1、2011届华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试理科数学 2011.3.21一、选择题:本大题共 8小题,每小题 5分,满分 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。1设集合 1,234,1,2,4()UUABCAB则 ( )A B DC ,21D. 4,12已知函数 ,若 , , ,则( )()12fx3(log0.8)af3()bf2()cfA B C Dabcbcaacb3.下列命题不正确的是A 如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直;B如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行;C如果两条不同的直线在一平面内的射影
2、互相垂直,则这两条直线垂直;D如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行4.函数 的图象的大致形状是 ( )xay(01)5. 设 A1、A 2 为椭圆 的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A 2 的)0(12bayx点 ,使得 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 的取值范围是( P02 e)A、 B、 C、 D、)1,0(),()1,2()1,2(xxy11B.xy11A.xy11C.y11D.O O O O开始 1 ,0ks1k否输出 s结束 图 1)(是6 在直三棱柱 中, , . 已知与分别为1ABC2BAC1A和 的中点,与分别为线段
3、和 上的动点(不包括端点) . 若1 B,则线段 的长度的取值范围为GDEFA. B. C. D. ,51,251,21,257. 袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率为A. 0.0324 B.0.0434 C.0.0528 D.0.05628.任意 、 ,定义运算 ,则 的aRb.0 ,abba xef)(A.最小值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为ee11二、填空题:本大题共 7小题,每小题 5分,满分 30分。本大题分为必做题和选做题两部分(一)必做题 :第 9、10、11、12、13 题为必做题,每
4、道试题考生都必须作答。9. 若框图(图 1)所给程序运行的结果 ,那么2019s判断框中可以填入的关于 的判断条件是_ _k10. 已知定义域为 的函数 满足R()fx,2()4fxx(1)(fxf,若 成等差数列,则 的值为 41(,)ftftt11.若对一切 R,复数 的模不超过 2,则实数 的取值范(cos)(2sin)zaaa围为 . 12.设 O 点在 内部,且有 ,则 的面积与 的面积ABC230OABCururABOC的比为 . 13.记集合 , ,将 M 中的元6,5432,10T 4,321,774321iTaaMi素按从大到小顺序排列,则第 2005 个数是 . (2)选做
5、题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得分14 (几何证明选讲选做题)如图,半径为 2 的O 中, , 为 的中点,90ABDO的延长线交O 于点 ,则线段 的长为_.ADED15 (坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的极坐标方程 ,直角坐标系中的点 M2cos的坐标为(0,2) ,P 为曲线 C 上任意一点,则 的最小值是 . MP三、解答题:本大题 共 6小题,满分 80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题 12 分)已知 (其中 )的最小 231sin2co3csin3 xxxxf 0正周期为 .(1) 求 的单调递增区间;f(2
6、) 在 中, 分别是角 的对边,已知 求角 .ABCcbaCBA,1,2,1AfbaC17.(本小题满分 12 分)在甲、乙等 7 个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序(序号为 1,2,7) ,求:(1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率;(2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数 的分布列与期望.ABE18.(本小题 14 分)如图 2,在四面体 中, 且ABOC,120,AOB.1OCBA(1)设 为 的中点,证明:在 上存在一点 ,使 ,并计算 的值;PQPQ(2)求二面角 的平面角的余弦值.19.(本小题 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,给
7、定三点 4(0,)1,(,0)3ABC,点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。()求点 P 的轨迹方程;()若直线 L 经过 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 LABC的斜率 k 的取值范围。20.(本小题 14 分)已知 是方程 的两个不等实根,函数 的定义域,2410()xttR2()1xtf为 。()求 ;()ma()in()gtfxf()证明:对于 ,若 0,1,23iu123sinisin1,uu。1236(tan)(t)(tan)4ggu则21.(本小题 14 分)(I)已知数列 满足 , 满足 ,na11,2na1,
8、23nLnb1,求证: 。 21nb,3L11nkkkabAP BCO图 2(II) 已知数列 满足:a =1 且 。设 m N ,m n 2,证n1 )2(132nan明(a + ) (m-n+1 )n21m2011届华附、省实、广雅三校 广州一模后联合适应性考试数学试题(理科)参考答案和评分标准一、选择题:(每题 5 分,共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 D B C D D A B B二、填空题(每题 5 分,共 30 分)9 102 或 3 11 123 139240101k 5,14 15. 3551三、解答题:本大题共 6小题,满分 80分,解答须写出文字说明、
9、证明过程或演算步骤.16.解:(1) 33sin1cos2212fxx16cosin23x2 分1ix1,2,0TT4 分3sinxf故递增区间为 6 分Zkk125,(2) 3sin2Af032sinA5Q32平032即 或6A又 故 舍去, . 9 分,Bba6A由 得 或 ,Asini,2i4B3若 ,则 .417C若 ,则 . 12 分3B2注意:没有说明 “ “扣两分533AQ17.解:(1)设 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数” ,则 表示 “甲、乙的演A出序号均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得.4 分76123CAP(2) 的可能取值为 ,5 分5,4,0,726,
10、217,2147CP8 分,1327CP ,427CP.527从而 的分布列为0 1 2 3 4 5P725142110 分所以, . 12 分3521421321570 E18.解法一:(1)在平面 OAB内作 NA交 B于 ,连接 NC.1 分又 C, C平 面N平 面 ,。取 Q为 A的中点,则 NPQ/PO 4 分在等腰 中, 120B,3AB在 中, 0ON, 2ANQ4 分Rt在 中, 1293BO,.NBAQ 5 分38 分(2)连接 PO,由 CA, B知: COAB平 面 .又 , NN平又由 , 平 面 .又 ,AOC平又 是 的中点,P,N, ,平P平PNACO为二面角
11、ACB的平面角 10 分在等腰 中, 1O, 2PRt在 中, 3tan0NA,At在 中, 26PO. 12 分Rt15cos306N14 分解法二:在平面 中,过点 ,作 交 于 ,取 O为坐标原点,分别以AOBANBO, , C所在的直线为 x轴, 轴, z轴,建立空y间直角坐标系 Oxyz (如图所示) 1 分则 13(1,0)(,)(,0)2ACBP为 中点, ,P2 分设 (0,1)Q 3(,0)2A. 3,(1,0),2OAN131(,).22PQO,A即 0, 3. 6 分0所以存在点 13(,)26 使得 PQOA 且 B. 8 分(2)记平面 ABC的法向量为 123(,)
12、n,则由 nC, AB,且 (1,0)C,得1320n, 故可取 ( ,) 10 分又平面 OAC的法向量为 (0,1)e. 11 分(1,3)3cos55ne. 13 分二面角 ACB的平面角是锐角,记为 ,则 15cos14 分19.解:()直线 AB、AC、BC 的方程依次为 。点44(1),(1),033yxyxy到 AB、AC、BC 的距离依次为 。(,)Pxy123|55ddd依设, ,即222213,|6(34)|dxyy得,化简得点 P 的轨迹方程为2 26(4)50,()0xy或圆 S: 2 178y2与 双 曲 线 T:8x5 分()由前知,点 P 的轨迹包含两部分圆 S:
13、 2320xy与双曲线 T: 178y8的内心 D 也是适合题设条件的点,由 ,解得 ,且知它在圆 SABC123d1(0,)2D上。直线 L 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程为12ykx(i)当 k=0 时, L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 平行于 x 轴,表明12yL 与双曲线有不同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。8 分(ii)当 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只0k能有两种情况:情况 1:直线 L 经过点 B 或点 C,此时 L 的
14、斜率 ,直线 L 的方程为12k。代入方程得 ,解得 。表明直线 BD(2)xy(34)0y54(,)3E或 F(-,)与曲线 T 有 2 个交点 B、E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 11 分1k情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以1kL 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 有且只有一组实28780xyk数解,消去 y 并化简得 25(817)04kx该方程有唯一实数解的充要条件是 2或 225(5)4()0kk解方程得 ,解方程得 。3172k综合得直线
15、L 的斜率 k 的取值范围 。 14 分1340,720.解:()设 22121,40,410,xxtxt则 21224()()()t则 11212122()() xtxxfxf又 1212121221()0()0tt ff故 在区间 上是增函数。 3 分()fx,14t22()()()max()in()1tgtffxf6 分225181(5)6tt()证:2216(3)4coscoss(tan)1699iiiii ii uug9 分22164(,3)9cos9cosi iuu15 分33 32 211 11(6)(69)sin)(tan)i ii ii ug ,而均值不等式3 33221 1
16、1s,(0,),sin(i)ii iiuiu 且与柯西不等式中,等号不能同时成立,14 分12313(759)6(tan)(t)(tan)46gugu21.证明:(I)记 ,则 。 2 分nk kkbaI1112nIIIL而 。 4 分nkkaI1)(nknkb11因为 ,所以 。 5 分n2, )(a从而有 。 1)1(1 nkank又因为 ,所以 ,kbbkk )(21 kbkbk 1)(1即 。从而有 。 6 分 1kk 111nnk由(1)和(2)即得 。 综合得到 。nI2I左边不等式的等号成立当且仅当 n=1 时成立。 7 分 (II)不妨设 即 与)(2(321xaxnn 13nnca比较系数得 c=1.即13na2)2(1n又 ,故 是首项为 公比为 的等比数列,1n故 10n2)(分这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证 ,当 m=n 时显然成立。易验证当且仅当 m=n=2 时,(mnm1)232等号成立。设 下面先研究其单调性。当 n 时,)1()bmn m 12 分11111 34)(32)()23( , nmmnn bnbn即数列 是递减数列.因为 n 2,故只须证 即证 。事实上,,12bm)(2故上不等式成立。综上,原不等式成立。49511)( 2mCmm 14 分