1、第 页1上海应用技术学院 20082009 学年第二学期复变函数与积分变换期（末）复习卷课程代码: B2220081 学分: 2 考试时间: 分钟课程序号: 班级： 学号： 姓名: 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考 试 中遵守考场规则，如有 违反将愿接受相应的处理。题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分应得分 100得 分试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。一填空题（每空 2 分，共 36 分）1. 若 ， ，则 材 =3arg1z4arz21argz2. 复数 的指数形式是 ，幅角主值 = 。i2ie3zarg33. 复数 = ， = （计算过程可见第
2、三题） 。)1ln()4(kli)2(k4. 设 解析，则 ， = 。2323mxyiyxzfzf )3(62myxiy5. 设 C 为自原点到 的直线段，则积分 = （用牛顿-莱布尼兹公式） 。Czdcos)1in(6. 级数 是 条件收敛 （填发散、条件收敛或绝对收敛） 。1)(nni7. = 。 （请分别用柯西积分公式或留数定理计算）2zzedAi8. 设. ，则 是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点） ， = fsi)(0 0,Rezfs0 。9. 函数 的奇点是 （都是一级极点）)1(2)(zzf i,2第 页210. 是 的 本性奇点 （选：可去奇点、极点或本性奇点） ， =
3、1 。0zze1 0,Rezs11. 函数 的幂级数展开式是 。f2 5)2()2(10n.zn12. 拉普拉斯变换的定义是 。0e)(dtf)sFtfL-s13. 若 , 则 。43tfte413二计算（前 2 题各 4 分，第 3 题 6 分）（1）说明函数 在一点 连续、可导、解析的关系。)(zf0讨论 的连续、可导、解析性。Re答：函数在一点 连续、可导、解析的关系是：解析 可导 连续，反之不成立。0 对 ，设 ，则 ，即 。zf)(iyxixyixf2)z( xyv,u2由于 都是连续函数，故 在复平面上处处连续。vu、f由于 。显然 可微，但只在 处满足柯西-v,;,xyxy02v
4、u、 0,黎曼方程 。因此 只在 处可导，但在复平面上处处不解析。)(zf0（2）分别求 和 的模、幅角、实部、虚部。2)(ieie1解： 4343)(2 sincoii所以模为 ，幅角 4 + 2 k (主值为 4 - )，实部 、虚部 。4cos3e4sin3e 1e211 sincoeii所以模为 ，幅角 + 2 k (主值为 )，实部 、虚部 。221cose21sine（3） 验证 是调和函数，并求 ，使函数yxyu4),(,vxy为解析函数。,fzuxyiv解： ，因此 u 是调和函0242 yxyxy u,u,.数。第 页3下面用偏积分法求 v：由 ，得到 ；42xuy xcyx
5、dxv42再由 ，得 ， ，所以当yxuv2cc,2时， 为解析函数。42,fziy三. 求 ,ii1)(解：kkilniiLni ee221 klniklnkilniinii 242442111)(。其中 k = 0 时可得相应主值。,k20四. 求 在 内的罗朗展开。2)1()zf1z在 内的罗朗展开。iz0i将函数 展成 z 的罗朗级数，并指出收敛范围。fsn)(解：1. 对 ，因为在 内有 2)1()zf01z，故在 内有01z1znn0z 20022 1z1)()() nnnnf2. 对 ，在 内时2izf1iz 02112 01zzz1 znnnnnniiii iiii20222
6、3)()() nnn iiiiizf第 页43. zz!nz!z n125311sin zf n0i)( 12531 五计算1. ，其中 C 是从 0 到 的直线段。dzeC1i解：由于 z e z 是解析函数，用分部积分法可得 1i10izCz eed2. 其中 C 是从 0 到 的直线段C)R(i2解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为 z = (2 + i)t ( t 从 0 到 1),d z =(2 + i)d t。所以得到idtidzReC 2210103.设 ，求 （6 分）327)(zf .if,zf,)5()(解： 3017321)(32 zidz
7、f 、所以 3076)( zizf 、进而得 .if,ii 0)5(324. （6 分） 。求积分 , 为不通过 的闭曲线.dzaeC)(a解：当 a 不在 C 内时，由柯西 -古萨基本定理，得 0)(3dzeC当 a 在 C 内时，由高阶导数公式，得 。aazz ei!ia223 5. dztnz5第 页5解： 的一级极点有 z = 0.5+k，其中 在 C 内。zcosinta 5432510. 、且由法则可求得在各极点处的留数为 。故由留数1Reskzkcosinz,coin定理得 i,iidztankkz 202105 ez21.6六. 求拉氏变换 ， ， 。tsinL2tcos2)(catsineLbt求下列函数的拉氏逆变换 1. 2 )3(1)(ssF)1(2s)F解： 4212co2 stcoLtLtin21s12 tsttcos172)()( 22 、abscinabscotoseLstieLscinatconcatineL tbtbttb tte.LsL 311 510350)3( ts )(2121七 叙述留数定理的内容。第 页6叙述柯西积分定理（即柯西-古萨基本定理）内容.叙述柯西积分公式及高阶导数公式内容.
