1、第一章 静电场1.1 静电的基本现象和基本规律思考题：1、 给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小相等？答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷。然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷。本方法不要求两球大小相等。因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，故所带电量必定等量异号。2、 带电
2、棒吸引干燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒。试解释之。答：在带电棒的非均匀电场中，木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷，故受带电棒吸引。但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。3、 用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电。戴上橡皮手套，握着铜棒和丝绸摩擦，铜棒就会带电。为什么两种情况有不同结果？答：人体是导体。当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷。戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。7、 两个点电荷带电 2q 和 q，相距 l，第三个点电荷放在何处所受的合力为零？解：设所放的点电荷电量为 Q。若 Q 与 q 同号，则三者互相排斥，不可能
3、达到平衡；故Q 只能与 q 异号。当 Q 在 2q 和 q 联线之外的任何地方，也不可能达到平衡。由此可知，只有 Q 与 q 异号，且处于两点荷之间的联线上，才有可能达到平衡。设 Q 到 q 的距离为 x.8、 三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？解：设所放电荷为 Q，Q 应与顶点上电荷 q 异号。中心 Q 所受合力总是为零，只需考虑 q受力平衡。平衡与三角形边长无关，是不稳定平衡。9、 电量都是 Q 的两个点电荷相距为 l，联线中点为 O；有另一点电荷 q，在联线的中垂面上距 O 为 r 处。 （1）求 q 所受的
4、力；（2）若 q 开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运动？分别就 q 与 Q 同号和异号两种情况加以讨论。解：(1) (2)q 与 Q 同号时，F 背离 O 点，q 将沿两 Q 的中垂线加速地趋向无穷远处。q 与 Q 异号时，F 指向 O 点，q 将以 O 为中心作周期性振动，振幅为 r .：设 q 是质量为 m 的粒子，粒子的加速度为因此，在 r0),实际测得它受力 F。若考虑到电荷量 q0 不是足够小的，则 F/ q0 比 P 点的场强 E 大还是小？若大导体带负电，情况如何？答：q0 不是足够小时，会影响大导体球上电荷的分布。由于静电感应，大导体球上的正电荷受到排斥而远离 P 点
5、，而 F/q0 是导体球上电荷重新分布后测得的 P 点场强，因此比 P点原来的场强小。若大导体球带负电，情况相反，负电荷受吸引而靠近 P 点，P 点场强增大。3、 两个点电荷相距一定距离，已知在这两点电荷连线中点处电场强度为零。你对这两个点电荷的电荷量和符号可作什么结论？答：两电荷电量相等，符号相反。4、 一半径为 R 的圆环，其上均匀带电，圆环中心的电场强度如何？其轴线上场强方向如何？答：由对称性可知，圆环中心处电场强度为零。轴线上场强方向沿轴线。当带电为正时，沿轴线向外；当带电为负时，沿轴线向内，-计算题： ： 3、 在早期（1911 年）的一连串实验中，密立根在不同时刻观察单个油滴上呈现
6、的电荷，其测量结果（绝对值）如下：6.56810-19 库仑 13.1310-19 库仑 19.7110-19 库仑8.20410-19 库仑 16.4810-19 库仑 22.8910-19 库仑11.5010-19 库仑 18.0810-19 库仑 26.1310-19 库仑根据这些数据，可以推得基本电荷 e 的数值为多少？解：油滴所带电荷为基本电荷的整数倍。则各实验数据可表示为 kie。取各项之差点儿 5、 两个点电荷，q1=+8 微库仑，q2=-16 微库仑（1 微库仑=10-6 库仑） ，相距 20 厘米。求离它们都是 20 厘米处的电场强度。解： 与两电荷相距 20cm 的点在一个
7、圆周上，各点 E 大小相等，方向在圆锥在上。7、 把电偶极矩 P= ql 的电偶极子放在点电荷 Q 的电场内，P 的中心 O 到 Q 的距离为r(rl),分别求：（1）P/QO 和（2）PQO 时偶极子所受的力 F 和力矩 L。解：（1） F 的作用线过轴心 O，力矩为零（2） ：电细棒（1）在通过自身端点的垂直面上和（2）在自身的延长线上的场强分布，设棒长为 2l，带电总量为 q .解：（1）一端的垂直面上任一点 A 处（2）延长线上任一点 B 处11、 两条平行的无限长直均匀带电线，相距为 a ,电荷线密度分别为e, （1）求这两线构成的平面上任一点（设这点到其中一线的垂直距离为 x）的场
8、强；（2）求两线单位长度间的相互吸引力。解：（1）根据场强叠加原理，任一点场强为两无限长直带电线产生场强的矢量和12、 如图所示，一半径为 R 的均匀带电圆环，电荷总量为 q。 （1）求轴线上离环中心O 为 x 处的场强 E；（2）画出 E-x 曲线；（3）轴线上什么地方场强最大？其值是多少？解：（1）由对称性可知，所求场强 E 的方向平行于圆环的轴线2）由场强表达式得到 E-X 曲线如图所示（3）求极大值：13、 半径为 R 的圆面上均匀带电，电荷面密度为 e， （1）求轴线上离圆心的坐标为x 处的场强；（2）在保持 e 不变的情况下，当 R0 和 R时结果各如何？（3）在保持总电荷 Q=R
9、2e 不变的情况下，当 R0 和 R时结果各如何？解：（1）由对称性可知，场强 E 沿轴线方向利用上题结果（2）保持 e 不变时，（3）保持总电量不变时，14、 一均匀带电的正方形细框，边长为 l，总电量为 q ,求这正方形轴线上离中心为 x处的场强。解：根据对称性，所求场强沿正方形的轴线方向对于一段长为 l 的均匀带电直线，在中垂面上离中点为 a 处产生的电场强度为正方形四边在考察点产生的场强为15、 证明带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线。这抛物线在什么情况下退化为直线？解：（1）设带电粒子的初速度方向与电场方向夹角为 ，其运动方程为 （2）当 E 为均匀电场且粒子的初速度
10、为零时，或初速度平行于电场方向时，初速度没有垂直于场强方向的分量，抛物线退化为直线。6、 如图所示，示波管偏转电极的长度 l=1.5cm,两极间电场是均匀的，E=1.2104V/m(E 方向垂直于管轴 )，一个电子以初速度 v0=2.6107m/s 沿管轴注入。已知电子质量 m=9.110-31kg, 电荷为 e=-1.610-19.C.（1） 求电子经过电极后所发生的偏转；（2） 若可以认为一出偏转电极的区域后，电场立即为零。设偏转电极的边缘到荧光屏的距离 D=10 厘米，求电子打在荧光屏上产生的光点偏离中心 O 的距离。解：（1）电子的运动方程得(2 ) -1.3 高斯定理思考题：1、 一
11、般地说，电力线代表点电荷在电场中运动的轨迹吗？为什么？答：一般情况下，电力线不代表点电荷在电场中运动的轨迹。因为电力线一般是曲线，若电荷沿电力线作曲线运动，应有法向力存在；但电力线上各点场强只沿切线方向，运动电荷必定偏离弯曲的电力线。仅当电力线是直线，且不考虑重力影响时，初速度为零的点电荷才能沿着电力线运动。若考虑重力影响时，静止的点电荷只能沿竖直方向电力线运动。2、 空间里的电力线为什么不相交？答：电力线上任一点的切线方向即为该点场强方向。如果空间某点有几条电力线相交，过交点对每条电力线都可作一条切线，则交点处的场强方向不唯一，这与电场中任一点场强有确定方向相矛盾。3、 一个点电荷 q 放在
12、球形高斯面的中心处，试问在下列情况下，穿过这高斯面的电通量是否改变？（1） 如果第二个点电荷放在高斯球面外附近；（2） 如果第二个点电荷放在高斯球面内；（3） 如果将原来的点电荷移离了高斯球面的球心，但仍在高斯球面内。答：由于穿过高斯面的电通量仅与其内电量的代数和有关，与面内电荷的分布及面外电荷无关，所以（1） ；（2） ；（3） 4、 （1）如果上题中高斯球面被一个体积减小一半的立方体表面所代替，而点电荷在立方体的中心，则穿过该高斯面的电通量如何变化？（2）通过这立方体六个表面之一的电通量是多少？答：（1）立方形高斯面内电荷不变，因此电通量不变；（2）通过立方体六个表面之一的电通量为总通量的
13、 1/6。即 5、 附图所示，在一个绝缘不带电的导体球的周围作一同心高斯面 S。试定性地回答，在将一正点荷 q 移至导体表面的过程中，（1） A 点的场强大小和方向怎样变化？（2） B 点的场强大小和方向怎样变化？（3） 通过 S 面的电通量如何变化？答：由于电荷 q 的作用，导体上靠近 A 点的球面感应电荷-q，远离 A 点的球面感应等量的+q ,其分布与过电荷 q 所在点和球心 O 的联线成轴对称，故 q在 A、B 两点的场强E沿 AOB 方向。（1） E=E0+E，q 移到 A 点前，E0 和 E同向，随着 q 的移近不断增大，总场强EA 也不断增大。q 移过 A 点后，E0 反向，且
14、E0 E，EA 方向与前相反。随着 q 的远离 A 点，E0 不断减小，q和 E增大，但因 E始终小于 E0，所以 EA 不断减小。（2） 由于 q 及q 在 B 点的场强始终同向，且随着 q 移近导体球，二者都增大，所以 EB 不断增大。（3） q 在 S 面外时，面内电荷代数和为零，故 =0；q 在 S 面内时，=q/ 0；当 q在 S 面上时，它已不能视为点电荷，因高斯面是无厚度的几何面，而实际电荷总有一定大小，此时 =q/ 0，q 为带电体处于 S 面内的那部分电量。6、 有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上，在此气球被吹大的过程中，下列各处的场强怎样变化？（1） 始终在气球内部
15、的点；（2）始终在气球外部的点；（3）被气球表面掠过的点。答：气球在膨胀过程中，电荷始终均匀分布在球面上，即电荷成球对称分布，故场强分布也呈球对称。由高斯定理可知：始终在气球内部的点，E=0，且不发生变化；始终在气球外的点，场强相当于点电荷的场强，也不发生变化；被气球表面掠过的点，当它们位于面外时，相当于点电荷的场强；当位于面内时，E=0，所以场强发生跃变。7、 求均匀带正电的无限大平面薄板的场强时，高斯面为什么取成两底面与带电面平行且对称的柱体的形状？具体地说，（1） 为什么柱体的两底面要对于带电面对称？不对称行不行？（2） 柱体底面是否需要是圆的？面积取多大合适？（3） 为了求距带电平面为
16、 x 处的场强，柱面应取多长？答：（1）对称性分析可知，两侧距带电面等远的点，场强大小相等，方向与带电面垂直。只有当高斯面的两底面对带电面对称时，才有 E1=E2=E，从而求得 E。如果两底在不对称，由于不知 E1 和 E2 的关系，不能求出场强。若已先证明场强处处相等，就不必要求两底面对称。（2） 底面积在运算中被消去，所以不一定要求柱体底面是圆，面积大小也任意。（3） 求距带电面 x 处的场强时，柱面的每一底应距带电面为 x，柱体长为 2x。同样，若已先证明场强处处相等，则柱面的长度可任取。17、 求一对带等量异号或等量同号电荷的无限大平行平面板之间的场强时，能否只取一个高斯面？答：如果先
17、用高斯定理求出单个无限大均匀带电平面的场强，再利用叠加原理，可以得到两个无限大均匀带电平面间的场强。在这样的计算过程中，只取了一个高斯面。18、 已知一高斯面上场强处处为零，在它所包围的空间内任一点都没有电荷吗？答：不一定。高斯面上 E=0，S 内电荷的代数和为零，有两种可能：一是面内无电荷，如高斯面取在带电导体内部；二是面内有电荷，只是正负电荷的电量相等，如导体空腔内有电荷 q 时，将高斯面取在导体中，S 包围导体内表面的情况。19、 要是库仑定律中的指数不恰好是 2（譬如为 3） ，高斯定理是否还成立？答：不成立。设库仑定律中指数为 2+， 穿过以 q 为中心的球面上的电通量为 ，此时通量
18、不仅与面内电荷有关，还与球面半径有关，高斯定理不再成立。习题：、 设一半径为厘米的圆形平面，放在场强为的匀强电场中，试计算平面法线与场强的夹角 取下列数值时通过此平面的电通量。 （）；（）；（）；（）；（）。解： 、 均匀电场与半径为 a 的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。解：通过半球面的电通量与通过半球面在垂直于场强方向上的投影面积的电通量相等。、 如附图所示，在半径为和的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷和，求：（）、三个区域内的场强分布；（）若，情况如何？画出此情形的r 曲线。解：（）应用高斯定理可求得三个区域内的场强为Er 曲线 (r R2)( 2 ) 若，E1
19、=E3=0, Er 曲线如图所示。、 根据量子理论，氢原子中心是一个带正电子 qe 的原子核（可以看成是点电荷） ，外面是带负电的电子云。在正常状态（核外电子处在态）下，电子云的电荷密度分布是球对称的：式中 a0 为一常数（它相当于经典原子模型中 s 电子圆形轨道的半径，称为玻尔半径） 。求原子内电场的分布。解：电子云是球对称分布，核外电子的总电荷量为 可见核外电荷的总电荷量等于电子的电荷量。应用高斯定理：核外电荷产生的场强为原子核与核外电荷产生的总场强为、 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，垂直于地面向下，大小约为；在离地面 1.5 千米高的地方，也是垂直地面向下的，大小约为。（） 试计
20、算从地面到此高度大气中电荷的平均密度；（） 如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。解：（）以地心为心作球形高斯面，恰好包住地面，由对称性和高斯定理得 （） 以地球表面作高斯面 、 半径为的无穷长直圆筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量为 .求场强分布，并画出 Er 曲线。解：应用高斯定理，求得场强分布为 rREr 曲线如图所示。、 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为和，筒面上都均匀带电。沿轴线单位长度的电量分别为 和 ，（） 求各区域内的场强分布；（） 若 ，情况如何？画出此情形的 Er 曲线。解：（）由高斯定理，求得场强分布为r R2 （）若 ，不变。此情形的 Er 曲线
21、如图所示。、 半径为的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度为 ，求场强分布，并画出-r 曲线。解：应用高斯定理，求得场强分布为圆柱体内 圆柱体外 Er 曲线如图所示、 设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示 ，式中 r 是到轴线的距离，是轴线上的密度值，a 是常数，求场强的分布。解：应用高斯定理，作同轴圆柱形闭合柱面为高斯面。方向沿矢径 r 方向。、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为，求各区域的场强分布。解：无限大均匀带电平面所产生的电场强度为根据场强的叠加原理，各区域场强分别为可见两面外电场强度为零，两面间电场是均匀电场。平行板电容器充电后，略去边缘效应，其电
22、场就是这样的分布。、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是 ，求各区域的场强分布。解：与上题同理，无限大均匀带电平面所产生的电场强度为 应用场强叠加原理，场强在各区域的分布为可见两面间电场强度为零，两面外是均匀电场，电场强度大小相等，方向相反。、 一厚度为 d 的无限大平板，平板体内均匀带电，电荷的体密度为 ，求板内、板外场强的分布。解：根据对称性，板内外的电场强度方向均垂直于板面，并对中心对称。应用高斯定理可求得：板内（rd/2） 、 如果在上题中电荷的体分布为p-n 结外 （x）=0-xnxxp （x）=-eax (线性缓变结模型)这里 a 是常数，xn= xp （为什么？） ，统
23、一用 xm/2 表示。试证明电场分布为并画出 和随 x 变化的曲线。解：正负电荷代数和仍为零，p-n 结外 E=0作高斯面 和随 x 变化的曲线如图所示。-1.4 电位及其梯度思考题：、 假如电场力的功与路径有关，定义电位差的公式 还有没有意义？从原则上说，这时还能不能引入电位差、电位的概念？答：如果电场力的功与路径有关，积分 在未指明积分路径以前就没有意义，路径不同，积分结果也不同，相同的位置，可以有无限多取值，所以 就没有确定的意义，即不能根据它引入电位、电位差的概念来描写电场的性质。、 （1）在附图 a 所示的情形里，把一个正电荷从 P 点移动到 Q，电场力的功 APQ是正还量负？它的电
24、位能是增加还是减少？P、Q 两点的电位哪里高？（2）若移动负电荷，情况怎样？（3）若电力线的方向如附图 b 所示，情况怎样？答：(1)正电荷在电场中任一点受电场力 F= qE，方向与该点 E 方向相同，在路径上取任一微元， dA0PQ，电场力的功 APQ 0，APQ=q(UP-UQ)=Wp-WQ0,所以电位能减少，qo ,A0,所以UQ（）负电荷受力与电场方向相反，PQ，电场力的功 APQUQ（）由于场强方向与前述相反，则所有结论与（） （）相反。、 电场中两点电位的高低是否与试探电荷的正负有关？电位差的数值是否与试探电荷的电量有关？答：电位高低是电场本身的性质，与试探电荷无关。电位差的数值也
25、与试探电荷的电量无关。、 沿着电力线移动负试探电荷时，它的电位能是增加还是减少？答：沿着电力线移动负试探电荷时，若 dl 与同向，电场力作负功，电位能增加；反之电位能减少。、 说明电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。答：在任何情况下，电力线的方向总是正电荷所受电场力的方向，将单位正电荷逆着电力线方向由一点移动到另一点时，必须外力克服电场力作功，电位能增加。电场中某点的电位，在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电位能，因此，电位永远逆着电力线方向升高。、 （1）将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电场中高电位处跑还是向低电位处跑？为什么？（2）说明无论对正负电荷来说，仅
26、在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高处移向电位能低处。答：（）电子带负电，被电场加速，逆着电力线方向运动，而电场中各点的电位永远逆着电力线方向升高-电子向高电位处移动。（）若电子初速度为零，无论正负电荷，单在电场力作用下移动，电场力方向与位移方向总是一致的，电场力作正功，电位能减少，所以电荷总是从电位能高处向电位能低处移动。、 可否规定地球的电位为+100 伏，而不规定它为零？这样规定后，对测量电位、电位差的数值有什么影响？答：可以。因为电位零点的选择是任意的，假如选取地球的电位是 100V 而不是 0V，测量的电位等于以地为零电位的数值加上 100V，而对电位差无影响。、 若甲、乙两导体
27、都带负电，但甲导体比乙导体电位高，当用细导线把二者连接起来后，试分析电荷流动的情况。答：在电场力作用下，电荷总是从电位能高处向电位能低处移动。负电荷由乙流向甲，直至电位相等。、 在技术工作中有时把整机机壳作为电位零点。若机壳未接地，能不能说因为机壳电位为零，人站在地上就可以任意接触机壳？若机壳接地则如何？答：把整机机壳作为零电位是对机上其他各点电位而言，并非是对地而言。若机壳未接地，它与地之间可能有一定的电位差，而人站在地上，与地等电位，这时人与机壳接触，就有一定电位差加在人体上。当电压较高时，可能造成危险，所以一般机壳都要接地，这样人与机壳等电位，人站在地上可以接触机壳。、 （1）场强大的地
28、方，是否电位就高？电位高的地方是否场强大？（） 带正电的物体的电位是否一定是正的？电位等于零的物体是否一定不带电？（） 场强为零的地方，电位是否一定为零？电位为零的地方，场强是否一定为零？（） 场强大小相等的地方电位是否相等？等位面上场强的大小是否相等？以上各问题分别举例说明之。答：（） 不一定。E 仅与电势的变化率有关，场强大仅说明 U 的变化率大，但 U 本身并不一定很大。例如平行板电容器，B 板附近的电场可以很强，但电位可以很低。同样电位高的地方，场强不一定大，因为电位高不一定电位的变化率大。如平行板电容器 A 板的电位远高于 B 板电位，但 A 板附近场强并不比 B 板附近场强大。（）
29、 当选取无限远处电位为零或地球电位为零后，孤立的带正电的物体电位恒为正，带负电的物体电位恒为负。但电位的正负与零电位的选取有关。假如有两个电位不同的带正电的物体，将相对于无限远电位高者取作零电位，则另一带电体就为负电位，由引可说明电位为零的物体不一定不带电。（） 不一定。场强为零仅说明 U 的变化率为零，但 U 本身并不一定为零。例如两等量同号电荷的连线中点处，E=0 而 U0。U 为零时，U 的变化率不一定为零，因此 E 也不一定为零。例如两等量异号电荷的连线中点处，U=0 而 E0（） 场强相等的地方电位不一定相等。例如平行板电容器内部，E 是均匀的，但 U 并不相等。等位面上场强大小不一
30、定相等。如带电导体表面是等位面，而表面附近的场强与面电荷密度及表面曲率有关。、 两个不同电位的等位面是否可以相交？同一等位面是否可以与自身相交？答：在零电位选定之后，每一等位面上电位有一确定值，不同等位面 U 值不同，故不能相交。同一等位面可与自身相交。如带电导体内部场强为零，电位为一常量，在导体内任意作两个平面或曲面让它们相交，由于其上各点的电位都相同，等于导体的电位，这种情况就属于同一等位面自身相交。习题：、 在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为 100MV（十亿伏特） ，通过的电量约为 30C。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从00C 加热到 100
31、0C？解： 一次闪电消耗的能量为 W=QU=30109=31010（J）所求的水的质量为 M=W/J=72（t）、 已知空气的击穿场强为 2106V/m,测得某次闪电的火花长 100 米，求发生这次闪电时两端的电位差。解：U=2106100=2108 （V ）、 证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等；或者凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。证明：在电场中作任意矩形闭合回路 abcd，移动电荷 q 一周，电场力作功为、 两个点电荷的电量都是 q，相距为 l，求中垂面上到两者联线中点为 x 处的电位。解：根据电势的叠加原理、 有两个
32、异号点电荷 me 和-e(n1),相距为 a ,（） 证明电位为零的等位面是一个球面；（） 证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在-e 点电荷的外边；（） 这球的半径是多少？解：以-e 为原点 O，两电荷的联线为 x 轴，取坐标系如图所示。根据电势叠加原理，空间任一点的电势为、 证明如图所示电四极子在它的轴线延长线上的电位为 ，并由梯度求场强。 解：取坐标系如图所示，根据电势的叠加原理、 一电四极子如图所示，证明：当 rl 时，它在 P（r,）点产生的电位为图中的极轴通过正方形中心 O 点，且与一边平行。解：（1）根据电势叠加原理当 rl 时， （2）由电势梯度求场强此题也可以将平面电四极子当
33、作两个电偶极子，由电偶极子产生的电势叠加求 U 及E。、 求均匀带电圆环轴线上电位的分布，并画 U-x 曲线。解：（1）P 点的电势及场强为（2）由电势表达式得因此得 U-x 曲线为、 求均匀带电圆面轴线上的电位分布，并画 U-x 曲线。解：（1）利用上题结果，求得电位及场强分布为（2）由电势表达式得U-X 曲线如图所示、 求两个均匀带电的同心球面在三个区域内的电位分布，并画 U-r 曲线。解：（1）已知均匀带电球面产生的电场中电位的分布为由电势叠加原理可知：（2）U-r 曲线如图所示、 在上题中，保持内球上电量 Q1 不变，当外球电量 Q2 改变时，试讨论三个区域内的电位有何变化？两球面之间
34、的电位差有何变化？解：保持 Q1 不变，当外球电量 Q2 变化时，各区域电位随之变化、 求均匀带电球体的电位分布。并画 U-x 曲线。解：（1）由高斯定理可求得场强分布为（2）由场强求得电势为（3）U-r 曲线如图所示、 金原子核可当作均匀带电球，半径约为 6.910-15 米，电荷为 Ze=791.610-19C,求它表面上的电位。解： 、 （1）一质子（电荷为 e=1.610-19C,质量为 1.6710-27kg）,以 1.2102m/s 的初速从很远的地方射向金原子核，求它能达到金原子核的最近距离。2 1 、在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为 5.2910-11m,已知氢原子核（
35、质子）和电子带电各为e。把氢原子中的电子从正常状态下离核的最近距离拉开到无穷远处所需的能量，叫做氢原子核的电离能。求此电离能是多少电子伏和多少焦耳。解：设电子的质量为 m，速度为 v,氢原子基态的能量为负号是因为，以电子和质子相距无穷远时为电势能的零点，要把基态氢原子的电子和质子分开到相距无穷远处，需要外力做功。这功的最小值便等于氢原子的电离能量 EE=-W=-13.6eV一摩尔氢原子的电离能量为Emol=NAE=8.19eV=1.31106(J)2 2、 轻原子核（如氢及其同位素氘、氚的原子核）结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变。核聚变过程可以释放出大量能量。例如，四个氢原子核（质子）结合
36、成一个氦原子核（ 粒子）时，可释放出 28MeV 的能量。这类核聚变就是太阳发光、发热的能量来源。如果我们能在地球上实现核聚变，就可以得到非常丰富的能源。实现核聚变的困难在于原子核都带正电，互相排斥，在一般情况下不能互相靠近而发生结合。只有在温度非常高时，热运动的速度非常大，才能冲破库仑排斥力的壁垒，碰到一起发生结合。这叫做热核反应。根据统计物理学，绝对温度为 T 时，粒子的平均平动动能为 ，k=1.3810-23J/K. 试计算：（） 一个质子以怎样的动能（以 eV 表示）才能从很远的地方达到与另一个质子接触的距离？（） 平均热运动动能达到此数值时，温度（以 K 表示）需为多少？解：（1）设
37、两个质子迎头相碰，碰撞时两者中心距离为 2r 实际上，由于量子力学的隧道效应，使质子不需要那么大的动能就可以穿过静电壁垒而达到互相接触，故发生热核聚变所需的温度可以低一些，据估算，108K 即可。、在绝对温度为 T 时，微观粒子热运动能量具有 KT 的数量级。有时人们把能量 KT折合成电子伏，就说温度 T 为若干电子伏。问：（） T=1eV 相当于多少开？（） T=50keV 相当于多少开？（） 室温（T=300K）相当于多少 eV?太阳表面温度约为 6000K， T=0.52eV热核反应时温度高达 108K，T=8.6(keV)、电量 q 均匀地分布在长为 2l 的细直线上，求下列各处的电位
38、 U：（） 中垂面上离带电线段中心 O 为 r 处，并利用梯度求 Er;（） 延长线上离中心 O 为 Z 处，并利用梯度求 EZ；（） 通过一端的垂面上离该端点为 r 处，并利用梯度求 Er.解：（）中垂面上离中心为 r1 处，）延长线上离中心为 r2 处( 3 )端垂面上离该端为 r3 处，、如图所示，电量 q 均匀地分布在长为 2l 的细直线上，（） 求空间任一点 P（r,z）的电位 U(0球的半径)。作用在、q 1、q 2 和 q 四物体上的静电力各多大？答：电荷 q1 在其所在空腔内壁上感应出q 1 的电荷，在的外表面上感应出q 1 的电荷；q2 在其所在空腔内壁上感应出 q 的电荷，
39、在的外表面上感应出q 的电荷；因此的外表面上感应电荷的总电量为 q1q 。(rR ，q 在球面上的感应电荷不计)q 1 和q 1 在空腔外产生的场强的矢量和为零，因此，它们对球面上的电荷q1q 以及电荷 q、q 没有作用力。同样，q 和q 也是如此。电荷 q 和球面上的电荷 q1q 由于静电屏蔽效应，对 q1 和 q 也没有作用力。由于 q 至球中心的距离 rR, 电荷 q 和球面上的电荷 q1q 的相互作用，可看作两个点电荷之间的相互作用，相互作用力满足库仑定律。力的大小为 ，方向在沿着 q 和2104rE球心的连线上。q 1 和 q 之间没有相互作用力，因为它们各自发出的电力线全部终止在自
40、己所在的空腔内表面上。q 1 只受其所在腔壁上q 1 作用，由于对称性，作用力相互抵消为零。同样 q 所受到的作用力也为零。、在上题中取消 rR 的条件，并设两空腔中心的间距为 a ,试写出：（）q 给 q1 的力；（）q 给 q 的力；（）q 1 给的力；（）q 1 受到的合力。答：（）电荷之间的相互作用力与其他物质或电荷是否存在无关，所以点电荷 q 给点电荷 q1 的作用力为 210/4arF（）同理 q 给 q 的力 210/q（）q 1 给的力 （所带总电量为零，等量异号电荷分布具有轴对称性）（） q1 受到的合力为零。因为所受力包括四部分 一是空腔内表面上与其等量异号的感应电荷对其的
41、作用力，由于感应电荷均匀分布于内球面上，由对称性可知 ；二是 q2 及其空腔内表面上的感应电荷q 2 对其的作用力，q 2 在内表面上的分布也是均匀的，q 2 及q 2 对 q1 的作用力 ；三是球外表面感应电荷 q1q 对其作用，q 1q 均匀分布于球面上，在导体内部产生的场强为零，所以作用力 03F四是 q 及上感应电荷对其作用。导体外表面上感应电荷在导体内产生的场正Q2 qrAq1 q2好与引起它的电荷在导体内产生的电场互相抵消，使得导体内场强处处为零，所以合力 。、 （）若将一个带正电的金属小球移近一个绝缘的不带电导体时，小球受到吸引力还是排斥力？（）若小球带负电，情况将如何？（）若当
42、小球在导体近旁（但未接触）时，将导体远端接地，情况如何？（）若将导体近端接地，情况如何？（）若导体在未接地前与小球接触一下，将发生什么变化？（）若将导体接地，小球与导体接触一下后，将发生什么变化？答： （）导体在靠近小球一端感应电荷为负电荷，小球受吸引力；（）若小球带负电，导体在靠近小球一端感应电荷为正电荷，小球仍受吸引力；（）导体远端接地时，导体整体带负电，小球所受力为吸引力；（）导体近端接地时，导体仍带负电，小球所受力为吸引力；（） 导体在未接地前与小球接触一下，导体也带正电，小球受到排斥力；（） 导体接地，小球与导体接触后，所有电荷将通过导体流入大地，小球与导体均不带电，因此小球与导体之
43、间没有相互作用力。、 （）将一个带正电的金属小球放在一个开有小孔的绝缘金属壳内，但不与接触。将另一带正电的试探电荷移近时，将受到吸引力还是排斥力？若将小球从壳内移去后，将受到什么力？（）若使小球与金属壳内部接触，受什么力？这时再将小球从壳内移去，情况如何？（）使小球不与壳接触，但金属壳接地，将受什么力？将接地线拆掉后，又将小球从壳内移去，情况如何？（）如情形（） ，但先将小球从壳内移去后再拆除接地线，情况与（）相比有何不同？答：（）在此情形下，带正电的球将在金属壳内表面感应出负电荷，在金属壳外表面感应出正电荷，球和金属壳组成的体系在金属壳外部的场，只由金属壳外表面的电荷分布决定，由于金属壳外表
44、面带正电，所以处在这个电荷的场中的带正电的试探电荷将受到排斥力（这里忽略不计的场对金属壳外表面电荷分布的影响，否则，在一定条件下，它们之间可能出现相互吸引的情况） 。若将从壳内移去，带正电的试探电荷将使金属壳外表面上产生感应电荷，靠近的一边出现负电荷，远离的一边出现正电荷。 距离不同，吸引力大于排斥力，结果将受到吸引力作用。（）小球与金属壳内部接触，的正电荷将分布在金属壳的外表面，处于此电场中的将受到排斥力的作用。这时再将从金属壳内移去，情况不变。（）不与金属壳接触，但金属壳接地时，金属壳外表面由于的存在而出现的感应电荷消失。但由于带正电的的存在，将在离最近的一边出现负的感应电荷，它将使球受到
45、吸引力作用。将接地线拆掉后，又将从壳内移去，内表面上的负电荷将分布在外表面上，最后结果是球所受的吸引力增大。（）先将移去再拆去地线，与（）的最后结果相同，但引力大小不同。在（）中，由于静电平衡状态下先拆掉地线，各部分电荷分布不变，再将从壳内移去，内壁的负电荷转移到外表面后不能入地，球受到的吸引力增大。在（）中，先将从壳内移去，内壁的负电荷转移到外表面后，全部从接地线入地，静电平衡后再拆去地线，球受到的吸引力将不增加。、在一个孤立导体球壳的中心放一个点电荷，球壳内、外表面上的电荷分布是否均匀？如果点电荷偏离球心，情况如何？答：电荷放在球心，由于球对称性，球壳内、外表面上的电荷分布是均匀的。如果点
46、电荷偏离球心，力线不是从球心出发，但在内表面附近，又必须垂直于球壳的内表面，所以球壳内的场强分布不再具有球对称性，球壳内表面上的电荷分布不再均匀。但是，点电荷发出的电力线终止在内表面上，不影响球壳外部，因此，球壳外表面的电荷仍然按外表面的形状均匀分布。、如图所示，金属球置于两金属板间，板间加以高压，则可看到球与板间放电的火花。若再在下面板上金属球旁放一等高度的尖端金属，问放电火花将如何变化？想一想这现象可有何应用？答：若在下面板上金属球旁放一等高的尖端金属，则球和上板之间不再出现放电火花，火花只出现在尖端金属与上板之间。这是由于导体尖端处面电荷密度大，附近的场强特别强，使得空气易于在金属尖端和上板之间被击穿而发生火花放电。上述现象说明，曲率半径小的尖端比曲率半径大的表面易于放电。利用这种现象可以做成避雷针，避免建筑物遭受雷击；让高压输电线表面作得很光滑，其半径不要过小，避免尖端放电而损失能量；高压设备的电极作成光滑球面，避免尖端放电而漏电，以维持高电压等。-习题：、 如图所示，一平行板电容器充电后，、两极板上电荷的面密度分别为 和。设为两板间任一点，略去边缘效应，求：（） 板上的电
