1、山西大学附中2012-2013 学年第一学期高三（10 月）月考数学试题（理科）一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 是虚数单位，ii25A. B. C. D.i11i21i212.设变量 x，y 满足约束条件： .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为3yxA. B. C. D. 67823.命题“存在 ， ”的否定是R002xA.不存在 , B.存在 xRx020xC.对任意的 , D.对任意的 , x 4.设函数 则)(ln31)(f )(fyA.在区间 内均有零点。 ,eB.在区间 内均无零点。)1
2、(C.在区间 内有零点，在区间 内无零点。,e),1(eD.在区间 内无零点，在区间 内有零点。 )(5.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是 A12B 23C 4 D 456. 在等差数列 中，已知 ， 是数列 的前 项和，则na56nSna1SA B C D450607.已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数),)(4si)( Rxxf gco)(的图象，只要将 的图象 fyA. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 88C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 448 已知函数 若 则实数 的取值范围是0,)(2xxf )(2(aff侧侧侧侧侧侧侧侧侧
3、5 565566A. (,1)(2,) B. (1,2) C. (2,1) D .(,2)(1,)9.设双曲线 0,2bayx的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，2xy则双曲线的离心率为A. 54B. 5 C. 52D . 510.在区间 上随机取一个数 x, 的值介于 0 到 之间的概率为 1,cos21A. 3 B. 2C. 1D . 3 11.已知球的直径 ， 是该球面上的两点， ， ，4SC,ABAB30SCB则三棱锥 的体积为（ ）A. B . C . D .32333212.设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 两点，与抛xy2F)0,(M,AB物线的准线相交于 ，
4、，则 与 的面积之比 =|BAFCFSA. 45B . 3 C .47D .12二填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 ）13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位 cm） ，则该几何体的表面积为：_14. 821083 )1()()()2()1( xaxaax ,则 _6a。15.在四边形 中， ， ，ABCD),( BDCBA|3|1则四边形 的面积是_ 16.用数字 组成没有重复数字的四位数，0,1234,56其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 _ 个（用数字作答）三.解答题: （共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程
5、或演算步骤 ）17.（本小题满分 12 分）在 中， ， ， ABC53ACsin2iA(I) 求 的值： (II) 求 的值)42sin(A18.（本小题满分 12 分）在 件产品中，有 件一等品， 件二等品， 件三等品。从这 件产品中任取 件，10343103求：（I） 取出的 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望； （II）取出的 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。19.（本小题满分 12 分）如图，在五面体 中， 平面 , ， ，ABCDEFABCDFEA/ABD为 的中点，ME12(I)求异面直线 与 所成的角的大小；(II)证明平面 平面 ；（III）求二面角 的余弦值
6、。20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，过点)0(12bayx )0(,)0,(21cFc的直线与椭圆相交与 两点，且 。)0,(2caEBA, |,/2BAF（1）求椭圆的离心率； 求直线 的斜率； （2）设点 与点 关于坐标原点对称，直线 上有一点 在 的C2 )0(,mnHCAF1外接圆上，求 的值mn21.（本小题满分 12 分）已知函数 满足 当 ，)(xf )(2(xff )21(ln)(,20( axxf时时 的最大值为 4。2,4（）求 函数 的解析式；,0时 )f（）是否存在实数 b使得不等式 对于 时恒成立若存在，求xfb( ),1(0出实数 的取值集
7、合;若不存在，说明理由选做题（本小题 10 分）请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22选修 41 几何证明选讲PANBM在直径是 的半圆上有两点 ,设 与 的交点是 .ABNMABP求证: 2PN23选修 44 极坐标系与参数方程已知圆方程为 08cos78sin6222 xy（1）求圆心轨迹的参数方程 ；C（2）点 是（1）中曲线 上的动点，求 的取值范围),(xPy24选修 45 不等式选讲（1）已知关于 x的不等式 在 上恒成立，求实数 a的最小值；72ax),(x（2）已知 ，求证： 1|,|y|y201210 高三数学题理科参考解答选择
8、题：1 D 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 A 8 C 9 D 10 A 11 D 12 A二填空题：（13） 2cm（14）28 （15） （16）3243三解答题（17） （）解：在ABC 中，根据正弦定理， ABCsini于是 AB=52sinBCA（）解：在ABC 中，根据余弦定理，得 cosA= 522D于是 sinA= 5cos12A从而 sin2A=2sinAcosA= 54,cos2A=cos2A-sin2A= 53所以 sin(2A- 4)=sin2Acos 4-cos2Asin= 10(18) （）解：由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 ，从 10 件产
9、品中任取 3 件，其310C中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck37，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的概率为 P(X=k)= k3107,k=0,1,2,3.所以随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 247402407120X 的数学期望 EX=9123（）解：设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A， “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A2， ”恰好取出 3 件一等品”为事件 A3 由于事件 A1，A2，A3 彼此互斥，且 A=A1A2A3 而,40)(31CAPP(A2)=P(X=
10、2)= 407,P(A3)=P(X=3)= 120,所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为PA=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 3+ +12=3(19).方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线 BF 与 DE所成的角。设 P 为 AD 的中点，连结 EP，PC。因为 FE /AP，所以 FA/EP，同理 AB /PC。又 FA平面 ABCD，所以 EP平面 ABCD。而 PC，AD 都在平面 ABCD 内,故 EPPC，EPAD。由 ABAD，可得 PCAD 设 FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a2，故CED=60。
11、所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60（II）证明：因为 .CEMP.CEDCEM ， 则连 结的 中 点 ， 所 以为且D .CDEADAP 平 面， 所 以 平 面平 面而平 面， 故又 （III） 因 为， 所 以因 为，的 中 点 ， 连 结为解 ： 设 .QQPQ.的 平 面 角为 二 面 角， 故， 所 以 由（I）可得， .226Eaa， ，中 ，于 是 在 3cosERt EP方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A为坐标原点。设 ，1AB依题意得 ， 0， 1C ， 02D ， 1 ， 0F.21M，（I） ，解 ： 0F ，E .210DEBcos ，于
12、是所以异面直线 与 所成的角的大小为 6.（II）证明：，由 21AM， 10C 0AMCE02AD， 可 得， ，.AMDCEADM.CEA.0ADCE 平 面， 故又，因 此 ， .平 面， 所 以 平 面平 面而 （III） .0)(uzyxu， 则，的 法 向 量 为解 ： 设 平 面 .11.0）， 可 得令，于 是 xzy又由题设，平面 ACD的一个法向量为).1(，v .30cosvu，所 以 ，（20）解：由 1FA/ 2B且 12F，得21EFBA，从而2a1c整理，得 23ac，故离心率3cea解：由（I）得 22b，所以椭圆的方程可写为2236xyc设直线 AB 的方程为
13、ykxc，即 ()ykc. 由已知设 12(,)(,)AxB，则它们的坐标满足方程组22()36ykxc消去 y 整理，得22318760kcxkc.依题意，2348()0c， 得而 1223xk 213kcx由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以12c 联立解得 1293cxk，293kcx将 12,x代入中，解得23k.(III)解法一：由（II）可知 120,当23k时，得 (,)Ac，由已知得 (,)Cc.线段 1F的垂直平分线 l 的方程为 22yx直线 l 与 x 轴的交点,02c是 1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为22ccy.直线 B的方程为 2()yxc，于是点 H（
14、m，n）的坐标满足方程组2294()ccmn， 由 0,m解得532cn故25nm当 3k时，同理可得 5. 解法二：由（II）可知 123,cx当2k时，得 (0,2)Ac,由已知得 (0,2)Cc由椭圆的对称性可知 B， F，C 三点共线，因为点 H（m，n）在 1F的外接圆上，且 12/FA，所以四边形 1A为等腰梯形.由直线 的方程为 ()yxc,知点 H 的坐标为 (,)c.因为 1H，所以22ma，解得 m=c（舍） ，或53m.则23nc，所以 5n. 当 3k时同理可得n25m（21） （1）由已知得： ()=+)4()fxfx， 1 分10,2ln2fa因 为 时 ， ， 4
15、,4,()=l(+4)x fax设 时 ， 则 ， 所 以 ()l4fxx时 3 分1()4afxa， 2，12a，当1()0()fxf， 时 ， ， 为 增 函 数，当2xffa， -时 ， ， 为 减 函 数，11()(4)ln()4()mxff a， 1a-5 分当 0,时， x 6 分（2）由（1）可得： 0,1,2时，不等式 ()xbf恒成立，即为 lnbx恒成立， 当 0,1x时，lnbx，令 ()ln,(0,1)gxx则l2ln()gx令 ()2lnhxx，则当 0,1x时，11()0xhx 10，()2hg， ()g，故此时只需 b即可； 8 分当 ,2x时，lnlnxx，令
16、()ln,(1,2)xx则12l()令 ()2lnhxx，则当 1,x时，1()0xhx 10，()02h， ()，故此时只需 b即可， 10 分 综上所述： b，因此满足题中 的取值集合为： 1 12 分22 （本小题满分 10 分）选修 41 几何证明选讲证明:作 PEAB于 为直径, 90ANBM）,N四点共圆, 四点共圆. （6 分）()2M(1)+(2)得 ()EAPNBM9 分即 210 分23选修 44 极坐标系与参数方程23将圆的方程整理得：(x-4cos )2+(y-3sin)2=1 设圆心坐标为 P(x,y)则)360, sin3coyx-5 分(2)2x+y=8cos +3sin = )sin(7 - 72x+y 7-10 分24选修 45 不等式选讲24 （本题0 分）解：（1）2ax，4272)( aax35 分（2）因为 ，所以 10 分222|(1)0yy|1|xy
