1、探究空间四边形陕西汉中市 405 学校 侯有岐 任娟 723312 空间四边形是立体几何中的最基本图形之一通过对空间四边形在点、线、面方面的研究，可以使学生在空间概念的建立、空间想象能力的培养上起到事半功倍的效果，从而使分散的知识点集中起来，复杂的问题变得简单容易.如图，四边形 是空间四边形，若连结两条对角线，则空间四边形就ABCD成了常见的几何体三棱锥（即四面体）.一、位置关系例 1 如图，在空间四边形中 中， 与 ， 与 ， 与ABCDADBC的位置关系是 .AC解析： 假设 与 共面，则ABC、 、 、在同一个平面内，这与四边形 是空间四边形矛盾，所以， 与 是异面直线，同理可得D与 ，
2、 与 也是异面直线.B例 2 如图，平面四边形 的四个顶点分别在空间四边形 的四EFGHABCD条边上,若 和 不平行.EH求证： 和 的交点在 上.B分析：本例实质是证明 、 和 三线共点问题，用公理 3 即可.D证明: 由于 和 在同一平面上,且 和 不平行,则 和必相交于一点 .GFP, PEHABAB直 线 平 面平 面同理 ,CD平 面而 , ,平 面 平 面 PD和 的交点在 上.EHGFB点评：以上两例，体现了空间四边形中的线线、线面位置关系.既考查了异面直线的证明,又考查了用公理 3 证明三线共点问题的一般方法,同时又涉及了数学中的一种重要证题方法反证法.二、数量关系例 3 已
3、知 分别为空间四边形 的边 、 、 、 、 、 ABCDBCD的中点，对角线 =6， =8，求 的值.DAACBD2EGHF分析: 空间四边形各边中点连线构成平行四边形是空间四边形的一个重要性质,这样就可以利用平行四边形性质解决相关问题,因而先利用三角形中位线证明有关线段平行.解: 分别为 、 的中点，EH、 ABD. 同理1212FG四边形 是平行四边形.EH由平行四边形性质得113, 422EFACBD= .GH2()(3)50例 4 空间四边形一组对边中点的连线段小于另一组对边和的一半.分析: 本题讨论的是三边之间的大小关系,因而首先利用空间四边形将有关线段转化在同一三角形内,再利用三角
4、形三边关系定理解决.解: 如图,在空间四边形 中,取 中ABCD点 ,连结 、 ,EMNE则 . 1212在 中， . 故命题成立.点评:以上两例, 体现了空间四边形中特殊线段间的等量与不等量关系,所包含的方法及技巧体现了转化与化归的数学思想,应引起重视.三、图形形状例 5 如图， 分别是空间四边形各EFGH、 、 、边上的点，且有 ., ACFGmnBDB(1)证明: 四点共面;、 、 、(2) 满足什么条件时, mn是平行四边形.EFGH解: (1) , . , .ABDENBACFGDBA四点共面.H、 、 、(2) 当且仅当 时,四边形 为平行四边形.FG., 11EHAmEBBD同理 . 由 得 .1nFGBDEHFGmn故当 时,四边形 为平行四边形.m点评: 空间四边形是立体几何的一个基本图形,它各边中点连线构成平行四边形；当两对角线相等时,该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时, 该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时, 该平行四边形为正方形.通过以上三个方面的讨论,可以看出,以空间四边形作为思维的“生长点” ，可以有效沟通有关知识间联系，形成知识链，从而提高学生的空间想象能力，有助于空间概念的建立，应引起重视.
