1、 第一节 数字推理基础知识我们可以把数字推理分成两大类。 第一类：数列型数字推理 数列型数字推理也叫纯数字型数字推理。就是给出一个不完整数列，其中该数列缺少一项或者两项，要求我们找出这一数列的规律，然后从 4 个备选答案中选出自己认为最合适、合理的一个，来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。比如：1，3，5，7，9，（ ）A7 B.8 C.11 D.13解析：正确答案为 C。原数列是一个等差数列，公差为 2，故应选 C。 第二类：数图型数字推理 数图型数字推理是既有图形又有数字的一种推理题目，给出三个一致的图形，图形一般分为三角形或者是圆形，其中间分布 4 个或者 5 个数字，每一图形中的数
2、字之间存在一定的规律，前两个数图是完整的，要求我们根据前两个数图的统一规律求出第三个图形中的未知项。比如： A.11 B.15 C.17 D.20解析：正确答案为 C。根据前两个图的规律：三个角上数字相加等于中心数字，所以 C 正确。 数字推理的题型分类如下图所示：一 等差数列及其变形 （一）等差数列 现实生活中我们接触最多的就是等差数列，比如电影座位前一行比后一行多 2 个座位，第一排20 个，则每排座位数量为 20，22，24，26，28；再比如树的年轮每年增加一圈，构成数列 1，2，3，4，5，6，；这些数列都有一个特征，那就是相邻两项后项与前项差为一个常数，这样的数列我们就称为等差数列
3、，其中的常数称为公差。 公差可为正数、负数、小数等。比如数列：10，4.5，-1，-6.5，-12，此数列的公差为-5.5。 专家点拨 最常见、最典型的等差数列有： 自然数数列：0，1，2，3，4，5，6正奇数数列：1，3，5，7，9正偶数数列：2，4，6，8，10 【例 1】4， 9， 14， 19， （ ）。A23 B24 C25 D26【解析】题干中数列共四项，相邻两项后项与前项之差均为 5，是一个典型的等差数列。因此所求第 5 项与第 4 项的差也应该为 5，即未知项为 19+5=24，故正确答案为 B。【例 2】35，24， 13，2，-9，（ ）。A-12 B-30 C-45 D-
4、20【解析】题中所给 5 项，后项与前项之差均为-11，所以此数列是一个公差为-11 的等差数列，所以未知项为-9-11=-20，故正确答案为 D。注意: 在考试时，像这种一眼就能观察出结果的题目，出现的概率几乎为 0，出现较多的是等差数列的变形。 （二）等差数列的变形 在学习等差数列变形之前，我们这里先给出一个新定义。 2，5，10，22，46，( )像这个题目，我们把 2，5，10，22，46 叫做原数列，它的相邻两项的差构成的数列3，5，12，24 称为“一级差数列”；一级差数列 3，5，12，24 相邻两项的差构成的数列2，7，12 称为“二级差数列”。如下图所示：专家点拨 等差数列的
5、变形是后项与前项的差为一个数列 【例 3】98，86，71，53，32，（ ）。 A4 B34 C8 D61【解析】此数列：第二项减第一项为-12，第三项减第二项为-15，第四项减第三项为-18，第五项减第四项为-21，即一级差数列为：-12，-15，-18，-21，是一个新的等差数列，公差为-3。所以未知项与第五项之差应为：-21-3=-24，即未知项为 32-24=8，故正确答案为 C。在这道例题中一级差数列为等差数列。【例 4】0，4，18，48，100，（ ）。 A140 B160 C180 D200【解析】后一项减前一项得到一级差数列 4，14，30，52，无规律；再用后一项减前一项
6、得到二级差数列 10，16，22，此时是一个公差为 6 的等差数列，故二级差数列后一项为 22+6=28；一级差数列后一项为 52+28=80，故未知项为 100+80=180, 故正确答案为 C。 【例 5】102，96，108，84，132，( )。A.36 B.64 C.70 D.72【解析】后一项减前一项得到一级差数列-6，12，-24，48，此数列为公比为-2 的等比数列，故下一项为-96。因此未知项为：132-96=36，故正确答案为 A。二 等比数列及其变形 （一）等比数列 数列中相邻两项后项与前项的比值为常数，此数列就称作等比数列，这个常数我们称为公比。最典型的等比数列：1，2
7、，4，8，16，32，公比为 2；1，3，9，27，81，公比为 3。专家点拨 公比可为正数、负数、小数，公比不是整数的数列特征看起来就不明显，比如：5，-4，3.2，-2.56，2.048，此数列是公比为-0.8 的等比数列 【例 6】1，4，16，64，（ ）。 A125 B169 C196 D256【解析】从数列中可以发现，后一项除以前一项的比值为 4，则未知项与 64 的比值也应为 4，即： ，故正确答案为 D。注意:考试中往往不会出现这种简单的等比数列，在考试中最常见的是等比数列的变形。（二）等比数列的变形 在学习等比数列变形之前，我们这里给出一个新定义。 2，8，64，1024，3
8、2768，（） 像这个题目我们把 2，8，64，1024，32768 叫做原数列，它的相邻两项的商构成的数列4，8，16，32 称为“一级商数列”，“二级商数列”考试中不会出现，故不讨论。 专家点拨 等比数列的变式包括：相邻两项后项与前项的比构成一个数列、等比数列每项加（或减）一个常数、等比数列每项加（或减）一个数列的对应项 1.相邻两项后项与前项的比构成一个数列 【例 7】 3，3，9，45，315，（ ）。 A1124 B1768 C2835 D3095【解析】像这种数值递增，并且数字跳跃非常大，往往会怀疑它属于等比数列，第二项与第一项之比为 1，第三项与第二项之比为 3，第四项与第三项之
9、比为 5，第五项与第四项之比为 7，即“一级商数列”为 1，3，5，7，构成了一个公差为 2 的等差数列， 那么 1，3，5，7 的下一个数应为 9，即未知项与第五项之比为 9，即 3159=2835，故正确答案为 C。【例 8】 1，2，8，64，（ ）。 A1124 B1024 C512 D256【解析】首先怀疑它为等比数列，第二项与第一项之比为 2，第三项与第二项之比为 4，第四项与第三项之比为 8，“一级商数列”为 2，4，8，构成了一个公比为 2 的等比数列，因此未知项与第四项的比值应该为 16，所以未知项为 6416=1024，故正确答案为 B。这个例题中一级商数列为等比数列。 2
10、.等比数列每项加（或减）一个常数 此类型是在考试中最容易出现的题型之一。从题面看，很难找出答案，在此我们只为大家介绍一些简单的方法。关于此类题的解题思路和过程，将在后一节的经典真题解析中为大家详细介绍。 这种题型往往在等比数列或等比数列的变式基础上再加、减一个数，我们任取一公比为 4 的等比数列作为第一个数列，如下： 1，4，16，64，256如果在第一个数列的基础上从每一项减去 3 得到第二个数列，即为：-2，1，13，61，253，如果只看第二个数列，很难找出它的规律，但第一个数列规律就很明显。它们之间的差别就是，第二个数列是第一个等比数列减去一个常数。 3.等比数列每项加（或减）一个数列
11、的对应项 此类型也是在考试中最容易出现的题型之一。从题面看，很难找出答案，在此我们只为大家介绍一些简单的方法。关于此类题的解题思路和过程，将在后面的解题方法单元中为大家详细介绍。 这种题型往往在等比数列或等比数列的变式基础上再加、减一个数，我们任取一公比为 4 的等比数列： 1，4，16，64，256再取一等差数列： 1，2，3， 4， 5两数列对应项做差得到： 0，2，13，60，251只看后面这个数列，很难找出它的规律。实际后面这个数列，就是由前面的数列变形而来。 三 幂数列及其变形 幂数列包含平方数列和立方数列及其变形。 （一）平方数列及其变形 平方数列，即数列中的项都是完全平方数。首先
12、来看平方数列中最典型的数列：1、4、9、16、25、36。此数列是 12、22、32、42、52、62，它是由正整数数列1、2、3、4、5、6，每一项的平方构成的数列。 专家点拨 平方数列的变形，即数列中的项都是完全平方数略加变化，平方数列的变形包括：平方数列加（或减）一个常数、平方数列与另外一个数列对应项进行运算、摇摆型 1. 平方数列加（或减）一个常数 假设原平方数列为 1，4，9，16，25减去的数为：3则原平方数列变为-2，1，6，13，22，这个数列就是平方数列的变形。 2. 平方数列与另外一个数列对应项进行运算 假设原平方数列为：1，9，25，49，81减去的对应数列为：1，2，3
13、， 4， 5则原平方数列变为：0，7，22，45，76；这个数列也是平方数列的变形。 3. 摇摆型 比如：2，3，10，15，26，（ ） 通过仔细观察可以发现，该数列可以变形为 12+1，22-1，32+1，42-1，52+1，后面的常数加 1减 1 依次循环，平方数的底数依次增加 1，从而形成整个数列在平方的基础上左右摇摆，故未知项为：62-1=35。 （二）立方数列及其变形 立方数列，即数列中的项由数的立方构成，常见的有 1、8、27、64、125、216，此数列是13、23、33、43、53、63，它是由正整数数列 1，2，3，4，5，6 每一项的立方构成的数列。专家点拨 立方数列的变
14、形，即数列中的项都是立方数略加变化，常见变形有：立方数列加（或减）一个常数、立方数列与另外一个数列对应项进行运算、摇摆型 1. 立方数列加（或减）一个常数 假设原立方数列为 1，8，27，64，125，216减去的数为：3则原平方数列变为-2，5，24，61，122，213，这个数列就是上面立方数列的变形。 2. 立方数列与另外一个数列对应项进行运算 假设原立方数列为：1，8，27，64，125，216减去的对应数列为：1，2， 3， 4， 5， 6则原立方数列变为：0，6，24，60，120，210这个数列也是立方数列的变形。 3. 摇摆型 【例 9】0，9，26，65，124，（ ）。 A
15、.165 B.193 C.217 D.239【解析】（1）数列相减，得到一级差数列为：9，17，39，59，无规律； （2）观察数字，与平方和立方数比较接近； （3）考虑平方数列无规律； （4）考虑立方数列， ，此数列是一个振荡数列； （5）下一项： 故正确答案为 C。 四 因果数列 因果数列，顾名思义，即数列各项有某种因果关系，一般是后项由前项或者前几项经过某种计算或者某个递推公式得来的，常称为前因后果数列。它有和、差、积、商及其变形等几种情况。对于因果数列，我们可以用列算式法解决（在后一节的解题方法中我们将重点介绍这一方法）。例如：给定递推公式如下： ，只要给定了前两项 1，2，按照递推关
16、系式即可依次写出数列为： 1，2，3，5，8，13，在公务员考试中其实就是让我们根据所给数列要能找出递推公式，从而确定未知项。 专家点拨 我们将因果数列主要分为四类： 和差因果数列积商因果数列平方因果数列立方因果数列 （一） 和差因果数列 1. 后项的值与前几项的和或差有关前面相邻两项相加为后一项比如数列：1，3，4，7，11，18。该数列从第三项起，相邻的 3 项满足后项为其前两项的和，即 4=1+3， 7=3+4， 11=4+7， 18=7+11。其实这里只要给定递推公式为 ，前两项为 1，3，就能确定整个数列为1，3，4，7，11，18。前面相邻两项相减为后一项比如数列：35，27，8，
17、19，-11，（ ）。该数列是这样形成的：35-27=8，27-8=19，8-19=-11 即第一项减第二项等于第三项，第二项减第三项等于第四项，依此类推，相邻两项之差等于后一项，未知项等于其前两项之差，即 19+11=30。 其实这里只要能确定递推公式 ，前两项为 35，27，就能确定整个数列为35，27，8，19，-11，30，。所以解决因果数列就是要确定递推关系式。 前面相邻三项之和等于下一项比如数列：0，1，1，2，4，7，13，24。该数列有如下规律：0+1+1=2，1+1+2=4，2+4+7=13，4+7+13=24，即相邻三项之和等于下一项的值。 前面所有项的和为后一项 比如数列
18、：1，3，4，8，16，32，（ ）推出下一项。通过观察可以发现：1+3=4，1+3+4=8，1+3+4+8=16，1+3+4+8+16=32，即从第三项起，下一项是前面所有项的和。则未知项为 1+3+4+8+16+32=64。 2. 和差因果数列的变形递推关系式基础上，再加减一个常数比如给出一个数列：15，7，-6，-11，-3，（ ） A.8 B.7 C.6 D.5前两项分别为 15，7，选定递推关系式为 得到整个数列为：15，7，-6，-11，-3，6，与原数列吻合，所以 C 为正确答案。 递推关系式基础上，再加减一个数列的对应项 数列：1，4，2，2，-1，-5，（ ） A.-13 B
19、.1 C.7 D.-5前两项分别为 1，4，选定递推关系式为 得到数列如下：1，4，2，2，-1，-5，-13，与原数列一致，故选 A。 （二）积商因果数列 1. 后项的值与前几项的积或商有关 相邻两项的积或商为下一项 比如数列：2，3，6，18，108，1944。这一个数列，23=6，36=18，618=108，18108=1944，要解决这类问题关键还是要找出这个因果数列的递推公式，比如这个数列中递推公式就为 。 相邻三项的积或者商为下一项 比如数列： 1，2，3，6，36，648。这个数列，从第四项起，123=6，236=36，3636=648，后一项为前三项的乘积。相应的递推公式为。
20、2. 积商因果的变形 递推关系式上加减一个常数，例如：取前两项为 2，4，递推公式为： ，可以计算出数列为 2，4，7，27，188。 基本积商因果数列的基础上每项减去一个常数。例如：取原数列为：1，2，2，4，8，32 每一项加上一个常数 3 得：4，5，5，7，11，35。 基本积商因果数列与一个新的数列对应项相加。例如：取原数列为：1，2，2，4，8，32，取另外一个等差数列：1，2，3，4，5，6，两数列对应项相减得：0，0，-1，0，3，22。 （三）平方因果数列 后项的值与前 N 项的平方有关 平方因果数列主要考查后项是前项平方或与前项平方有关。例如：2，4，16，256，这是一个
21、典型的平方因果数列，后一项的值是前一项值的平方，递推公式为 。 平方因果数列的变形：上面数列的递推公式略加变形 ，取首项为 2，则新的平方型因果数列为：2，6，38， 。 （四）立方因果数列 1. 后项的值与前一项的立方有关 立方因果数列主要考查后项是前项立方或与前项立方有关。例如： 2，8，512，134217728，这是一个典型的立方因果数列，后一项的值是前一项值的立方，递推公式为 ，首项为2。 2. 立方数列的变形 取首项为-1，递推公式为 ，则可计算得数列为：-1，0，1，2，9，730。 五 多重数列 所谓多重数列指给出的数列是由两个或两个以上的数列构成。专家点拨 我们将多重数列分为
22、四类：隔项数列、分数数列、小数数列、分组数列 （一） 隔项数列 隔项数列指由两个数列或三个数列，每个数列依次取一项交叉排列到一起构成的新数列。【例 8】4，27，16，25，36，23，64，21，( )。 A. 81 B. 100 C. 121 D. 19【解析】通过观察，该数列项数很大，为隔项数列，奇数项的规律为 故未知项为 ，故正确答案为 B。【例 9】1，3，3，6，7，12，15，( )。 A17 B27 C30 D24 【解析】通过观察，该数列为隔项数列，奇数项中一级差的规律为以 2 为公比的等比数列，偶数项的规律为以 2 为公比的等比数列，故未知项为 ，故正确答案为 D。 注意:
23、隔项数列特点：隔项数列一般项数比较多，已知项一般大于等于 6 项。（二） 分数数列 分数数列指数列中的项大多为分数，最常见的是在数列中分子是一个数列，分数的分母是另外一个数列。【例 10】2/3，1/2，2/5，1/3，2/7，( ) 。 A. 1/4 B. 1/6 C. 2/11 D. 2/9【解析】将该数列整理为标准形式： ，用博大考神数字推理观察法观察数列，可以发现：分子都为 2；分母分别是 3、4、5、6、7，是一个递增的自然数列。所以，未知项的分子应该是 2，分母是 8，即：未知项为 。故选择 A 答案。 【例 11】 ，（ ）。 A. B. C. D. -3【解析】原数列是递增的，
24、将数列变为 ，其中分子为以 3 为公差的等差数列，分母为以 3 为公差的等差数列，因此未知项为 ，故正确答案为 C。注意:分数数列经常和小数混合出题，如： ，如果变成这种数列，迷惑性更大。 （三） 小数数列 数列中的多数项都以小数的形式出现，整数部分为一个数列，小数部分为一个数列。比如数列：1.4，3.9，5.16，7.25，9.36，整数部分：1，3，5，7，9 为等差数列；小数部分：0.4，0.9，0.16，0.25，0.36，只考虑数字 4，9，16，25，36 正好是一个简单的平方数列。 【例 12】6.7，8.11，9.13，10.17，（ ） A.12.19 B.13.15 C.1
25、4.16 D.15.13 【解析】此数列为小数数列，把整数部分和小数部分分开考虑。整数部分是：6，8，9，10，是连续的合数，所以整数部分下一项是 12，小数部分是：7，11，13，17，是连续的质数，所以小数部分下一项是 19，所以原数列的未知项是 12.19。故正确答案为 A。 (四) 分组数列 一个数列间隔相同项进行分组后，每一组呈现的规律一致，那么这个数列被称作分组数列。比如：2，4，3，5，6，（ ） 两项作为一组，可以得到每组之差为 2，所以未知项为 8。【例 13】1，1，8，16，7，21，4，16，2，（ ） A10 B20 C30 D40【解析】原数列两项作为一组，可以看出
26、每一组后项除以前项后得到一个新的数列：1，2，3，4，所以未知项除以 2 后得到 5，故未知项为 10，A 答案正确。 六 数图型数字推理 所谓数图型数字推理，就是在题目中呈现一组包含数字的原型图，但这一数图中有意地空缺了一项，要求考生对这一数图进行观察和分析，找出数图的内部规律，从而根据规律推导出空缺处应填的数字，然后在供选择的答案中找出应选的一项。数图型数字推理从形式上看是比较难的，原因是我们不知道这种题的解题思路和方法。但是如果我们知道了这种题的解题思路和方法，就会发现这种题很容易，属于较易题型。专家点拨 数图型数字推理的解题规律：图形内的数字之间通过加、减、乘、除四则运算，任意组合，但
27、数字之间组合的运算关系和先后顺序，图形之间要保持一致 1. 三角形数字推理 【例 14】 A.12 B.14 C.16 D.20【解析】根据“从小数入手和从加减入手”的原则，从第二组数字入手，即：6-4=2，2+3=5，52=10，这样第二组数字的规律就找出来了。8-2=6，6+7=13，132=26，显然第一组数也是符合这个规律的。按照此规律来计算第三组数。2-3=-1，-1+9=8，82=16，故正确答案为 C。 （二）圆形数字推理 【例 15】 A15 B.14 C.11 D.9【解析】前两个图形呈现出一致的规律：左面两个数字相加，再减去右面两个数字之和，结果为中间的数字。所以（21+9）-（2+17）=11，答案 C 正确。 各类数列的特点 数列变化快慢：等差数列数字变化趋势较慢，等比、平方、立方数列变化趋势较快。 数列项数特点：等差、等比一般都是考察二级差，一级差数列，原数列项数为 4 或 5 项；平方、立方数列一般为 4 项； 因果数列一般为 5 项；分组数列项数较多。 特殊数列都会出现特殊的元素，分数、小数、根式等都是解题的依据。
