1、秦王暗点兵秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著孙子算经。原题为：“今有物不知其数，三三数之 二，五五数之 三，七七数之 二，问物几何？“这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用 3 除余 2，用 5 除余 3，用 7除余 2。求这个数。这个问题很简单：用 3 除余 2，用 7 除也余 2，所以用 3 与 7 的最小公倍数21 除也余 2，而用 21 除余
2、2 的数我们首先就会想到 23；23 恰好被 5 除余 3，所以 23 就是本题的一个答案。这个问题之所以简单，是由于有被 3 除和被 7 除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？这个题目是要求出一个正数，使之用 3 除余 2，用 5 除余 3，用 7 除余 4，而且希望所求出的数尽可能地小。如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。例如我们从用 3 除余 2 这个条件开始。满足这个条件的数是 3n+
3、2，其中 n是非负整数。要使 3n+2 还能满足用 5 除余 3 的条件，可以把 n 分别用 1，2，3，代入来试。当 n=1 时，3n+2=5，5 除以 5 不用余 3，不合题意；当 n=2 时，3n+2=8，8 除以 5 正好余 3，可见 8 这个数同时满足用 3 除余 2 和用 5 除余 3 这两个条件。最后一个条件是用 7 除余 4。8 不满足这个条件。我们要在 8 的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。为此，我们想到，可以使新数等于 8 与 3 和 5 的一个倍数的和。因为 8 加上3 与 5 的任何整数倍所得之和除以 3 仍然余 2，除以 5 仍然余 3。于是我们让新数为 8+
4、15m，分别把 m=1，2，代进去试验。当试到 m=3 时，得到 8+15 m=53，53 除以 7 恰好余 4，因而 53 合乎题目要求。我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的算法统宗（1593 年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。“正半月“暗指 15。“除百零五“的原意是，当所得的数比 105 大时，就 105、105地往下减，使之小于 105；这相当于用 105 去除，求出余数。这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是 3、5、7 时，用 70 乘以用 3 除的余数，用 21 乘以用 5 除的余
5、数，用 15 乘以用 7 除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比 105 大，就除以 105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：702+213+154=263，263=2105+53，所以，这队士兵至少有 53 人。在这种方法里，我们看到：70、21、15 这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：70 是 5 与 7 的倍数，而用 3 除余 1；21 是 3 与 7 的倍数，而用 5 除余 1；15 是 3 与 5 的倍数，而用 7 除余 1。因而702 是 5 与 7 的倍数，用 3 除余 2；213 是 3 与
6、 7 的倍数，用 5 除余 3；154 是 3 与 5 的倍数，用 7 除余 4。如果一个数以 a 余数为 b，那么给这个数加上 a 的一个倍数以后再除以 a，余数仍然是 b。所以，把 702、213 与 154 都加起来所得的结果能同时满足“3 除余 2、用 5 除余 3、用 7 除余 4“的要求。一般地，70m+21n+15k (1m3, 1n5,1k7)能同时满足“用 3 除余 m 、用 5 除余 n 、用 7 除余 k “的要求。除以 105 取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。我们已经知道了 70、21、15 这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三
7、个除数不再是 3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？为了求出是 5 与 7 的倍数而用 3 除余 1 的数，我们看看 5 与 7 的最小公倍数是否合乎要求。5 与 7 的最小公倍数是 57=35，35 除以 3 余 2，35 的 2 倍除以 3 余 2，35 的 2 倍除以 3 就能余 1 了，于是我们得到了“三人同行七十稀“。为了求出是 3 与 7 的倍数而用 5 除余 1 的数，我们看看 3 与 7 的最小公倍数是否合乎要求。3 与 7 的最小公倍数是 37=21，21 除以 5 恰好余 1，于是我们得到了“五树梅花甘一枝“。为了求出是 3 与 5 的倍数而用 7 除余 1 的数，我
8、们看看 3 与 5 的最小公倍数是否合乎要求。3 与 5 的最小公倍数是 35=15，15 除以 7 恰好余 1，因而我们得到了“七子团圆正半月“。3、5、7 的最小公倍数是 105，所以“除百零五便得知“。依照上面的思路，我们可以举一反三。例如：试求一数，使之用 4 除余 3，用 5 除余 2，用 7 除余 5。解 我们先求是 5 与 7 的倍数而用 4 除余 1 的数；5 与 7 的最小公倍数是57=35，35 除以 4 余 3，33 除以 4 余 1，因而 353=105 除以 4 余 1，105是 5 与 7 的倍数而用 4 除余 1 的数。我们再求 4 与 7 的倍数而用 5 除余
9、1 的数；4 与 7 的最小公倍数是47=28，28 除以 5 余 3，37 除以 5 余 1，因而 287=196 除余 5 余 1，所以196 是 4 与 7 的倍数而用 5 除余 1 的数。最后求是 4 与 5 的倍数而用 7 除余 1 的数：4 与 5 的最小公倍数是45=20，20 除以 7 余 6，66 除以 7 余 1，因而 206=120 除以 7 余 1，所以120 是 4 与 5 的倍数而用 7 除余 1 的数。利用 105、196、120 这三个数可以求出符合题目要求的解：1053+1962+1205=1307。由于 4、5、7 的最小公倍数是 457=140，1307
10、大于 140，所以 1307 不是合乎题目要求的最小的解。用 1037 除以 140 得到的余数是 47，47 是合乎题目的最小的正整数解。一般地，105m+196n+120k (1m4,1n5,1k7)是用 4 除余 m,用 5 除余 n,用 7 除余 k 的数;( 105m+196n+120k)除以 140 所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。上面我们是为了写出 105m+196n+120k 这个一般表达式才求出了 105 这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于 57=35 既是 5 与 7 的倍数除以 4 又余 3，就不必求出 105 再乘以 3 了。35+1962+1205=1027就是符合题意的数。1027=7140+47，由此也可以得出符合题意的最小正整数解 47。算法统宗中把在以 3、5、7 为除数的“物不知其数“问题中起重要作用的70、21、15 这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以 4、5、7为除数的问题中起重要作用的 105、196、120 这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。
