1、用心 爱心 专心第二十二章 一元二次方程单元要点分析教材内容1本单元教学的主要内容一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题2本单元在教材中的地位与作用一元二次方程是在学习一元一次方程 、 二元一次方程 、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容教学目标1知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题2过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探
2、讨，老师点评分析，建立数学模型根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程（4）通过用已学的配方法解 ax2+bx+c=0（a0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b 2-4ac0，b 2-4ac=0，b 2-4ac0.2)找出系数 a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算 b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。（4）初步了解一元二次方程
3、根的情况第 7 课时 22.2.4 判别一元二次方程根的情况教学内容用 b2-4ac 大于、等于 0、小于 0 判别 ax2+bx+c=0（a0）的根的情况及其运用教学目标掌握 b2-4ac0，ax 2+bx+c=0（a0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac0、b 2-4ac=0、b 2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac0，有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=-441=0（
4、0 时，根据平方根的意义， 24bac等于一个具体数，所以一元一次方程的 x1=24acx 1=2，即有两个不相等的实根当 b2-4ac=0 时，根据平方根的意义 2b=0，所以 x1=x2= ba，即有两个相等的实根；当 b2-4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即 x1= 4ac，x 2=24bc（2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即 x1=x2=ba（3）当 b2-4ac0 的解集（用含 a 的式子表示） 分析：要求 ax+30 的解集，就是求 ax-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、负
5、或 0因为一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a） 2-4（a-2）（a+1）0 即 ax-3x0一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实根；b 2-4ac=0 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实根；b 2-4ac2 Ck6 使PCQ 的面积等于 12.6cm2因为 AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于 PA=y，CP=（14-y） ，CQ=（2y-8） ，又由友情提示，便可得到 DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模解：（1）设 x 秒，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使PBQ 的面积为
6、8cm2则： 2（6-x）2x=8整理，得：x 2-6x+8=0解得：x 1=2，x 2=4经过 2 秒，点 P 到离 A 点 12=2cm 处，点 Q 离 B 点 22=4cm 处，经过 4 秒，点P 到离 A 点 14=4cm 处，点 Q 离 B 点 24=8cm 处，所以它们都符合要求（2）设 y 秒后点 P 移到 BC 上，且有 CP=（14-y）cm，点 Q 在 CA 上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点 Q 作 DQCB，垂足为 D，则有 CAAB=6，BC=用心 爱心 专心由勾股定理，得：AC= 268=10DQ= 6(28)(4)105y则： （14-y） =12.6整理，
7、得：y 2-18y+77=0解得：y 1=7，y 2=11即经过 7 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处（CP=14-y=7） ，点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处（CQ=2y-8=6） ，使PCD 的面积为 12.6cm2经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm10，点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在 本小题只有一解 y1=7五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题六、布置作业1教材 P53 综合运用 5、6 拓广探索全部2选用作业设计: 一、选
8、择题1直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6，则斜边为（ ） A 37 B5 C 38 D72有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽的3 倍，已知第二块木板的面积比第一块大 108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ） A第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，宽 27m;B第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m;C第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m;D以上都不对3从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A8cm
9、B64cm C8cm 2 D64cm 2二、填空题1矩形的周长为 8 2，面积为 1，则矩形的长和宽分别为 _2长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm2，则它的周长为_3如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m，所围的面积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_用心 爱心 专心BACEDFBACEDH GF图 22-10三、综合提高题1如图所示的一防水坝的横截面（梯形） ，坝顶宽 3m，背水坡度为 1：2，迎水坡度为1：1，若坝长 30m，完成大坝所用去的土方为 4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度 CFB= 12，迎水坡度
10、1DEA） （精确到 0.1m）2在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3谁能量出道路的宽度:如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行第 13 课时 22.3 实际问题与一元二次方程(4)教学内容运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题教学目标掌握运用速度、时间、路
11、程三者的关系建立数学模型并解决实际问题通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题重难点关键1重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题2难点与关键：建模教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？二、探究新知我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程速度时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题请思考下面的二道例题例 1某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s（m）和时间 t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶 200m 需要多长时间?用心 爱心 专心分析：这是一个加速运运，
12、根据已知的路程求时间，因此，只要把 s=200代入求关系 t 的一元二次方程即可解：当 s=200 时，3t 2+10t=200，3t 2+10t-200=0解得 t= 03（s）答：行驶 200m 需 s例 2一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）?分析：（1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其
13、平均速度为 02=10m/s，那么根据：路程=速度时间，便可求出所求的时间（2）很明显，刚要刹车时车速为 20m/s，停车车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因为车速减少值 20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20 除以从刹车到停车的时间即可（3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到 15 米的车速，从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度，再根据：路程=速度时间，便可求出 x 的值解：（1）从刹车到停车所用的路程是 25m；从刹车到停车的平均车速是20=10（m/s）那么从刹车到停车所用的时间是 2510=2.5
14、（s）（2）从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20从刹车到停车每秒平均车速减少值是 .=8（m/s）（3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs，这时车速为（20-8x）m/s则这段路程内的平均车速为 20(8)x=（20-4x）m/s所以 x（20-4x）=15整理得：4x 2-20x+15=0解方程：得 x= 510x14.08（不合，舍去） ，x 20.9（s）答：刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s用心 爱心 专心三、巩固练习（1）同上题，求刹车后汽车行驶 10m 时约用了多少时间 （精确到 0.1s）（2）刹车后汽车行驶到 20m 时约用了多少时间 （精确到 0.1s）
15、四、应用拓展例 3如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头：小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一般补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰（1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里?（2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到 0.1 海里）BACEDF分析：（1）因为依题意可
16、知ABC 是等腰直角三角形，DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就可求，因此由勾股定理便可求 DF 的长（2）要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度，DF 已求，因此，只要在 RtDEF 中，由勾股定理即可求解：（1）连结 DF，则 DFBCABBC，AB=BC=200 海里AC= 2AB=200 海里，C=45CD= AC=100 海里DF=CF， DF=CDDF=CF= 2CD= 100 2=100（海里）所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE=x 海里，AB+BE=2x 海里，EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（3
17、00-2x）海里在 RtDEF 中，根据勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x） 2整理，得 3x2-1200x+100000=0用心 爱心 专心解这个方程，得：x 1=200- 063118.4x2=200+ 063（不合题意，舍去）所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里五、归纳小结本节课应掌握：运用路程速度时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题六、布置作业1教材 P53 综合运用 9 P58 复习题 22 综合运用 92选用作业设计:一、选择题1一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为（ ） A25 B36 C25 或 36
18、D-25 或-362某种出租车的收费标准是：起步价 7 元（即行驶距离不超过 3km 都需付 7 元车费） ；超过 3km 以后，每增加 1km，加收 2.4 元（不足 1km 按 1km 计） ，某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费 19 元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ） A正好 8km B最多 8km C至少 8km D正好 7km二、填空题1以大约与水平成 45角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离 s（单位：m）与标枪出手的速度 v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s=29.8v+2如果抛出 40m，那么标枪出手时的速度是_（精确到 0.1）2一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚
19、动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间 t（s）的数据如下：时间 t（s） 1 2 3 4 距离 s（m） 2 8 18 32 写出用 t 表示 s 的关系式为_三、综合提高题1一个小球以 10m/s 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动 20m 后小球停下来（1）小球滚动了多少时间?（2）平均每秒小球的运动速度减少多少?（3）小球滚动到 5m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）?2某军舰以 20 节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以 30节的速度由南向北航行，用心 爱心 专心它能侦察出周围 50 海里（包括 50 海里）范围内的目标如图，当该军舰行至 A 处时，电子侦
20、察船正位于 A 处正南方向的 B 处，且 AB=90 海里，如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由北东BA课后反思第 14 课时 22.3 实际问题与一元二次方程(5)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况教学目标掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法重难点关键1重点：如何全面地比较几个对象的变化状况2难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况教具、学具准备小黑
21、板教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500张，每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，商场要想平用心 爱心 专心均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润总件数设每张贺年卡应降价 x 元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+ 0.1x100）解：设每张贺年卡应降价 x 元则（0.3-x） （500+ 10.）=120 解得：x=0.
22、1答：每张贺年卡应降价 0.1 元二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了减少库存降价销售，并知每降价 0.1 元，便可多售出 100 元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系例 1某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500 张，每张盈利 0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出 200 张，每张盈利 0.75 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价 0.1 元，那
23、么商场平均每天可多售出 100 张；如果乙种贺年卡的售价每降价 0.25 元，那么商场平均每天可多售出 34张如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是 150 元；0.3751024，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利 120 元，甲种贺年卡应降价 0.1 元（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价 y 元，则：（0.75-y） （200+ 0.25y34）=120即（ 34-y） （200+136y）=120整理：得 68y2+49y-15=0y= 981y-0.98（不符题意，应舍去）y0.23 元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大三、巩固练习
