/|12ank证明: 位于 的中间,如果我们从中间分开,则 分别在这两等/(1)/rkr分之一,即 或 ,在第一2k(2)/()/rkrk个不等式中得到 ,所以令 , 在第二个不等式中有|/|arn所以令 得证|(1)/|rk1r7、不用计算下列各项的乘积,求证a)16!=14!5!2! b)9!=7!3!3!2!证明:a. 16!(4)516(4!)20=(1!)52) )b. 97873(!)8、用数学归纳法证明一对任意正整数 ,有 .n2n证明:当 时, 结论显然成立1n12当 时,我们假设

    9、成立n于是,当 时, 成立1122nn所以,由数学归纳法知命题得证9、用数学归纳法对任意正整数 ,有 .n22211k n证明:当 时, 显然成立,1n21k第 9 页 共 12 页假设 成立,21nk则,当 时,由归纳法假设,得1222211()()nnkk n 于是, .2 1()n n所以,由数学归纳法得知命题得证.10、应用数学归纳法证明对于 ,有 .4n2!证明:当 时, 显然成立,1n26假设 成立,!则,当 时,2(1)1!2!2!(1)!nnnn所以,有数学归纳法知命题得证11、我们对所有正整数 递归地定义函数如下: ,且对(),)5ff用第二数学归纳原理证明 .2,(1)(2

    10、1nffnf()2(1)nf证明:应用第二数学归纳法,当 时, ,, 1()2f显然成立,2()5()f假设 对所有的整数 , 成立,1kkk,n由数学归纳法,得1122()2()()(1)nnnnfnf= 12n所以,命题得证.12、假定 ,且对 ,证明对每个非负整数012,39a1233,nnaa.n证明:应用第二数学归纳法, 显然成立,012012,9第 10 页 共 12 页假设 对于所有整数 成立,3ka,0kn则, 123123nna= 3(9)7nn所以,有数学归纳法得证.13、证明当 为正整数时, .n32nnff证明:由斐波那契数,当 是一个正整数时 , 21nnff于是,

    11、22 3()nnff在方程两边分别加上 ,得32nnff14、证明当 为正整数时, .(注意 ).21nnff0f证明:由 可得21nf22 111()()()nnnnffff15、证明当 为非负整数时, ,其中 是第 个斐波那契数.21()njnfjf证明:由 是 的根,则22,a10x2()/5(/)()n nnf= 0011/ ()nnj jjj jj f) (16、 证明如果 是正整数,则当 为实数时x/n=x/n.nx证明:假定 由带余数除法,我们有整数 和 使得 ,其中.xmqrmnqr.根据方程 ,我们有 因为01r/,/qabrab/x,从而 ,其中 我们看到xx01 /()/

    12、()/nnmn()/qrn()/qrn第 11 页 共 12 页因为 ,我们有 .因此010(1)rn/xnq17、证明如果 和 满足 ,则对任意正整数 , .ab| k|kab证明:根据定义,如果 则 , 为整数 ,则|b()kka因此, |k18、证明如果 和 为整数,则m0n对任意整数 , ; 对某整数 ,1k1mn1mnk.k证明:根据除法运算法则,让 和,0qr/q这时 (1)/(1)/(1)/(1)mnnnrn如果 对任意的整数 ,有 ,0,2.,rkm和 .所以 ,/()/()/0r()/0/qm如果 ,则 和1rn11,mqnqnk()1rn所以 ()/19、证明两个形如 的整

    13、数之积仍然是这种形式,而两个形如 的整数的积的形41k 43k式为 .证明: .类似的,()6414()1nmnmn431293220、证明两个奇数的四次方都形如 6.k证明:每个整数奇数都可以写形如 或 .因此4k42432(1)()()1k= 2616k(即,得 44324(3)()54()08()3kk=1 871第 12 页 共 12 页21、用数学归纳法证明三个连续的整数的立方和能够被 9 整除.证明: 能被 9 整除,显然成立,33012假设,对于整数 有 成立,则k333(1)(2)nnk33() 1(2)()nn= 3297k= 23kn( )能被 9 整除.所以,由数学归纳法得证 .

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