1、1数学游戏漫谈摘 要：游戏与数学作为两项人类活动具有许多共同的特点，这种共性主要体现在它们的性 质、结构以及实践等三个方面。数学与游戏之间的关系是相互渗透、相互统一的关系。游戏的精 神一直伴随着数学的成长和发展，成为数学发展的主要动力之一；并从以下几个方面影响了数学 的发展：游戏激发了许多重要数学思想的产生，游戏促进了数学知识的传播，游戏是数学人才发 现的有效途径。此外，游戏还在数学教育中起着非常重要的作用。关键词：数学 游戏 数学发展 数学贡献 组合数学也称组合学，现代数学根据所研究的对象可分为两类： 连续数学：以微积分为基础，传统主流；离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾。组合数学研究的中心
2、问题是按照一定的规划来安排一些与物件有关的问题。1.存在问题当符合要求的安排并非显然存在或不存在时，首要的问题是证明或否定它的存在. 2.计算问题或分类问题当符合要求的安排显然存在，或者已证明它存在时，求出这类安排的各抒己见，或者把它分类. 3.构造问题（组合设计）把满足某种条件的安排构造出来. 4.优化问题给出最优标准，找出满足给定条件的最优安排.游戏对于数学 的作用至多起激发兴趣和调节情绪的作用。然而，事实上情况并非那么简单。考察一下数学与游 戏的关系，我们发现游戏与数学的关系非常密切。无论从数学知识的本身，还是数学活动的过程， 如从事数学活动的人们的动机、方法等方面都可发现游戏的因素。下
3、面我们来看看一些经典的数学游戏：（一）胃痛问题阿基米德以恶作剧、迷题及走捷径而闻名。从阿基米德宝典里，已发掘出一个会让人人玩到胃痛的 14 巧板游戏，在计算把 14 条不规则的纸带拼成正方形有多少种不同的拼法。答案是 325617（二）七桥问题Pregel 河横穿 Knigsberg 城，河上建有七座桥 ，能否设计散步路线，走过所有2七座桥，每座桥恰好经过一次而回到同一地点？Euler 于 1736 年给以否定：图有这样的路线当且仅当每个点连接偶数条边。（三）3x+1 问题3x+1 问题：对每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2。如此循环，最终都能够得
4、到 1。例：7221134175226134020105168421 Tomas Oliveira e Silva 用了巧妙的编程验证对所有小于100*250=112589990684262400 的正整数均正确。（四）拉丁方阵与正交拉丁问题每名军官对应一个有序对（军团，军衔）以 9 名军官为例：军团阵列 军衔阵列 并置阵列 （拉丁方阵） （拉丁方阵） （正交拉丁方阵）Euler(1779)：不存在 4t+2 阶正交拉丁方？Tarry(1900)：不存在 6 阶正交拉丁方，存在 10 阶正交拉丁方。Bose, Shrikhande 和 Parker(1960)：当 t2 时，存在 4t+2 阶
5、正交拉丁方！首次数学上了 The New York Times 的头版！（五）Nim 取子游戏Nim 取子游戏是由两个人面对若干堆石子进行的游戏。设有 k 1 堆石子， 各堆分别含有 n1, n2, , nk 个石子。游戏的目的就是选择最后剩下的硬币。游戏法则如下：(1) 游戏人交替进行游戏(2) 当轮到每个游戏人取子时，选择这些石子堆中的一堆，并从所选的堆中取走至少一个石子。 )2,1(3),2(,13213想法： 2 进制定义： 平衡态游戏结论：任何人可以在非平衡态做一次取子，使其变成平衡态。任何人在平衡态下取子一定会打破平衡态。（1）一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行： 游戏从一空堆开
6、始。当轮到一个游戏人时，他可以往该堆中加进 1, 2, 3 或 4 枚硬币。往堆中加进第 100 枚硬币的游戏人为得胜者。确定在这局游戏中是游戏人 I 还是游戏人 II 能够确保取胜。取胜的策略是什么？此问题是一个更简单的问题，答案很明显，我们发现游戏人 II 一定是赢家，因为他只需要保持他和游戏人 I 放硬币的数和为 5 即可。又由于 100 可以被 5 整除，所以游戏人 II 一定是赢家。（2）有一棵树，高度为 h(108)，现在有 n(105)只猴子分别在树上 n 个不同的位置，两个游戏人来玩这个游戏，在这种状态下，两个玩家可以命令任何一只猴子往上爬至少一个格子，当没有任何猴子有爬的空间
7、时，这个玩家算为输掉了游戏？请问如果事先告诉你这些状态，你能判断出两个玩家的输赢吗？如果有偶数只猴子，则把两两相邻的猴子之间的距离看作一堆石子如果有奇数只猴子，把最上面一只猴子到树顶的距离看作一堆石子，剩下的猴子同上。实际上， “加石子”的性质并不影响结果。如果一方面对平衡态时选择加石子，那么另一方可以选择把加上的石子原样拿走，仍把平衡态留给对方。而本题由于猴子的爬行方向有限制，这个过程不可能无限进行下去。游戏总会有一个结束。（3）假设有 n 个 Nim 堆，每堆的石子数量为 ai，现在把经典的 Nim 取子的方法改变，设一个集合 s，这个集合里有 k 个数，每个数为 si，我们说如果在任何一
8、个堆里取石子的话，你只能拿个数在集合 s 中的一种情况。再规定，如果说哪个游戏人无法取子，则说明他输。请问如果给你一个这样的状态，你能否确定谁是赢家吗？此问题为有限制的 Nim 取子问题，希望参考 Game Theory 论文中的 Sprague-Grundy Function。这种问题可以解决一类 Nim 取子问题。（六）Kirkman 女生问题有 15 个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人4行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？Kirkman 三元系：把 v 个女学生分成 v/3 组，使得在每(v1)/2 天内任意两
9、个女生在同一组内只相遇一次。Ray-Chaudhuri 和 Wilson （1971）：Kirkman 三元系存在的充要条件是 v=6k+3相类似的问题还有：任何六人中必有三人彼此相识或互不相识。以点表人，连实线表相识，虚线表不相识。那么六个点的完全图里或有实三角形或有虚三角形。五个点的则不然。Ramsey(1903-1930)：给定任意正整数 p 和 q，总存在一个最小正整数 R(p,q)，使得 R(p,q)个人中或者有 p 个人互相认识，或者有 q 个人互不相识。R(p,q) 称为 Ramsey 数，只要人数足够多，则互相认识的人会越来越多，或互不相识的人会越来越多。Ramsey 数的计算
10、是对人类智力的挑战！例如 R(4,5)=25 (1993 年计算机 11 年的计算量)Erds 用如下比喻说明其困难程度：一伙外星人入侵地球，要求一年内求得 R(5,5)，否则将灭绝人类！那么也许人类能集中所有计算机和专家来求出它以自保；但如果外星人问的是 R(6,6) ，那么人类将别无选择，只能拼死一战了。“Kirkman 女生问题”引出组合数学的一个重要分支组合设计。对这些数学游戏，一旦当人们认识到它们在数学和其他科学上的深刻含义后，便又促使人们对它进行更深入的研究，从而丰富了数学学科的内容和知识。该问题就是最典型的组合设计问题。其本质就是如何将一个集合中的元素组合成一定的子集系以满足一定
11、的要求。表面上5看来，Kirkman 女生问题是纯粹的数学游戏，然而它的解却在医药试验设计上有很广泛的运用。德国组合数学家利用组合设计的方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用。在美国也有专门的公司用组合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设计问题。（七）三十六军官问题普鲁士腓特烈大帝在一次检阅中要求：从不同的 6 个军团各选 6 种不同军衔的 6名军官共 36 人，排成一个 6 行 6 列的方队，使得各行各列的 6 名军官恰好来自不同的军团而且军衔各不相同。 36 个军官问题这个纯粹来自智力游戏的题目孕育着艰深的数学问题 。Euler 猜想直到二十世纪中叶才获得解决，有两个原因：一是
12、理论上的准备。这类问题用初等方法很难解决，二十世纪代数和几何的发展为解决问题提供了必要工具（如 Galois 域上的射影几何即有限几何等） ；二是生产实际的推动。数理统计学家 Fisher 将正交拉丁方用于试验设计，例如，用二种原料合成某染料，每种原料有 3 个水平，怎样安排试验能使每种原料的各种水平各碰一次？这正好是 3 阶的正交拉丁方阵问题。 Fisher 的试验设计是一股巨大的推动力量，把一种数学游戏变成了节约人力物力的具有重大价值的科学方法。（八）错位排列问题在一个聚会上，n 位绅士查看他们的帽子。有多少种方式使得这些绅士中没有人能够拿到他们来时所戴的帽子？定理：对于 n 1,递推表达
13、式:第 n 个 Catalan 数为：)!1(!312!1( nDn )(1( 12nnn DDnCn216Catalan 序列递推关系式：经典的买票问题本次足球比赛的门票为 50 元，而站排买票的球迷有 m 个人手里拿着一张面值 50元的钞票，有 n 个人手里拿着一张面值 100 元的钞票。工作人员事先忘了为售票处准备任何零钱，请问您是否能算出这(m+n)个人共有多少种排队方式买票，使售票处不至于出现找不开钱的尴尬局面？此问题堪称经典，是因为如果说当 m=n 时，恰好是个 Catalan 数问题。并且可以轻松转化成 2 进制串 01 限制问题，和方格对角限制走法问题。但是由于题目中并没有说明
14、 m 一定等于 n，所以本问题要再复杂一点？A5A2A4A1A3如果将这个图的每一小段边进行编号又会怎样呢？1)1(241CnCnnnB1 B2 B3 B47答案很显然：对于 A 和 B 两组边，他们的排列顺序都应该符合 1,2,3,那么最后得出的答案（所谓的路径）也一定一个 AiBj 的序列，我们很容易的就得出路径的总数应该是：或者除了这些有趣的游戏外在我们的身边也常常遇到有关组合数学的问题。我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从一到九这九个数按三行三列的队行排列，使得每行，每列，以及两条对角线上的三个数之和都是一十五。组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。1977 年美国旅行者 1 号、
15、2 号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。 在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这就是一个很典型、很简单的组合数学问题。 航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足 不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是 组合数学的问题。 对于城市的交通管理，交通规划，哪些地方可能是阻塞要地，哪些地方 应该设单行道，立交桥建在哪里最合适，红绿灯怎样设定最合理
16、， 如此等等，全是组合数学的问题。 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该怎样选择什么样的路径，这就是著名的“中国邮递员问题“，由中国组合数学家管梅谷教授提出，著名组合数学家，J. Edmonds 和他的合作者给出了一个解答。 我们知道，用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。 mnCnnmC8既然数学与游戏是如此紧密的联系在一起，因此在某种程度上可以说，游戏精神是数学发展 的主要动力之一。人们从事数学活动，就是在进行某种趣味四溢的游戏，数学中
17、的游戏因素给数 学带来了无穷的魅力，从而吸引了一代又一代人的目光，大大加速了数学的发展。因而，不论是 数学家还是一般的游戏者都促进了数学事业的发展。此外，游戏对数学的发展还表现在另外三个 方面：游戏激发了许多重要数学思想的产生，游戏促进了数学知识的传播，游戏是数学人才发现 的有效途径。 组合数学还可用于金融分析，投资方案的确定，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。南开大学组合数学研究中心开发出了“金沙股市风险分析系统“现已投放市场，为短线投资者提供了有效的风险防范工具。 总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化
18、了的运筹学，一门量化了的管理学。综上所述我们看到，游戏对于数学的发展产生了重要影响，并在数学教育中起着重要的作用。所以，从理论上探讨数学与游戏的关系对数学的进一步发展乃至当今数学教育研究都具有深刻的启迪作用和借鉴价值。当然应当指出，游戏本身并不是数学的终点，它不能完全取代对所有数学活动的分析，数学是一种多边的人类活动，数学中的游戏娱乐、美学欣赏、哲学思考、实用价值探索等因素是如此紧密地交织在一起，只要拆散和剔除任何一个可能不合我们个人爱好的方面，都将给数学带不可估量的损失。只有认真研究和总结数学发展中的各种因素，才能客观地、全面地认识和评价数学，从而促进数学事业的研究和发展。参考文献：1法让迪厄多内著，沈永欢译， 当代数学，为了人类心智的荣耀 ，上海教育出版社，1999 2 T. Pappas 著, 陈以鸿译， 数学的奇妙 ，上海科技教育出版社， 1999 3 T. Pappas 著, 张远南等译， 数学趣闻集锦 ，上海教育出版社，1998 4 马丁加德纳著，林自新译， 引人入胜的数学趣题 ，上海科技教育出版社，1999
