1、1南昌市数学建模高校联赛承 诺 书我们仔细阅读了南昌市数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛队选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）： B 参赛队员(打印并签名) ： 所属院系（请填写完
2、整的全名）： 1. 彭辉 签名: 院系 : 机电工程学院 车辆 111 2. 陶绍成 签名: 院系 : 机电工程学院 车辆 112 3. 王超 签名: 院系 : 理学院 本硕 111 日期： 2012 年 4 月 14 日2房地产价格与保障住房规模摘要近十年来，摘要我国一些城镇的商品房价格上涨过快，过高的房使城镇中的低收入者无力购买住房，与此同时，房价成了各种社会矛盾的焦点。引起了政府的高度重视，为了维持社会持续稳定发展，政府出台了各种文件，对方地产市场进行调控。针对问题一里对影响房地产价格的主要因素的选取，我们根据自己的想法收集了大量可能因素的数据，首先根据专家分析法对原始数据进行初次筛选，
3、然后再建立两个模型进一步筛选。模型一：我们利用统计学建立线性回归分析模型，求出各个指标对房价的相关性系数，并做相关性检验，舍去相关性低的指标；模型二：利用综合评价分析法建立极大不相关模型，求出各个指标的复相关系数，舍去其值逼近于一的指标，最终筛选出影响房地产价格的主要指标如下：国内生产总值 人口 保障性住房 土地购置费 针对问题二，建立房地产价格与包括城镇住房规模在内的主要因素或指标之间联系的数学模型。模型一：将各指标的数据和对应时间输入 Matlab 软件中，做出各个指标对时间的散点图，并拟合出相应的函数图象，从而建立指标与时间模型。模型二：由于筛选出的主要指标对房价的相关性系数比较接近一，
4、因此建立各个指标和房价的多元线性回归模型，利用最小二乘法求出各个指标和房价之间的线性回归表达式。针对问题三，需要预测未来十几年的房价走势，我们利用问题二中两个模型求出房价与时间的模型的函数关系式。图象针对问题四，根据前三个问题的结论，对未来的房价问题给出相关建议.(具体见咨询建议)关键词：线性回归分析 复相关系数 极大不相关法 最小二乘法 Matlab 软件 3问题重述近十年来我国一些城镇的商品房价格上涨过快，过高的房价使城镇中低收入者无力购买住房,为了社会持续稳定的发展,政府一直出台各种文件，对房地产市场进行调控。但由于各部门配合得不协调，房地产的价格在过去的几年时间里快速地上涨，房价成了各
5、种社会矛盾的焦点。与此同时，保障房建设正在加速推进,中共中央政治局常委、国务院副总理李克强在全国保障性安居工程工作会上强调，要认真贯彻落实党中央、国务院的决策部署，大规模实施保障性安居工程，加大投入，完善机制，公平分配，保质保量完成今年开工建设 1000 万套的任务，努力改善群众住房条件。物价水平、国内生产总值、国民收入水平、金融政策、税收政策、土地、城市化率等都是影响房地产价格的因素，然后，公租房、廉租房和经济适用房等各类保障性住房的建设力度加大，有利于增加房地产的供给力度，对房地产市场价格会产生较大影响。请参赛者参考有关的研究成果和国民经济的运行数据（参见下面网站）就我国房地产价格研究如下
6、问题。1. 对有关统计数据进行分析，用适当的方法寻找影响房地产价格的主要因素或指标。2. 建立房地产价格与包括城镇住房保障规模在内的主要因素或指标之间联系的数学模型。3. 利用所建立的关于房地产价格的数学模型，根据有关政策和规划对未来几年我国或某一地区在不同的保障房建设力度下就房地产价格趋势进行仿真或预测（可以根据模型的需要对未来的情况作适当的假设） 。4. 根据所建立的数学模型和仿真结果，对房地产价格问题提出你们的咨询建议。问题分析1.对房地产价格指标的分析鉴于对于房价的影响有很多方面的因素，我们个人认为有个人消费水平、收入水平、消费价值观、物价上涨、人口增长，土地费用上涨、国内生产总值提高
7、、保障性住房、城市化率、金融政策、税收政策、国民收入等影响指标。通过专家分析法，查阅相关4文献（见参考文献） ，筛选出几个重要因素：国民生产总值人口城市化率保障性住房土地购置费城镇居民消费水平地税城镇居民可支配收入2.对问题的分析对问题一的分析我们需要选取主要指标，由于各指标之间或多或少存在一些联系，如果某指标与其它指标联系偏大，则可用其它指标代替，并舍去该指标。所以，根据上诉分析，首先我们求出每个指标与房价的相关系数并检验，相关系数越大则相关性越高，说明该指标对房价影响越大；相关系数越小，说明该指标对房价影响越小，就可以舍去该指标。然后我们用极大不相关法来进一步处理剩余指标，求出它们的复相关
8、系数，复相关系数越逼近于一，说明该指标与其它指标有紧密联系，则完全可由其它指标代替，并舍去该指标。经过三次筛选，得到我们最终结果。对问题二的分析在问题二中，我们需要建立房价与各种指标内在的数学模型。我们用问题一种得到的主要指标做因变量，时间作为自变量建立出关系式。然后再以主要指标做中间变量，建立房价与主要指标的函数关系。从而经过复合运算得出房价与时间的关系。对问题三的分析在问题三中，我们需要对未来几年房价做出预测。然而我们在问题二中建立了房价与时间的数学模型。并利用数学模型做出预测图象。从而达到预测保障性住房对房价影响趋势的目的。对问题四的分析在问题四中我们需要对问题三中的预测结果进行评价，然
9、后再根据目前对诸多因素提出与之相关的意见。 （具体见咨询建议）5模型假设1、假设所有数据真实可靠，均符合实际情况。2、假设在指标的负相关指数检验中，只要复相关系数小于（1-0.05%） ，就可纳入考察范围3、假设指标在发展过程中没有突变。4、假设指标现在的发展因素能够决定事物未来的发展。符号说明1、Cov（X，Y） 表示随机变量 X、Y 的协方差2、 表示 X 和 Y 的相关性系数rxy3、R 表示影响因素的相关系数矩阵4、 表示变量 与其余变量的复相关系系数qi2i5、 f（i） 表示时间与第 i 个变量的关系6、 D 临界复相关系数，它的大小为（1-0.05%）7、 国内生产总值x18、
10、人口29、 保障性住房310、 土地购置费x411、y 房价6模型的建立于求解1、整体流程图初次筛选专家分析第二次筛选相关性检验第三次筛选极大不相关原始数据问题一：问题二：7指标与房价的多元线性回归方程Matlab 软件拟合最小二乘法目标与时间的复合函数主要指标建立指标与时间的模型2、对问题一的模型建立与求解重要指标的第一次筛选我们通过专家对房价及其相关指标的分析，我们筛选出八个重要指标：国民生产总值人口城市化率保障性住房土地购置费城镇居民消费水平地税城镇居民可支配收入第二次筛选我们通过查找数据，给出 2002 年2011 年期间十年各指标和房价的数据：年份 房价(元/平方米) GDP（亿元）
11、城市化率（%）地税（万元） 人口（万）保障性住房（亿万）土地购置费（亿元）城镇居民消费水平（元/人）城镇居民可支配收入（元）2002 2250.178 103935 39.1 732964 128453 7790 1445.8 3632 77032003 2359.497 116603 40.5 894415 129227 13143 2055.2 3869 84722004 2713.906 159878 41.7 1115549 129988 16679 2574.5 4106 94212005 3167.657 183969 42.9 1356424 130400 19505 2904.
12、4 4411 104932006 3366.788 211923 43.9 1660513 131100 24524 3714.4 4925 117592007 3863.904 257306 44.9 1861162 131800 32439 4873.2 5439 1378682008 3799.947 314045 45.5 2245537 132500 38159 5995.6 6012 157812009 4681.037 340507 47.4 3461226 133100 45414 6023.7 6756 171752010 5600.023 401513 47.5 41068
13、41 133800 53339 6201.5 7452 206432011 5900.163 472000 51.2 5210456 134413 61933 6348.9 8234 23261我们分析出不同指标对房价的影响都有所不同，我们的目的就是留下对房价影响较大，舍去影响小的。根据这个思路，我们利用统计学建立线性回归模型对每个指标作出相关性检验，相关系数越大则相关性越高，说明该指标对房价影响越大；相关系数越小，说明该指标对房价影响越小，就可以舍去该指标。线性回归分析模型如下：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=rij ),(),(YCovXR=( )ij利用 C 语言程序计算
14、出相关系数矩阵（程序见附录） ，如下:R= 1.000 0.991 0.892 0.993 0.887 0.988 0.979 0.982 0.666 0.991 1.000 0.935 1.000 0.921 0.997 0.993 0.997 0.6260.892 0.935 1.000 0.927 0.989 0.941 0.945 0.936 0.7710.993 1.000 0.927 1.000 0.919 0.995 0.996 0.997 0.6230.887 0.921 0.989 0.919 1.000 0.921 0.955 0.934 0.7880.988 0.997
15、0.941 0.995 0.921 1.000 0.998 0.993 0.6800.979 0.993 0.945 0.996 0.955 0.998 1.000 0.999 0.760 0.982 0.997 0.936 0.997 0.934 0.993 0.999 1.000 0.647 0.666 0.626 0.771 0.623 0.788 0.680 0.760 0.647 1.000 9由上矩阵可以看出，城镇居民可支配收入和房价的相关系数偏小，低于 95%，所以我们将该项指标舍去，得出了二次筛选指标，结果如下：国内生产总值 城市化率 地税 人口 保障性住房 土地购置费用 城市
16、居民消费主要指标的第三次筛选在剩下的指标中，我们分析出指标之间或多或少有一定的联系，当某一指标与其他指标之间联系过分紧密，那么该指标能用其他指标代替并舍去该指标。根据这个思路，我们用综合评价分析法，建立极大不相关模型，求出指标之间的复相关系数。极大不相关模型： = i=1,2,3,4,7qi2rRiTi1算出 i=1,2., ，7 时的 的值，选其中最大一个，与 D 比较，当 D 就可以删去i qi2。xi通过上述模型，我们求得了对初步筛选后得出的七个指标的每一个与其余六个指标的复相关系数，结果如下：指标 国内生产总值 城市化率 地税复相关系数 0.99991 0.99999 0.99994保
17、障性住房 土地购置费 城镇居民可支配收入0.99993 0.99992 0.99989从上述数据可以看出，城市化率与其他指标间的复相关系数最大。故舍去。同理，再计算剩余六个指标中的每个指标对另外五个指标的复相关性系数，可以将地税舍去。然后再计算剩余五个指标与其余四个指标的复相关系数，根据同样的数据分析方法，舍去城镇居民消费水平。最终筛选出影响房价的主要指标如下：国内生产总值 人口 保障性住房 土地购置费3.对问题二的模型建立求解在问题二，我们建立了房价与包括城镇住房保障规模在内的主要指标之间的数学模型。针对这个问题，我们建立两个模型来求解。 模型一的建立与求解由于问题三需要我们对未来房价进行预
18、测，所以就需要时间与房价的表达式，因此，我们在模型一的建立中解出时间与指标的函数关系式。对国内生产总值的预测过程如下：把国内生产总值和时间的数据输入到 Matlab 软件中进行分析（程序见附录） ，绘制出散点图并拟合出函数图象如下：10863521423501tx对人口的时间预测如下：把保障性住房和时间的数据输入到 Matlab 软件中进行分析（程序见附录） ，绘制出散点图并拟合出函数图象如下：111278062tx对保障性住房的时间预测如下：把人口和时间的数据输入到 Matlab 软件中进行分析（程序见附录） ，绘制出散点图并拟合出函数图象如下：126.8102.54.37tx对土地购置费的
19、时间预测如下：把人口和时间的数据输入到 Matlab 软件中进行分析（程序见附录） ，绘制出散点图并拟合出函数图象如下：133.16982.345.201634 ttx 模型二的建立于求解在模型二中，因为相关性系数接近于一，所以利用最小二乘法建立多元线性回归模型： xbxby43210 多元线性回归模型及其假设条件1多元线性回归模型多元线性回归模型： ，ipiiii xby210 n,2,12多元线性回归模型的方程组形式3多元线性回归模型的矩阵形式4回归模型必须满足如下的假设条件：第一、有正确的期望函数。即在线性回归模型中没有遗漏任何重要的解释变量，也没14有包含任何多余的解释变量。第二、被解
20、释变量等于期望函数与随机干扰项之和。第三、随机干扰项独立于期望函数。即回归模型中的所有解释变量 与随机干扰项Xj不相关。u第四、解释变量矩阵 X 是非随机矩阵，且其秩为列满秩的，即： 。式nkran,)(中 k 是解释变量的个数，n 为观测次数。第五、随机干扰项服从正态分布。第六、随机干扰项的期望值为零。 0uE第七、随机干扰项具有方差齐性。 （常数）22i第八、随机干扰项相互独立，即无序列相关。 =0ujiji ,cov,5.2 多元回归模型参数的估计建立回归模型的基本任务是：求出参数 的估计值，并进行统计检验。bp,10残差： ；残差平方和：Q=yeiiiyeini 212矩阵求解：X=
21、， ， ，xpnnp 212121 bpB210 ynY121 YBX12pnQ利用最小二乘法求出 xbxby43210 中的参数一、 模型的建立与预测在问题三中我们需要建立房价与时间的数学模型，利用问题二中的两个模型的结果复合后得到房价对时间的函数关系。对未来十几年的房价进行预测。并应用 Matlab 画-678920 0.1 = 5 0.3 -2b01b23b415出函数图形如下： xbxby432103.16982.345.2016234 tttx1278062t.53t635243521tx-678920 0.1 = 5 0.3 -20123b4图形如下通过函数预测房价和个指标的未来五
22、年的值，如下：16其中字母的含义见符号说明，单位与前面相同对房价控制的咨询建议我们根据以上模型和相关数据统计，给出如下建议:1 从数据中不难看出，人口增长过快时房价无节制上涨的主要原因，因此我国应该坚持计划生育的基本国策，提倡“一家一个” 优生优育的方针。控制人口增长。2 继续加强对市场经济的国家宏观调控，利用政策和法律的手段控制经济增长过快所带来的负面影响，促进消费，防止通货膨胀。3 加强法律法规政策，防止有人以炒房等不正当手段哄抬房价。4.建立健全的相关制度，控制个人名下的房产数量，同时增加对居民的保障性住房，已达到控制房价过快增长的效果。5、明确政策法规，不断优化房地产行业的投资环境，尽
23、量使每个环节都做到透明化。参考文献1 国家统计局网 http:/ 冯天翔 多元线性回归最小二乘法及其经济分析 经济师 2008（11）3 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型第三版 高等教育出版社 20034 许晓敏 中国房价问题的研究 论文网 2011.6.305 未知作者 中国房价上涨的原因 百度 http：/y x1 x2 x3 x46020 529355 135130 79754.2 132896950 597828 135790 86552.4 12812.78000 671001 136450 106661.8 11665.49200 748874 137110 121727.6 975
24、15.110000 831447 137770 137868.6 6973.817附录 x=1:1:10; y=103935,116603,159878,183969,211923,257306,314045,340507,401513,472000; p=polyfit(x,y,2)p =1.0e+004 *0.2350 1.4423 8.6352 x1=1:1:10; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,*,x1,y1)GDP18 x1=1:1:10; y=128453,129227,129988,130400,131100,131800,132500,133100,13
25、3800,134413; p=polyfit(x,y,1)p =1.0e+005 *0.0066 1.2787 x1=1:1:10; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,*,x1,y1)人口 x=1:1:10; y=7790,13143,16679,19505,24524,32439,38059,45416,56203,69848;19 p=polyfit(x,y,2)p =1.0e+003 *0.5374 0.5562 8.6106 x1=1:1:10; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,*,x1,y1)保障性住房 x=1:1:10; y=1445.8,
26、2055.2,2574.5,2904.4,3714.5,4873.2,5995.6,6023.7,6201.5,6348.9; p=polyfit(x,y,3)p =1.0e+003 *-0.0160 0.2405 -0.3442 1.6983 x1=1:1:10; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,*,x1,y1)20土地购置费计算协方差的 C 语言程序#includevoid main ()int i;float a9,b9,E1=0,E2=0,E3=0,E;printf(“please input 18 numbers:n”);for(i=0;i9;i+)scanf(“%f”,E1+=ai/9;for(i=0;i9;i+) scanf(“%f”,E2+=bi/9;for(i=0;i9;i+)E3+=ai*bi/9; E=E3-E1*E2;Printf(“E=%fn”,E)
