1、压气机叶片排序问题摘 要本文考虑压气机叶片重量及频率的差异，结合实际情况，给出不同约束条件下的叶片安排模型，并给出相应的叶片安排方案。对于问题一，本文以动态规划模型为基础，将所有叶片分为 4 组，分 4 个阶段分配给每个象限，使每次分配后相邻象限质量差的总和最小。每阶段选取5 组较优解，作为下阶段的初始状态。在最终得到的 625 组结果中选取较优解。利用该模型为第一组叶片排序，得到的相邻象限质量差的最大值为 1g，质量差的总和分别为 2g。对于问题二，本文在问题一结果的基础上，加入了频率限制条件。利用模拟退火的改进算法，对问题一的结果进行优化，得到了满足重量、频率限制条件的基本可行解。随后，采
2、用局部搜索方法对基本可行解进一步优化，得到符合题意的较优解。对于问题三，本文考虑到应尽量减少更换叶片数量，首先建立了调整区判别模型，优先更换质量调整区与频率调整区交汇处的叶片，对需要更换的叶片实现了定位。随后，建立了叶片更换模型，分别考虑质量与频率约束条件，使调整区逐步扩大，直到使相邻象限的质量差与相邻叶片的频率差满足要求，并给出了质量和频率的调整范围。对于问题四，本文依次利用动态规划模型、模拟退火模型与叶片更换模型，得到了两组叶片的合理排序。相邻象限质量差的总和均为 2g，相邻叶片频率差的总和分别为 336Hz、316Hz。最后，本文给出了模型的评价与推广。关键字： 动态规划 模拟退火 局部
3、搜索 叶片更换一、 问题重述由于加工出的压气机叶片的重量和频率不同，安装时需要按工艺要求重新排序。（1）压气机 24 片叶片均匀分布在一圆盘边上，分成六个象限，每象限 4片叶片的总重量与相邻象限 4 片叶片的总重量之差不允许超过一定值（如 8g） 。（2）叶片排序不仅要保证重量差，还要满足频率要求，两相邻叶片频率差尽量大，使相邻叶片频率差不小于一定值（如 6Hz） 。（3）当叶片确实不满足上述要求时，允许更换少量叶片。请按上述要求给出：（1）按重量排序算法；（2）按重量和频率排序算法；（3）叶片不满足要求时，指出所更换叶片及新叶片的重量和频率值范围；（4）当叶片保证了重量差和频率差时，安排列顺
4、序输出。二、 问题分析加工出的不同的压气机叶片具有不同的重量和频率，利用这些叶片安装压气机时需要符合一定的条件，从而满足工业要求。对于问题一，题目要求在满足相邻象限重量差不大于某一定值的条件下给出相应的排序算法。将重量差条件作为约束条件，问题一即可转化为寻找符合约束条件的解集。可以以重量差为基础构造目标函数，从而将问题一转化为最优化问题。本文考虑以动态规划思想为基础，将 24 个叶片分组、分阶段分配给压气机圆盘的 6 个象限，每个决策阶段只需在之前的已定初始状态基础上进行叶片分配。对于问题二，本问需同时考虑相邻象限重量差不大于某一定值、相邻叶片频率差不小于某一定值的限制条件，在此基础上给出叶片
5、分配方案。因为重量差与频率差所针对的研究对象不同，分别为象限和单个叶片，所以如果仍然沿用问题一的动态规划思想，则在叶片分组分配时会有很大的困难。考虑到模拟退火算法较之其他算法在搜索全局最优解方面的优势，本文首先采用模拟退火算法，并在其基础上加以改进使得运算量得到大幅度减少，得到寻找可行解的改进模拟退火算法；而后以可行解为初始解利用局部搜索方法寻找符合条件的较优解。对于问题三，由于涉及到质量和频率两方面的调整，为了使更换的叶片最少，应尽可能使被更换的叶片位于质量调整区和频率调整区的交汇处。对于质量的调整，应先确定调整的象限数，若调整当前象限无法满足要求，再扩大象限数。确定所调整的象限后，根据临近
6、的象限质量确定质量调整范围。频率调整方法与此类似。对于问题四，利用上述建立的模型，可对两组叶片分别给出合理排序。三、 模型假设1假设叶片的性能足够好，不会因磨损而改变质量和频率等参数。2假设任意规格的叶片都可生产出。四、 符号说明符号 符号含义ib第 i 个叶片（i=1,223,24）im第 i 个叶片的重量if第 i 个叶片的频率N优化系数js状态变量（j=0,1,2,3,4）kq第 k 个象限（k=1,2,3,4,5,6）m第 k 个象限的总重量m相邻象限重量差允许最大值f相邻叶片频率差允许最小值五、 模型的建立与求解5.1 模型一：质量排序模型5.1.1 问题分析本题共有 24 个叶片需
7、要安排，若用普通的动态规划方法解决此问题，相当于穷举所有情况后比较目标函数并从中选取最优解，运算量过大；若采用遗传算法或模拟退火算法，虽然算法可以实现，但其作为启发式算法运算量依然过大。为了减少运算量，提高算法运行效率，考虑到穷举法运算量是成指数形式增长的，本文将叶片分组、分阶段进行象限分配，从而避免了指数型增长所形成的巨大运算量。以每次给每个象限分配一个叶片为标准，可以将 24 个叶片分为 4 组，每组6 个叶片。挑选一组叶片分配给 6 个象限时，共有 =60 种分配方案。1254CA若将每种分配方案均保留下来作为下一个决策阶段的初始状态，则运算量依然成指数形式增长，当到达最后状态时约有 种
8、情况。考虑到动态规470.划方法每次决策前的状态均为最优状态，本题设计算法时可以考虑对每次决策进行评价，从每次决策后的状态中选取一部分符合约束条件且目标函数值较优的状态作为下一决策阶段前的初始状态，依此类推，在最终的状态中寻找较优解。故用动态规划的方法解决问题一，其基本思想为：将叶片分组，每个决策阶段挑出一组叶片分配给压气机圆盘的每个象限，每个象限分配一个叶片；分配之后，此时可将圆盘象限包含叶片的情况作为动态规划的一个状态，从这些状态中挑选最符合目标函数及约束条件的若干状态作为此时的最优分配策略，继而挑选下一组叶片进行下一步的决策；依此类推，直到所有叶片分配完，每个象限具有 4 个叶片时，在分
9、配结果中选取较优解。5.1.2 模型建立（1）建立目标函数。由于问题一只需考虑相邻象限叶片重量差不大于某一定值，设 为平衡()jms度（各象限重量差之和） ，本文建立目标函数如下：12235661()jqqqqmsm（1.1）（2）叶片分组，确定组间分配次序。将 24 个叶片按重量由小到大排列，得到 的叶片排序（123234bb） 。取 为第一组， 为第二组，1232324mm6712为第三组， 为第四组。38b194b考虑到叶片最小重量与最大重量的不稳定性，应首先分配第一组和第四组的叶片，使最大重量叶片与最小重量叶片的重量形成较好的互补。本文采用先分配第一组叶片，再分配第四组叶片，继而分配第
10、三组、分配第四组的分配顺序。（3）建立状态转移方程。每一个决策阶段都相当于给每个象限分配一个新的叶片，所以状态转移即为象限内叶片质量的增加。所以建立状态转移方程如下：1qkjqkjkjmm（1.2）该状态转移方程含义为第 个象限在第 个状态的总重量等于该象限在1j第 个状态的总重量加该决策阶段分配给该象限的叶片的重量。j（4）建立基本方程。分配叶片策略：基本条件为保证相邻象限叶片总重量差不大于一个定值；在基本条件的基础上使目标函数值最小化。因此建立基本方程如下：11261()min()()()()j jqjjqjjqjjqjjgssmmm（1.3）（1.4）1234561.qqqstm（5）具
11、体动态规划分配方法。状态时，分配第一组叶片。在满足相邻象限总重量差不大于某一定值0s的约束条件下，比较所有分配方案，选取目标函数值最优的前 个分配方案，N以其分配后的状态作为 ， 状态共有 个子状态。1sN状态时，分配第四组叶片，分配方法同上。所得结果为 状态共有1s 2s个子状态。同理， 状态共有 个子状态， 状态共有 个子状态。2N3s34s4N（6）选取最优解。对 的 个子状态依据目标函数值的优劣进行排序，选取前 5 种分配方4s案作为问题一的较优解。5.1.3 模型分析此模型以动态规划思想为基础设计算法，当 取 5 时，共需计算约N次，大大缩减了算法运算次数，大幅度提高60526015
12、9360了算法的运算效率。5.1.4 模型验证本文利用题目所给第一组叶片数据进行模型及算法验证。首先根据重量从小到大的顺序进行排序,分为 ABCD 四个组，结果如下：表 1.1 叶片分组数据表序号 重量 频率 分组 序号 重量 频率 分组10 655 197 A1 12 663 198 B18 658 196 A2 22 663 196 B29 658 201 A3 23 663 193 B311 658 196 A4 24 664 189 B47 660 188 A5 21 665 198 B520 660 194 A6 19 666 194 B615 693 215 C1 1 696 20
13、3 D13 694 210 C2 16 696 209 D26 694 208 C3 18 696 209 D314 694 210 C4 13 697 209 D45 695 212 C5 4 698 211 D517 695 208 C6 2 704 204 D6利用本文所给算法对上述数据进行求解可得：表 1.2 求解结果N 运行时间（ms） 结果数 平衡度最优解1 30 1 222 46 16 143 125 52 64 250 120 65 468 608 26 796 1248 2求解情况直观图如下图所示：02004006008001000120014000 1 2 3 4 5 6
14、7优 化 系 数运 行 时 间结 果 数平 衡 度图 1.1 求解结果情况有求解结果可以看出，当 N=5 时，运行结果已经很优，平衡度最少为 2，且程序运行时间仅为 0.468s，所以本文所给算法运行效率、计算精度均很高。5.2 模型二：质量和频率排序模型5.2.1 问题分析考虑到动态规划方法在同时考虑重量差和频率差时的不便性，本文采用模拟退火算法和局部搜索方法解决问题二。运用模拟退火算法最关键的问题在于如何增大解的收敛速度。针对本题考虑，因为各个叶片的重量、频率为定值，且各个叶片的邻接叶片情况均不同，所以在增强产生新解的导向性方面会有很大的困难。如果始终运用模拟退火方法寻找最优解，因为在状态
15、转移准则中含有不优解的接收概率，所以收敛速度会很慢，算法运行效率会很低。对第一问结果和近似求得的较优解叶片排列方案进行比较，如下图：重 量6306406506606706806907007101 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23叶 片 位 置叶片重量 重 量图 2.1 第一问叶片排列结果示意图重 量6306406506606706806907007101 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23叶 片 位 置叶片重量 重 量图 2.2 近似较优解叶片排列结果示意图由上图可得，近似较优解的叶片排列基本按照叶片重量大小间隔排列，所以为了提高算法运行效率，可以
16、采用以下方法：首先对第一问符合象限重量差的较优结果进行改进，按照频率大叶片、频率小叶片间隔排列的原则进行象限内叶片重新组合，将组合后结果作为初始解，采用模拟退火算法在初始阶段寻找次优解，在此基础上采用局部搜索方法在第二阶段寻找较优解。所以问题二算法基本思想为：以第一问求解结果为初始解一，对象限内叶片进行重新排序，使叶片频率值错开，得到人工解；以人工解为初始解二，采用模拟退火算法求解符合重量差和频率差基本约束条件的可行解；将求得的可行解作为初始解三，采用局部搜索方法求解较优解作为问题二的最终结果。5.2.2 模型建立、利用改进模拟退火算法寻找可行解获得初始解从问题一求解结果取出一个解，对每个象限
17、中中间两个叶片的位置进行互换，得到人工改进解。确定初始解、解空间（状态空间）以第步所得人工改进解作为本步骤的初始解。将 24 个叶片中频率较大的 12 个分为一组，另外频率较小的 12 个分为另一组。解空间为组内任意两个叶片互换所形成的所有组合方式的集合。确定评价函数以象限之间重量差的最大值和叶片之间频率差的最小值的增量作为评价函数，即增量分别为非正值和非负值时接受新解。确定状态转移准则将全部的 24 个叶片按照频率大小分成两组，每次产生新解时在组内任意互换两个叶片的位置。确定冷却降温方式温度每次循环以 95%递减。确定初始参数值确定初始温度，截止温度，循环步长等流程控制参数。、利用局部搜索方
18、法寻找较优解确定初始解、解空间（状态空间）以第步求解的可行解作为本步骤的初始解。解空间为任意两个叶片互换所形成的所有组合方式的集合。确定目标函数取 i、j 两个叶片， 为两叶片互换之前的叶片排列状态， 为两叶片互s s换之后的叶片排列状态，则目标函数为：12245661()qqqqmsmmm（2.1）123234241()fsffff（2.2） 124561()max(,)qqqqsmm（2.3） 12323421()in(,)fsffff（2.4）确定状态准则考虑到象限重量差总和、叶片频率差总和、象限重量差最大值、叶片频率差最小值四个方面的限制优化条件，建立状态转移概率函数作为状态转移准则如
19、下： ()(1()()0msffpfsfother确定搜索迭代次数。设定搜索的次数，所设定的次数越大得到最优解的概率也越大。5.2.3 模型分析模型二主要包含两个步骤，利用改进模拟退火算法寻求次优解，利用局部搜索方法求解较优解，并没有一直使用模拟退火算法寻找较优解，很大程度地较少了算法循环次数，提高了算法运行效率。5.2.4 模型验证仍然利用题目所给第一组数据对模型二进行验证。求解情况如下：表 2.1 不同迭代次数求解结果列表05101520250 1 2 3 4 5 6 7 8迭 代 次 数频 率 差 最 小 值重 量 差 最 大 值重 量 差 之 和运 行 时 间图 2.3 局部搜索的最优
20、解随迭代次数的变化定义 3000 次迭代次数，程序运行了 5 秒，解得最终最优解如下：表 2.2 求解结果各项指标值列表频率差最小值 重量差最大值 重量差之和 频率差之和9 1 2 3365.3 模型三：叶片更换模型当根据模型一与模型二给出的排列方式仍不满足质量差和频率差时，需要更换少量叶片。称质量差不符合要求的相邻两象限为质量调整区，频率差不符合要求的相邻两叶片为频率调整区。最理想的情况为，质量调整区与频率调整区重合，此时，新叶片可同时弥补质量与频率的缺陷。因此，为了使更换叶片的数量尽可能少，需考虑质量调整区与频率调整区的位置关系，以下分别进行阐述。迭代次数 0 100 500 1000 3
21、000 5000 10000频率差最小值 7 7 8 8 9 9 10重量差最大值 8 2 2 1 1 1 1重量差之和 22 6 6 4 2 2 1运行时间 0 1 2 3 5 13 20（1）两区域分离两区域分离，表示两区域没有共同的叶片，如图 3.1 所示图 3.1 两区域分离示意图此时，质量调整区与频率调整区应分别考虑，各自的区域均需更换叶片。（2）两区域相接两区域相接，表示有一片共同的叶片，如图 3.2 所示图 3.2 两区域相接示意图此时，优先考虑更换两区域共同的叶片。当更换共同叶片无法同时满足质量与频率的缺陷时，再将两区域分别考虑。（3）频率调整区在质量调整区之内该情况下两区域关
22、系如图 3.3 所示图 3.3 两区域重合示意图此时，优先考虑更换频率调整区的叶片。当更换共同叶片无法同时满足质量与频率的缺陷时，再将两区域分别考虑。下面，分别讨论调整质量与调整频率的算法。1质量调整算法假设将圆盘分为 n 个象限，取其中 6 个象限，横向排列，其中 B、C 象限的质量差 ，不符合要求，如图 3.4 所示8BCMg图 3.4 象限分布图此时，首先应判断 B、C 象限中哪一象限的质量过高或过低。若 B、C 象限的质量均在可接受范围内，则应考虑是周围象限的质量过高或过低，造成 B、C象限的质量差不合要求。即首先判断不合理的质量出现在哪一象限，再对该象限作出调整。依次思路，本文提出如
23、下算法：Step1 令修改范围为 B 象限。判断 是否大于 16g。若 ，无论怎样调整 B 象限的质量，ACM16ACMg也无法同时满足 、 ，此时转 Step2.若 ，8Bg8B16ACMg可修改 B 象限的质量，使得 且 。ABC令该象限中被更换叶片的质量为 ，其余三片叶片的质量之和为 。当0m1m时，更换最轻叶片；当 时，更换最重叶片。B2ACBM 2ACBM象限可取的质量范围为 ，则新叶片可取的质8,8,A量范围为 ，频率值与原11118,A BBmm 叶片相同。Step2 令修改范围为 C 象限。判断 是否大于 16g。若 ，无论怎样调整 C 象限的质量，BDM16BDMg也无法同时
24、满足 、 ，此时转 Step3.若 ，8Cg8C16BDMg可调整 C 象限的质量，使得 且 。BCD更换叶片的原则与 Step1 相同。新叶片可取的质量范围为。11118,88,8BBDDMmMmStep3 令修改范围为 B、C 象限。判断 是否大于 24g。若 ，无论怎样调整 B、C 象限的质AD24ADg量，也无法满足要求。说明不仅仅是 B、C 象限的问题，应对邻近的 A、D 象限进行检查，此时转 Step4.若 ，可调整 B、C 象限的质量，使得ADM、 、 均小于 8g。ABMCDB 象限可取的质量范围如图 3.5 阴影部分所示，图 3.5 B 象限取值范围示意图其表达式为 ，则新叶
25、片可取的质量范围为 。16,8DAM 116,8DAMmC 象限中新叶片可取的质量范围为 。118,BB DMmStep4 令修改范围为 A、B 象限。判断 是否大于 24g。若 ，无论怎样调整 A、B 象限的质ECM24ECMg量，也无法满足要求，此时转 Step5.若 ，可调整 A、B 象限的质量，使得 、 、 均小于 8g。EABC新叶片的取值原则与 Step3 相同。Step5 令修改范围为 A、B、C 象限。判断 是否大于 32g。若 ，无论怎样调整 A、B、C 象限EDM32EDMg的质量，也无法满足要求，此时转 Step6.若 ，可调整 A、B、C 象ED限的质量，使 、 、 、
26、 均小于 8g。EAABBC新叶片的取值原则与 Step3 相同。 Step6 令修改范围为 C、D 象限。若仍无法满足题意，令修改范围为B、C、D 象限，依次类推。可以看出，该算法的原则为：逐步扩大质量调整区的象限数，直到各象限间的质量差均满足条件。事实上，由于本题中的轮盘被划分为 6 个象限，且为圆盘形排列，如图3.6 所示图 3.6 象限划分图当质量调整区扩大到 B、C 象限时，已无需再扩大。可以看出，由于 、AFM、 均小于或等于 8g，故 。因此质量调整区限制在FEMD 24ADMgB、C 象限内。2频率调整算法频率调整算法与质量调整算法类似，只需将调整范围由象限改为叶片，将约束条件
27、由质量改为频率。5.4问题四利用模型一、模型二所给算法对题目所给两组数据进行求解，可得以下结果：数据一的计算结果为：表 4.1 数据一叶片排列顺序位置编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12叶片编号 24 13 11 5 8 18 23 1 7 3 21 17位置编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24叶片编号 22 6 12 14 10 16 19 4 9 15 20 2各项指标值为为：表 4.2 数据一求解结果各项指标值频率差最小值 重量差最大值 重量差之和 频率差之和9 1 2 336数据一的计算结果为：表 4.3 数据二叶片排列顺序
28、位置编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12叶片编号 8 17 19 3 7 2 22 5 23 15 20 16位置编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24叶片编号 9 18 10 1 11 6 24 4 21 14 12 13各项指标值为：表 4.4 数据二求解结果各项指标值频率差最小值 重量差最大值 重量差之和 频率差之和10 1 2 316六、 模型的评价与推广模型优点：1本文建立了动态规划的改进算法，每一阶段选取五组较优解作为下一阶段的初始状态，在保证了算法合理性的同时，降低了算法复杂度。2本文利用模拟退火算法得出基本初始可行解后，利用局部搜索法对所得结果进行优化，有效提高了算法效率。模型缺点：本文建立的排序模型只考虑到叶片的质量与频率约束条件，未考虑摩擦、压气机的工作环境等因素。模型推广：本文建立的叶片排序及更换模型，可应用于机械工程中的零件配对、齿轮配对等领域，对于损坏零件的更换选择亦有较大帮助。七、 参考文献1、 何坚勇，最优化方法M，北京：清华大学出版社，2007。2、 熊义杰，运筹学教程M，北京：国防工业出版社，2004。3、 邬学军，周凯，宋军全，数学建模竞赛辅导教程，杭州：浙江大学出版社，2009。4、 苏金明、阮沈勇，MATLAB 实用教程M。北京，电子工业出版社，2005。
