1、1数 学 史 简 介兼中外数学家的故事福安二中：冯恒春一、数 的 发 展 史正整数 （零，负整数）整数 （分数）有理数 （无理熟）实数（虚数）复数1、 正整数的形成 你是否看过杂技团演出中“小狗做算术“这个节目？台下观众出一道 10 以内的加法题，比如“2+5“，由演员写到黑板上。小狗看到后就会“汪汪汪“叫 7 声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的“数学尖子“表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。 人类最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等
2、方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用 1 块石子代表。捕获了 3 头，就放 3 块石子。“结绳记事“ 也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书易经中有“结绳而治“ 的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。 数的概念最初不论在哪个国家地区都是 1、2、3 、4 这样的正整数开始的，但是记数的符号却大小相同。古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。实际上，罗马数字的符号一共只有 7 个：I（代表 1）、V （代表 5）
3、、X （代表 10）、L（代表50）、 C 代表 100）、D（代表 500）、M（代表 1,000）。这 7 个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1 重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如：“III“表示“3“ ；“XXX“表示“30“。 2 右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI“表示“6“，“DC“表示“600“。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数2字减去小数字的数目，如“IV“ 表示“4“，“XL“表示“40“，“VD“表示“495“
4、。 3上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：“ “表示 “15,000“，“ XV“表示“165,000“。CLXV我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法-筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。从算筹数码中没有“10“这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9 位以上的数就要进一位。同
5、一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元 6 世纪末。但筹算数码中开始没有“零“，遇到“零“ 就空位。比如“6708“，就可以表示为“ “。数字中没有“ 零“，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与“零“的出现有关。不过多数人认为，“0“ 这一数学符号的发明应归功于公元 6 世纪的印度人。他们最早用黑点（ ）表示零，后来逐渐变成了“0“。 2、 零、分数的出现 说起“0“的出现，应该指出，我国古代文字中，“零“字出现很早。不过那时它不表示“ 空无所有“，而只表示“零碎“、“ 不多
6、“ 的意思。如“零头“、“零星“ 、“零丁“。“ 一百零五“ 的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。“105“恰恰读作“一百零五 “，“零“ 字与“0“ 恰好对应，“ 零“也就具有了“0“ 的含义。 如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0“。其实在公元 5 世纪时，“0“已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用“0“。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0“ 的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zn）刑，使他再也不能握笔写字。 但“0“的出现，谁也阻挡不住。现在，“0“ 已经成为含义最丰富的数字符号。 “0“可以表示没有，也可以表示有。如：气温
7、，并不是说没有气温；“0“是正负数之间唯一的中性数；任何数（0 除外）C的 0 次幂等于 1；0！=1（零的阶乘等于 1）。除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。 现在世界通用的数码 1、2、3 、4、5、6、7 、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天 的阿拉伯数字。 3数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期
8、实践活动的结果。 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示正整数是远远不行的。如果分配猎获物时，5 个人分 4 件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早 1400 多年！正整数、分数和零，通称为算术数。正整数也称为正整数。 随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。3、 无理数的发现但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部 25
9、00 年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为“数“ 是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使“数“不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究 1 与 2 的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为 X，既然 ，推导的结果即 。x2x他画了一个边长为 1 的正方形，设对角线为 x ，根据勾股定理 ，可见边长为 1 的正22方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这
10、个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 等形式，称它们为无理数。有理数和无理数一起统称为实数。3102，每次数系的扩充、尤其是无理数的发现、建立了实数理论，使数学高速发展、这时期产生了许多数学分支。数学的发展史实际上
11、是数的发展历史。4、 虚数的产生 在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19 世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但人们在解方程（如方程 在 中无解、但在 中有解，方程 在 中有无解、但在 中有解，25xNZ073xZQ方程 在 中有无解、但在 中有解，方程 在 中有无解、在什么数集中有解呢？）32QR12R的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号“ “表示“-1“的平方根，即 ，虚数就这样诞1i生了。“ “成了虚数的单位。
12、后人将实数和虚数结合起来，写成 的形式（a 、b 均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人4感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不“虚“了。 1797 年高斯给出代数基本定理的第一个证明（后又给出了四个不同的证明）。即：任何一个系数为复数的一个变量的代数方程都至少有一个根。从它可以推出：“一个 n 次代数方程必有且仅有 n个根”，由此定理的证明，告诉我们无须把复数域扩充了，复数域是代数封闭和的。数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些
13、数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是 1843 年 10 月 16 日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数“的概念。所谓四元数，就是一种形如 的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量kzjyixa（其中 x 、 y 、 z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面kzjyix有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对“多元数“理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。 由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复
14、数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。二、 的 历 史圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。通常用希腊字母 来表示。1706 年，英国人琼斯首次创用 代表圆周率。他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。现在 已成为圆周率的专用符号， 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。 在古代，实际上长期使用 这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前世纪，中国的周髀算经里已有周三径一的记载。东汉的数
15、学家又将 值改为 （约为 3.16）。直正使10圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文圆的度量，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于 22/7 而大于 223/71 。这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。第一次用正确方法计算 值的，是魏晋时期的刘徽，在公元 263 年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得 值为 3.14。我国称这种方法为割圆术。直到 1200 年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，将 3.14 称为徽率。 公元 460 年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把 值算到小点后第七位 3.1415926，这
16、个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。祖冲之还找到了两个分数：22/7 和 355/113 ，用分数来代替 ，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。 5祖冲之的圆周率，保持了一千多年的世界记录。终于在 1596 年，由荷兰数学家卢道夫打破了。他把 值推到小数点后第 15 位小数，最后推到第 35 位。为了纪念他这项成就，人们在他 1610 年去世后的墓碑上，刻上：3.14159265358979323846264338327950288 这个数，从此也把它称为“卢道夫数“ 。 许多数学家都喜欢将他们的生平刻在墓碑上。丢番图的墓志铭:“丢番图的一生，童年占 ，又过了一生的 才长胡子，又
17、过一生的 他结了婚，5 年后生一子，611212子只活了其父年龄之一半，子死后四年丢番图亦离开人世。 ”读者只要算一算就知道丢番图活了八十四岁。瑞士数学家雅各（贝努里家族）对对数螺线有深入的研究，他在欣赏这曲线巧妙之余，仿效阿基米德，在遗嘱中说要将对数螺线刻在墓碑上，以作永久纪念。可惜的是，1705 年 8 月 16 日逝世后，可能是石匠功夫不好，墓碑上的螺线却象一根阿基米德螺线 。a之后，西方数学家计算 的工作，有了飞速的进展。1948 年 1 月，费格森与雷思奇合作，算出808 位小数的 值。电子计算机问世后， 的人工计算宣告结束。20 世纪 50 年代，人们借助计算机算得了 10 万位小
18、数的 ，编写了一本书名叫的书、整本书都是数字、成为世上最枯燥无味的一本书，70 年代又突破这个记录，算到了 150 万位。到 90 年代初，用新的计算方法，算到的 值已到 4.8 亿位。 的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着技术和算法的革新。三、数 学 发 展 过 程 的 三 次 危 机第一次数学危机 无理数的发现 大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“ 四艺“ ，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾
19、股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“ 危机“，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前 370 年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得原本第卷中。欧多帕克斯和狄德金于 1872 年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何
20、量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，6整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 第二次数学危机 无穷小是零吗 ？18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表分析学家或者向一个不信正教数学家的进言，矛头指向微积分的基础-无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：“牛顿在求 xn 的导数时，采取了先给 x 以增量，
21、应用二项式（x+0）n，从中减去 xn 以求得增量，并除以以求出 xn 的增量与x 的增量之比，然后又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续先设 x有增量，又令增量为零，也即假设 x 没有增量。“他认为无穷小 dx 既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，“dx 为逝去量的灵魂“。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18 世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清
22、楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。 直到 19 世纪 20 年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。 第三次数学危机 悖论的产生 数学史上的第三次危机，是由 1897 年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论
23、成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897 年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902 年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于 1919 年给出的，它涉及到某乡村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：“他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸”。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸？“如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 7罗素悖论使整
24、个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的算术的基本法则第卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地“。于是终结了近 12 年的刻苦钻研。 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。 四、哥 德 巴 赫 猜 想(数
25、论)彼得堡科学院院士哥德巴赫正在研究把任何数表示成几个质数的和的问题。哥德巴赫发现，总可以把任何一个数分解成不超过三个质数和。但他不能证明这个命题，甚至找不到证明它的方法，于是，他写信全告诉欧拉这件事。在 1742 年 6 月 7 日的信中，哥德巴赫告诉欧拉，他想冒险发表下面的假定；“大于 5 的任何数(正整数)，是三个质数的和”。欧拉回信说：他认为 “每一个偶数都是两个质数的和”这论断是一个完全正确的定理。显然，哥德巴赫的断语就是欧拉这论断的简单推论（因为：奇数=3+偶数） 。然而，欧拉也不能证明它。这就是著名的哥德巴赫猜想。关于哥德巴赫问题，不论是提出问题的哥德巴赫本人还是大数学家欧位都不
26、能做出什么结果。上世纪一个超群数学家康托耐心地试验了从 2 到 1000 的所有偶数，说明在这范围内，哥德巴赫断言是成立的，但这能说明什么呢？此后，多少著名的学者都为哥德巴赫问题花费了无数的精力，力图开辟解决这一问题的道路，或者将它与数学的其他问题联系起来。但要严格证明它，却毫无结果，1912 年，数论大师兰道在国际数学家会议上说：这个问题要用近代数学工具来解决是绝对不可能的。到二十年代初期，问题才有了一点进展，挪威数学家布朗用古老的筛法证明了：每一个偶数是九个互数因子之和加九个素数因子之积，简记为（9+9） ，延自这一派的方法，1924 年拉德马哈尔证明了（7+7 ） ，1932 年爱斯斯尔
27、曼证明了（6+6） ；1938 年，布赫斯塔勃先后证明了（5+5）和（4+4 ） ；1956 年维诺格拉多夫证明的（3+3） ；1958 年我国数学家王元证明了（ 2+3） 。另一证明方法是 1948 年由匈牙利数学家兰恩易开辟的，他证明了每一个大偶数都是一个素数和一个“素因子示超过六个的”数之和，简记为（1+6） ，1962 年，山东大学教授潘承洞证明了（ 1+5） ，同年，他又和王元证明了（1+4） ；三年后 1965 年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和庞皮艾黎都证明了（1+3） 。陈景润继承了前人的结果，吸取了前人的智慧，施展了他坚韧不拔的毅力，顽强地向哥德巴赫问题挺进。为了能最快阅读最新的
28、国久的有关资料，了解外国的新结果，他在掌握英、俄两门外语基础上，又自学了德、法、日、意和西班牙语。同时在数论方面接连攻下了三十多道难题中的六、七题，为解决哥德巴赫问题做出了必不可少的锻炼和准备。例如他在圆内整点问题，球内整点问题，华林问题，三维除数问题上，都改进了中外数学家的结果。经过这一艰苦的历程，1966 年，陈景润在科学通报第一十七期上发表了他已经证明（1+2）的成果。已故的著名数学家闵嗣鹤教授审核了二百多页论文手稿，确认其证明无误，但建议他加以简8化，此后陈景泣不分白天黑夜，一笔又一笔推演了六麻袋稿子，经过七易寒暑，终于写出了著名的论文：“大偶数表为一个素数及一个不超过一个素数的乘积之
29、和” ，精心论证了（1+2 ） ，其中定理，被英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特誉为“陈氏定理” ，是“筛法” 的“光辉2)(lg67.0)xCPx的顶点”，并立即补入即将刊印出版的他们合著的筛法一书中，英国数学家赞扬陈景润说 “你移动了群山”。陈景润为祖国增添了荣誉，他的突破为推动学林繁荣做出了极大的贡献。1978 年他出席了第一届全国科学大会。先后当选为第四届、第五届人大代表为会议主席团成员。1979 年初，他和著名的拓扑学家吴文俊夫妇应美国普林斯顿高级研究所所长伍尔夫教授的邀请，前往讲学和作短期的研究工作。在那里，陈景润又利用有利条件，完成子论文算术级数中的最小素数 ，把最小素数从原来
30、的 80 推进到 16，这是当前世界上最新的成果，受到了国际数学界的好评。五、数 学 分 支数学从产生、发展到现在，已成为分支众多的学科了，没有统一的分法、也没有一个统一的标准。大致可分为： 算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数 学物理学 等 25 门学科。现将与中学数学教材有关的学科作简要的介绍。1. 最早的 数学 算术：现代小学数学的具体内容，自然数和分数具有不同的性质，数和数之间
31、也有不同的关系，为了计算这些数,就产生了加、减、乘、除的方法，这四种方法就是四则运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学算术。2初等 代数： 初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方组成初等代数的基本内容就是：三种数有理数、无理数、复数三种式整式、分式、根式中心内容是方程整式方程、分式方程、根式方程和方程组。初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容 ，但又不完全相同。比如，严格的说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估
32、算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的。这些都只是历史上形成的一种编排方法。初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。这十条规则是：五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；9两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数想乘；积的乘方等于乘方的积。初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是
33、研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。关于方程的解的历史：人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的缉古算经就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的数书九章这部书的“正负开方术 ”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式 卡当公式。在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首
34、先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(15011576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里 (15221560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(18021829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、
35、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华 20 岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832 年 4 月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅 21 岁。3数学中的皇冠数论：数论就是一门研究整数性质的学科，我国在数论方面的研究居于世界领先地位。4生活中的几何欧式 几何：“几何”这个词在汉语里是“ 多少？ ”的意思，但在数学里“ 几何” 的涵义就完全不同了。“几何” 这个词的词义来源于希腊文，原意是土地
36、测量，或叫测地术。几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源。欧几里得的几何原本共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第10九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在几何原本里了。因此长期以来，人们都认为几何原本是两千多年来传
37、播几何知识的标准教科书。属于几何原本内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。几何原本最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。几何原本第一卷列有 23 个定义，5 条公理，5 条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）5不可思议的几何非欧几何：欧氏几何与非欧几何（罗巴切夫斯基几何、黎曼几何）关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理（第五公设）不一样。欧式几何讲“过直线外一
38、点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。 黎曼几何讲“ 过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”。因此，凡涉及到平行公理的命题，欧氏几何与非欧几何有完全不同的结论。如：欧氏几何得到“三角形的内角和等于 ” ，罗巴切夫斯基几何得到“三角形的内角和小于 ” ，黎曼几何得到“三角018 018形的内角和大于 ” ，欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几
39、何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。6坐标法解析几何：笛卡尔（Descartes, Gene）(1596.3-1650.2.11)，是法国数学家和哲学家，解析几何的创始人。从笛卡尔的几何学中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y 的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马
40、也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。7代数 几何学:用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。8位置几何射影 几何学：它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。在现行高中立体几何教材中有渗透射影几何学的思想。9不量尺寸的几何拓扑学：11拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对
41、象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。在现行高中立体几何教材中欧拉公式的推导就渗透拓扑学的思想。10 分形几何：分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方
42、面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。11 计算数学 ：计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。在现行高
43、中数学教材中有渗透计算数学的思想。12 微 积分学：新教材高三数学中有讲到微积分的初步内容13 概率和数理统计：新教材高三数学中有讲到概率论和数理统计的基本内容14 数理逻辑 ：数理逻辑包括哪些内容呢？这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和 “谓词演算 ”。命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑费，也就是命题演算中的“或”、“与”、“ 非”，运算对象只有两个数 0 和 1，相当于命题演算中的“真”和“ 假”。另外悖论的提出，促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支公理集合论
44、。在现行高一数学教材中有简易逻辑这部分内容。15 模糊数学：12在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。于是就产生了模糊数学。六、附录：中外数学家的故事1刘徽（生卒年月不详）刘徽是我国古代一位非常伟大的数学家，公元三世纪（公元 263 年）他所撰的九章算术注十卷与九章
45、重差图一卷，是我国数学史上划时代的著作。唐代初年， 九章重差图已失传， 九章重差图十卷到唐代演变为九章算术注九卷与海岛算经一卷而流传至今。刘徽完成九章算术注约在西晋初年。 隋书律历志论历代量制引九章算林商功章注说“魏陈留王景元四年（公元 263 年）刘徽注九章”，可见他的注解工作可能早在魏肛已经开始。所以他是生活在魏一晋时代。九章算术 约公元 100 年是我国现有传本的数学著作中最早的一本，它们收集了东汉初年以前的 246 个问题，并按问题的性质分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。这部著作不仅对当时从事于河道、灌溉、手工业生产的工程技术人员以及收税制历的官员有很大帮
46、助，而在世界数学史上也作出了许多有意义的贡献。在刘徽的注解中，主要是运用齐同术、今有术、图验法、棋验法等四种方法。“齐同术” 是刘徽从九章算术中关于分数的加减法与方程组解法中概括出来的一种方法。“今有术” 是解决算术中有关比例问题的方法。“图验法” 是应用面积图形验证平面几何学公式与定理的方法。此外在少广章中，刘徽依靠图形的帮助，说是有了开方术原理。“棋验法” ，棋就是基本模型，用基本的立体模型验证立体几何公式与宣的方法称棋验法。此外，他不用棋的方法说明了开立方林与开方圆林的原理。刘徽为了精密地计算圆面积，他创造了割圆术，他认为只要内接正多边形的边数愈多，则它的面积愈接近于圆的面积，这样用正多
47、边形面积来迫近圆面积的极限思想还可在弧田术注中看到，其中有的精确数值。还计算出圆内接正 3072 边形的面积来证实 的正确性。146.325097 1250397刘徽确实算出了 来作圆周率，比九章算林中用“径 1 周 3”（即 ）的粗略.圆周率大大向前迈进了一步，后人为了纪念刘徽，便称 为“徽率” 。我国数学史家钱宝琮以及华罗5017庚、钱伟长等人认为是刘同徽算出了 ，而李俨、许莼舫、程纶、李迪等人认为 46.329是祖冲之求出的，该注是祖冲之的话。146.313九章算术商功章求圆锥和圆台的体积公式，在假定 时是正确的，为了说明这公式的来3源，他应用了一条有名的法则：圆锥、圆台的体积和它人外切
48、方锥、方台的体积之比等于圆面积和外切正方形面积之比。另外，他还指出了球体积和相线垂直且同高的两个圆柱的共同部分的体积之比才等于圆面积与外切正方形面积之比，这是完全正确的。刘徽还得出了与我们现在开平主求无理根的十进小数近似值方法完全一致的方法。另外，他在方程章直除消元法的基础上根据齐同术原则，创立了互乘相消法（即和现在解方程组的加尊消去法一致）的解方程组的方法。同时，他注意到了用比例分配的方法来争一次议程组的问题。刘徽还给出了等差级数求和的公式： 或naS)21(dnaS2)1(1同时他还完成了“勾股容圆公式”的证明和总结了“重差术”。可以主刘徽在整理数学材料的工作中是有极大贡献的。它在“以类合
49、类” 的思想指导下，将 246 个复杂的数学问题，按期性质与解题方法分成九类，为我国数学向更高更细的方向发展打下了基础。祖冲之可能就是在他割圆术理论基础上，以圆径一丈为 1，000，000，000 微，算出内接正 12，288 边形面积，从而得到具有世界意义的圆周率。刘徽的工作在世界数学史上也占重要地位。刘徽从事于数学理论形容比希腊学者为迟，但他的成就地超过同时代的数学家。对于圆周率的计算，他的结果比阿基米德精密。方法也比阿基米粉德优越。法国数学家谟尔提出用十进分数表示开方根的奇零数，比刘徽迟一千多年。刘徽的极限概念和一次方程组解法的消元法以及求圆锥体积的方法，在当时是居先进地位的。刘徽的九章算术注的伟大历史意义，更重要的是在于它是我国独特风格的一本有系统理论的文献，为我国科学理论研究工作打下了
