初一数学上册知识总结.doc

1、初一数学（上）应知应会的知识点1. 代数式：用运算符号“ ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“ ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“”乘，不用“ ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如 a5 应写成 5a；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如 a应写成 a；（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将

2、被除式和除式联系，如 3a 写成的形式；（6）a 与 b 的差写作 a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b 时，则应分类，写做 a-b 和 b-a .3.几个重要的代数式：（m、n 表示整数）（1）a 与 b 的平方差是： a2-b2 ； a 与 b 差的平方是：（a-b）2 ； （2）若 a、b、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c；（3）若 m、n 是整数，则被 5 除商 m 余 n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n、n+1 ；（4）若 b0，则正数是:a2+b ，负数是：

3、-a2-b ，非负数是： a2 ，非正数是：-a2 .有理数一、正数与负数：1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。2.负数：像3、4754、50、0.6、15%等带有“”号的数叫做负数。而负数前面的“”号不能省略。3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“”号的数是负数。例如a 不一定是负数，因为字母 a 代表任何一个有理数，当 a 是 0时，a 是 0，当 a 是负数时，a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、

4、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。二、有理数及其分类：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数；(2)有理数的分类: (3)注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0 和正整数；a0 a 是正数；a0 a 是负数；a0 a 是正数或 0 a 是非负数；a 0 a 是负数或 0 a 是非正数.三、数轴： 规定了

5、原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。2.数轴的画法：画一条水平的直线；在直线的适当位置选取一点作为原点，并用 0 表示这点；确定向右为正方向，用箭头表示出来；选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为 1，2，3，；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，。如图 1 所示。四、相反数： 只有符号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两

6、侧，且与原点的距离相等，如图 1，3 与3 互为相反数。注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2 与2 互为相反数，说明+2 的相反数是2，2 的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5 与3 这样的两个数不是互为相反数。(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是 0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c；a-b 的相反数是 b-a；a+b 的相反数是-a-b；(3)相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数.五、绝对值：绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数 a 的点到原点的距离叫做这个数 a 的绝对值，记作|a

7、|。绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0.注意：绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质非负性。也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数， 或 (3) ； ；(4) |a|是重要的非负数，即|a|0；注意：|a|b|=|ab|, .六、非负数 若数 a0，则称 a 为非负数。非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为 0，则这几个非负数均为 0。八、有理数大小的比较：1.利用数轴比较大小：数轴

8、上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。于是：正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数。 2 任意有理数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于 一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。正数的绝对值越大，这个数越大；数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；大数-小数 0，小数-大数 0.6.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a0，那么的倒数是；倒数是本身的数是1；若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互

9、为负倒数.九、基本运算1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加，仍得这个数。2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把其绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零；几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。4、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把其绝对值相除；零除以任何一个不为零的数，都得零；除以一

10、个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数） 。十、乘方乘方的定义：求几个相同因数积的运算。乘方的结果叫做幂。在 an 中 a 叫做底数，n 叫做指数。读作 a 的n 次方，看作是 a 的 n 次方的结果时，也可读作 a 的 n 次幂。根据乘方的意义转化为乘方，再根据乘法法则进行计算；根据乘方的性质，先判断幂的符号，再计算幂的绝对值。（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当 n 为正奇数时: (-a)n=-an 或(a -b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .（3）a2 是重要的非负数，即

11、 a20；若 a2+|b|=0 a=0,b=0；（4）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.十一、有理数运算律加法的交

12、换律 a+b=b+a；加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；存在数 0，使 0+a=a+0=a；对任意有理数 a，存在一个加法逆元，记作-a，使 a+(-a)=(-a)+a=0；乘法的交换律 ab=ba；乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；分配律 a(b+c)=ab+ac；存在乘法的单位元 10，使得对任意有理数a，1a=a；对于不为 0 的有理数 a，存在乘法逆元 1/a，使 a(1/a)=(1/a)a=1。0a0 文字解释：一个数乘 0 还于 0。十二、有理数的运算顺序先乘方、开方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用

13、。说明：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方是三级运算。十三、近似数、有效数字与科学计数法近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数。有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字开始，草最末一个数字止，都是这个近似数的有效数字。科学计数法：把一个数记作 a10n 形式（其中 1 a 10，n 为整数。 ）整式的加减1单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3多项式：几个单

14、项式的和叫多项式.4多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若 a、b、c、p、q 是常数）ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式.5整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类为： .6同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.8去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.9整式的加减：整式的

15、加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.一元一次方程1等式与等量：用“=”号连接而成的式子叫等式.注意：“等量就能代入”！2等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.3方程：含未知数的等式，叫方程.4方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解

16、就能代入”！5移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质 1.6一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数，且 a0）.8一元一次方程的最简形式： ax=b（x 是未知数，a、b 是已知数，且 a0）.9一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 （检验方程的解）.10列一元一次方程解应用题： （1）读题分析法: 多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“

17、大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-” ，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法: 多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础.11列方程解应用题的常用公式：（1）行程问题： 距离=速度时间 ；（2）工程问题： 工作量=工效工时 ；（3）比率问题： 部分=全体比率 ；（4

18、）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题： 售价=定价折 ，利润=售价-成本， ；（6）周长、面积、体积问题：C 圆=2R，S 圆=R2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab， C 正方形=4a，S 正方形=a2，S 环形=(R2-r2),V 长方体=abc ，V 正方体=a3，V 圆柱=R2h ，V 圆锥=R2h.图形认识初步多姿多彩的图形 几何图形：我们把从事物中抽象出的各种图形统称为几何图形。立体图形：几何图形上的各部分不都在同一平面内，这种图形叫做立体图形，又称空间图形。平面图形：几何图形上的各部分都在同一平面内，这种图形叫做

19、平面图形。平面展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。几何图形的形成：几何体简称为体，长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体。包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。体和体相交的地方形成面，面和面相交的地方形成线，线和线相交的地方是点。点、线、面、体经过运动变化，组合成各种几何图形。点动成线，线动成面，面动成体。 几何图形的结构：点、线、面、体组成几何图形。点是构成图形的基本元素。直线、射线、线段 点：表示一个物体的位置，通常用一个大写字母表示，如点 A、点 B。直线的表示方法：可以用这条直线上任意两点的

20、字母（大写）来表示；用一个小写字母来表示。直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为，两点确定一条直线。直线的特征：直线没有端点，不可量度，向两方无限延伸；直线没有粗细；两点确定一条直线；两条直线相交有唯一一个交点。点与直线的位置关系：点在直线上，也可以说这条直线经过这个点；点在直线外，也可以说直线不经过这个点。两条直线的位置关系有两种：相交，当两条不同的直线有一个公共点时，我们就说这两条直线相交，这个公共点叫做这两条直线的交点。不相交（即平行） 。射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。射线的表示方法：用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，在两个字母前加上“射线” ；

21、用一个小写字母表示。射线的性质：射线是直线的一部分；射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量、不能比较长短；射线上有无穷多个点；两条射线的公共点可能没有，可能只有一个，可能有无穷多个。线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。线段的特点：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短。线段的表示方法：用两个端点的大写字母表示；用一个小写字母表示。线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短。简称，两点之间线段最短。两点的距离：连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离。 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。如图，点 M 将线段 AB 分成 AM=BM 两

22、段，M 即为线段 AB 的中点。判定 M 为中点： 中点 M 的性质： AMBM（或 AMBM=AB， M 是线段 AB 的中点，AB=2AM=2BM),M 在 AB 上， AMBM(或 AM=BM=AB， M 是线段 AB 的中点。 AB=2AM=2BM)。 线段大小的比较方法：（1）叠合法；（2）度量法；（3）估测法。比较线段的大小与比较数的大小一样，也可以用“” 、 “”或“”来表示，字母前面的“线段”省略不写。线段的和差与其数量的和差是一致的。角 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角也可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成

23、的图形。射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部。注意：角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度大小有关；角的大小可以度量，可以比较，也可以参与运算。角的表示方法：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示。角的符号是“” 。具体表示方法如下：用角的符号和数字表示一个角；用角的符号和小写的希腊字母表示一个角；用角的符号和一个大写的英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角） ；用角的符号和三个大写的英文字母表示任意一个角，表示顶点的字母要写在中间。角的分类：按角的大小可分为锐角、直角、钝角、平角、周角等。角的度量单位及换算：度、分、秒是常用的角的度

24、量单位。把一个周角等分成 360 份，每一份就是 1 度的角，记做 1；把 1 度角等分成 60 份，每一份就是 1 分的角，记做 1；把一分的角等分成 60 份，每一份就是 1 秒的角，记做 1。1=60，1=60，1 周角=360，1 平角=180，1 直角=90，1 周角=2 平角=4 直角=360，1 平角=2直角=180。角的大小的比较方法：（1）叠合法：比较两个角的大小时，把角叠合起来使两个角的顶点及一边重合，另一边落在同一条边的同旁，则可比较大小；（2）度量法：量出角的度数，就可以按照角的度数的大小来比较角的大小。比较的结果有三种：两角相等；一角大于另一角；一角小于另一角。角的和

25、、差、倍、分的度数等于角的度数的和、差、倍、分。角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。如图，射线 OC 将AOB 分成两个相等的角，即1=2，则 OC 是AOB 的平分线。判定 OC 平分AOB： 角的平分线 OC 的性质：1=2（或1=2= OC 平分AOB，AOB,AOB=21=22） ， 1=2（或1=2=OC 平分AOB。 AOB,AOB=21=22） 。余角：如果两个角的和等于 90（直角） ，就说这两个角互为余角。补角：如果两个角的和等于 180（平角） ，就说这两个角互为补角。互余、互补的性质：同角（或等角）的余角（或补角）相等。方位角：表示方向的角，它是指正北（或正南）方向线与目标方向线之间所夹的锐角。习惯上把南或北写在前面，东或西写在后面，用两个方向表示。