1、排列组合问题(一) 枚举法枚举法导言：当计算的总数量不多时，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法，或穷举法、列举法、分组法使用枚举法计数时，要注意以下几点：初步估计，总的数目不太多，又没有更简捷的办法为了使枚举的结果不重复又不遗漏，我们要抓住对象的特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地列举例 1现有 1 克、2 克、4 克、10 克的砝码各一个，那么在天平上能称出多少不同重量的物体（只允许砝码放在天平的右边的盘子里）解析：按使用砝码的个数进行分类列举（1）、若使用一个砝码能称：1 克、2 克、4 克、10 克，共 4 种重量物体（2
2、）、若使用二个砝码能称：1+2；1+4 ；1+10；2+4；2+10；4+10克，共 6 种重量（3）、若使用三个砝码能称：1+2+4；1+2+10；1+4+10；2+4+10 克，共 4 种重量（4）若使用四个砝码能称：1+2+4+10=17 克，共 1 种重量物体所以，总共能称：4+6+4+1=15 种不同重量的物体思考：如果把题目中括号里的条件去掉，又能称多少种不同重量的物体？例 2、有一张五元、4 张贰元和 8 张一元人民币，从中取出9 元，共有多少种不同的取法？解析：按从大到小，从少到多的次序，先取五元，再取贰元，后取一元的顺序，把所有情况通常列表的形式一一列举出来5 元 2 元 1
3、 元1 0 41 1 20 2 00 1 70 2 50 3 30 4 1从上面的列举中可以看出:取 9 元钱共有 7 种不同的取法例 3、从 110 的 10 个数中，每次取 2 个数，要使它们的和大于 10，一共有多少种取法？解析：可从小到大依次思考 1+10 2+9，2+10 3+8，3+9，3+10 4+7，4+8，4+9，4+10 5+6，5+7，5+8，5+9，5+10 6+7，6+8，6+9，6+10 7+8，7+9，7+10 8+9，8+10 9+10所以，共有 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 种不同的取法例 4、在 1400 的自然数中，数字“2”出现了多少次？解析
4、：在 1400 这 400 个数中，“2”可能出现在个位、十位、百位上，我们就按这个来分类列举在个位上：2、12、92；102、112、192；202、212、292；302、312、392，共 104=40 次在十位上：20、21、29；120、121、129；220、221、229；320、321、329；共 104=40 次在百位上：200299，共 100 次所以，“2” 总共出现了 40+40+100=180 次思考：仔细思考下题，看看与例 4 有何区别：在 1400 的自然数中，含有数字“2”的数字有多少个？例 5、下图中有 6 个点，9 条线段，一只蚂蚁从 A 点出发，沿差某条线
5、段爬到 C 点，行进中，同一点或同一线段只能经过一次，这只蚂蚁最多有多少种不同的爬法解析：从 A 点出发有三种路可以走，我们就按这个进行分类列举A E D B F C(注示:上图中,AF 间有一连线,EC 间也有一连线)AEDC；AEC；AEFC，有三种爬法AFEDC；AFEC；AFC，有三种爬法ABFEDC；ABFEC；ABFC，有三种爬法所以，共有 9 种不同的爬法例 6、从学校到少年宫有 4 条东西向的马路和 3 条南北向的马路，小明从学校步行到少年宫（只许向东或向南行步），最多有多少种走法？学校 A B C D E F少年宫解析：在图形 ABCD 中，到 B 只有一种走法，到 C 也只有一种走法，到 D 有两种走法在图形 CDEF 中，到 E 只有一种走法，到 D 有两种走法，到 F 有三种走法我们可以发现规律：通过任何一个交叉点的路线总数等于该点左、上方的两邻交叉点的路线的总和，例如，通过点 F的路线总和，会等于 F 点左方的点 E、上方的点 D 通过路线的总和，1+2=3 种按这个规律，我们依次计数下去，到少年宫应有 6+4=10 种不同的走法小结：在计数时，不遵循数序规律，东举一个，西举一个，不按顺序列举，往往会出现遗漏或重复，有序的思考、合理的分类，才是解决这类问题最关键的思维。
