1、例 9 已知某线性规划问题用单纯形法迭代时，得到的中间某两步的单纯形表如表 2.8。请将表中空白的数字填上。表 2.8 jc3 5 4 0 0 0BCXb x1 x2 x3 x4 x5 x65 x2 81 0 10 00 x5 430 5 -21 0(1)0 x6 950 4 30 1Z 10 -4 0 0 5 x2 1548144 x3 6(2)3 x1 25Z, ,02.8 =.b 123123-1*-1B 0 1由 于 x为 基 变 量 ， 因 此 表 中 x对 应 的 系 数 列 应 填 上 ， 而 相 应 的 检 验 数 均 填 。 84 -0 表 的 （ ） 中 对 应 的 基 5
2、102 因 此 表 .的 （ ） 中 对 应 的 基 解 84 x 解 *8350416219507,43624185,432.8 BXAC*-1 - 0对 应 的 目 标 函 数 值 为 Z表 （ ） 中 所 对 应 的 检 验 数 行 为 0 1 5 B,05412,41 -= -0-6 5因 而 所 填 数 字 2.9如 表 所 示 。表 2.9BCBXb x1 x2 x3 x4 x5 x6x2 5040 1 0x3 60 0 1x1 8911 0 0Z 7540 0 0 451241例 16 某厂准备生产三种产品 A,B,C,需消耗劳动力和原料两种资源，其有关数据如表 2.15.表 2
3、.15.表 2.15产品 单位消耗资源A B C 资源限量劳动力原料6 3 53 4 545（单位）30（单位）单位利润 3 1 5(1)用单纯形法确定总利润最大的生产计划.(2) 分别求出劳动力和原料的影子的价格.若原料不够,可到市场上购买,市场价格 0.8问是否要购进,最多可购进多少?总利润增加多少?元 单 位（3）当产品 A,C 的单位利润在何范围变化时，最优生产计划不变？（4）劳动力可减少多少而不改变原最优计划？解 (1) 该问题的线性规划模型为 123,max5Zxs.t. 1236430,.x其中 分别为产品 A,B,C 的产量.123用单纯形法迭代的最优表如表 2.16 所示表
4、2.16 jc3150BBxb1x23x45x0543x5613545015Z0j因而最优生产计划为生产 A,B 产品均为 0，生产 C 产品 可使利润最大，最大利润为36x30.(2)劳动力和原料的影子价格分别为 0 和 1.这说明在企业最优安排中 ,劳动里资源没有用完(实际用了 30 个单元),而原料资源已耗尽.若原料市场价格 0.8 影子价格 1元 单 位,因此应适量购进原料扩大生产.元 单 位设购进的原材料数为 ,为保持最优基不变,必须有 ,而2b10Bb=1Bb150243150,6解得 因而最多可购进原料 15 单位，总利润增加23.b.1 22430(,)015()BCb 单 位
5、净利润增加 15-0.8 15=3 单位.（3）产品 A( )在最优方案中是非基变量，设 变化为1x1c1.c则当 （ 为 的检验数） ，即当 时，原最优计划不变.0c13产品 在最优方案中是基变量,设 变化为 ,要使最优计划不变,则所有非基变量3()x3cc检验数应非负,即 10.BCA3 34155(0,)(,0)cc3335,0).c即 433510c因此当产品 C 的单位利润 时，最优计划不变35c（4）设劳动力减少 ，即右边常数列变化为 ，为使最优计划不变，则1b14530b10Bb即 1115450.36b所以 1.b即劳动力可减少 15 单位，原最优计划不变.（实际上减去的是富余
6、劳动力）.例 1 某钻井队要从以下 10 个可供选择的井位中确定 5 个钻井探油，使总的钻探费用为最小。若 10 个井位的代号为 s1,s2,s10,相应的钻探费用为 c1,c2, c10,并且井位选择上要满足下列限制条件：或选择 s1 和 s7，或选择 s8; 1选择了 s3 或 s4 就不能选 s5,或反过来也一样； 2在 s5，s6 ，s7，s8，中最多只能选两个。 3试建立这个问题的整数规划模型。10x2x18.min2,1s.,s5510min0187655487311010876554387811或取 ， 数 规 划 模 型 如 下 ：综 上 所 述 ， 该 问 题 的 整 示 为
7、中 最 多 只 能 选 两 个 可 表在 示 为， 反 过 来 也 一 样 ， 可 表就 不 能 选或选 择 了 可 表 示 为， 或 选 择和或 选 择则 个 探 油定个 可 供 选 择 的 井 位 中 确从约 束 条 件 ：目 标 函 数 为 ， 否 则 井 位， 选 择 钻 探 第解 设 决 策 变 量xtscZxxsxxxcZsjjjij jjjj例 3 某科研项目由三个小组用不同方法独立进行研究，它们失败的概率分别为 0.40,0.60 和0.80 为了减少三个小组都失败的可能性,现决定暂派两名高级科学家参加这一科研项目,把这两个分配到各组后,各小组仍失败的概率如表 4.4 所示,问
8、应如何分派这两各高级科学家以使三个小组都失败的概率最小?表 4.4小 组高级科学家人数1 2 30120.400.200.150.600.400.200.800.500.30解(1)建立动态规划模型按小组数将问题划分 3 个阶段,阶段变量 1,23.k状态变量 表示第 阶段初可用于分配的科学家数,ks 1s决策变量 表示第 阶段分配给第 个小组的高级科学家人数.xk状态转移方程: 1.kksx允许决策集合: ()0,kkDsx 为 整 数阶段指标 ,kusx表 示 第 个 小 组 失 败 的 概 率 .过程指标函数3.(,).kniiVusx因而基本方程采用乘积形式,即 104()mi(,)(
9、)1kkkkxsf fsA (2)采用逆序法求解:当 =3 时, 3330()min(,).kxsfu 因为 (即尚未分配给第 1 和第 2 小组的全部分配给第 3 小组). 计430,sxs所 以算结果如表 4.5 所示.表 4.5 3s3x 3()fs0120120.800.500.30当 =2 时,k 22230()min(,)(xsfufsA 计算结果如表 4.6 所示.表 4.6 223(,)(,)(fsxusfs2s20x12x2x2()fs0120.480.300.180.320.20 0.160020.480.30.0.16当 时,k 111202()min(,)(.xfsus
10、f 计算结果如表 4.7 所示.表 4.7 ()()112,fsxvsfA=s1x1=0 x1=1 x1=2*1x()1fs2 0.064 0.060 0.072 1 0.060由表 4.7 可知 x1*= 1 , = 0.060, 由 s1= 1 查表 4.6 可得 x2*= 0 ; 由 s3= 1 查表 4.5()fs得 x3*=1. 因而此问题的最优解为 x1* = 1, x2*= 0 ，x 3*= 1. 即把两名高级科学家分派到第 1 和第 3 两小组各一名，可使三个小组都失败的概率减小到 0.060.注：此问题还有一种更简捷的解法，将它化为最短路模型.即将各阶段状态作为结点，各小组失
11、败的概率为弧线上的数据，见图 4.1.然后在图上用逆序法计算，计算结果标于图上的方框 内.0.600.15 0.800.400.20 0.60 0.50 0.200.40 0.40 0.300.60图 4.1由图 4.1 可知，整个项目失败的概率为 0.060 ，最优路线为图中双线表示 ，即s1=2s 2=1s 3=1s 4=0，由此同样得出最优解为 x1*=1, x2*=0 ，x 3*=1.S1=20.06S2=10.300.16S2=2S2=00.48S3=20.30S3=10.50S3=00.80S4=0因此,所有一维资源分配（离散型）均可化为最短路问题来求解,在图上用逆序算法求解较简便
12、.6.18 已知如表 6.8 中的资料，求该工程的最低成本日程。表 6.8活动 作业时间（天） 紧前活动正常完成进度的直接费用（百元）赶进度一天所需费用（百元）abcdefgh48635743baaab,de,f,g20301551840101554324736合计 153工程间接费用 5（百元/天）6.19 解 其网络图如图 6.39所示.其中方框内数据表示结点最早时间，三角形框内数据表示结点最晚时间。关键线路为：。方案一：正常进度完工的工程费用：工程费用=153+15*5=22800（元） 。方案二：在方案一中，关键路线是，且由表 6.8 中已知数据费用率(即赶进度一天所需费用)知,min
13、c13,c45,c56=4,3,6=3=c45,为此缩短关键工序 g 一天.工程费用=228+1*3-1*5=22600(元).调整后，关键路线有 3 条： ; ; ，工期为 14天，见图：6.40。在图 6.40中各结点最早时间与最迟时间已相等，因而该项工程的最低成本日程以求出，为14天，方案二为最优方案。 5.12 .3.4 I判 断 下 列 说 法 是 否 正 确（ ） 矩 阵 对 策 中 ， 如 果 最 优 解 要 求 一 个 局 中 人 采 取 纯 策 略 ， 则 另 一 局 中人 也 必 须 采 取 纯 策 略（ ） 矩 阵 对 策 中 当 局 势 达 到 均 衡 时 ， 任 何
14、一 方 单 方 面 改 变 自 己 的 策 略 （纯 策 略 或 混 合 策 略 ） 将 意 味 着 自 己 更 少 的 赢 得 或 更 大 的 损 失（ ） 任 何 矩 阵 对 策 一 定 存 在 混 合 策 略 意 义 下 的 解 ， 并 可 以 通 过 求 解 两 个互 为 对 偶 的 线 性 规 划 问 题 得 到（ ） 矩 阵 对 策 的 对 策 值 相 当 于 进 行 若 干 次 对 策 后 ， 局 中 人 的 平 均 赢 得值 或 局 中 人 的 .平 均 损 失 值5.1 解：（1）错。当一个矩阵对策的鞍点不唯一时，结论不正确。例如：210A 1414图 6.40h11fa 4
15、68 1 3 2 5 6 4 0 0b 8 c 8d34 45e 7 113 88 g3 14 14 62121对 策 的 鞍 点 为 。 因 此 ， 局 中 人 选 择 纯 策 略 ，而 局 中 人 采 取 混 合 策 略 个 以 概 率 选 取 与 。（2） 对。（3） 对。（4） 错。当矩阵对策有唯一的鞍点时，局中人采取纯策略。5. 15ABAB， 两 人 分 别 有 角 、 分 和 分 的 硬 币 各 一 枚 在 双 方 互 不 知 道 的 情 况下 ， 各 出 一 枚 硬 币 ， 并 规 定 当 和 为 奇 数 时 ， 赢 得 所 出 硬 币 ； 当 和 为 偶 数 时， 赢 得 所
16、 出 硬 币 试 据 此 列 出 两 人 零 和 对 策 的 模 型 ， 并 说 明 该 项 游 戏 对 双方 是 否 公 平 合 理5.3 解 为矩 阵其 中 ， PSPS,105,105, B105A 10105即P= 1053221用优超法化简得101P3解得 理该 项 游 戏 对 双 方 公 平 合所 以 ，另 ， 显 然 又 ,01,210X.x.,1,*,*3*13*1 vYyx5.13 234A1）（列 矩 阵 对 策 问 题 ：用 线 性 规 划 方 法 求 解 下 03214)(A11235.3,3,.620.max,ij iji jmaxnimaxvAIWy解 （ ） 因
17、为 所 以将 矩 阵 的 各 元 素 分 别 加 上 ， 得局 中 人 的 先 行 规 划 模 型 为 .85,016.321312 优 单 纯 形 表 为 表为 松 弛 变 量 ， 可 求 得 最以 syt表 5.8YB b y1 y2 y3 s1 s2 s3y1y2y35706 1 0 0 - 59510 1 0 - -60 0 1 - 31039W 1450 0 0 557.950,1324.,max)2(.593106.412074.5531601132最 终 单 纯 形 表 为 表的 先 行 规 划 模 型 为 ：局 中 人对 策 值 为 ，的 最 优 策 略 为局 中 人 ， 的
18、最 优 策 略 为由 此 ， 局 中 人ytsyWIvII表 5.9YB b y1 y2 y3 s1 s2 s3y3y1y2783 0 0 1 -7781 0 0 - 90 1 0 - 32631W 70 0 0 71475378585.2021414.370.2IIv所 以 ， 局 中 人 的 最 优 策 略 为， ， ， ，局 中 人 的 最 优 策 略 为， ， ， ，对 策 值例 2 某电子设备厂对一种元件的需求为 R=2000 件年，订货提前期为零，每次订货费为 25 元.该元件每件成本为 50 元,年存储费为成本的 20%,如发生供应短缺,可在下批货到达时补上,但是缺货损失费为每件
19、每年 30 元.要求: 经济订货批量及全年的总费用； 如不允许发生供应短缺，重新求经济订货批量，并同的结果进行比较.解 k=25，D=2000, =50 20%=10, =30，则1C2= . = 115.21*CkDQ84103.86025),( 21*0 StC = .1*CkDQ10.10252),(1*0 kSt与相比，中的经济订货批量减少了，而全年的总费用增加了。3离散型的报童问题例 3 某商店准备在新年前定购一批挂历批发出售，已知每售出一批（100 本）可获利70 元.如果挂历在新年前售不出去，则每 100 本损失 40 元，根据已往销售经验，该商店售出挂历的数量如表 7.1 所示
20、.问一次订货几百本，使期望的获利数最大？表 7.1销售量(100 本) 1 2 3 4 5 6概率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10解 由公式 ，其中 可得 .)()(*QFhmF,0,7hm3*Q所以一次应定购 300 本 万 元 。收 入万 元 ， 如 果 大 量 出 油 可收 入万 元 ， 如 果 少 量 出 油 可费 用 为 钻 井态 出 现 的 概 率 为石 油 公 司 估 计 ， 三 种 状油 丰 富 ； 油 量 少种 情 况 ： 无 油钻 井 ， 结 果 可 能 出 现 三某 石 油 公 司 考 虑 在 某 地例 27127 .20)(,3.)(,5.0
21、)().s( 13 1spssp.48).()( ),(32 1所 列如 表构 造 与 油 井 出 油 的 关 系根 据 过 去 的 经 验 ， 地 质和 构 造 良 好 构 造 一 般差勘 探 结 果 可 能 是 构 造 较造 情 况 ， 可 进 行 勘 探 ，为 了 进 一 步 了 解 地 质 构xx x表 8.4 |ijQp1x构 造 较 差 2x构 造 一 般 3x构 造 良 好321s油 丰 富油 少 量无 油 .036. 4.03. 5.01.如果勘探费用需 1 万元，问（1）应先勘探还是直接钻井， （2）应该怎样根据勘探结果来决定是否钻井？解 益 矩 阵 为表 示 “不 钻 井
22、”， 则 收表 示 钻 井 ，用 21aa321s0572aQ并求得： .0482195.73.01)|( ,21953.)(| ,7.06)(|()|( ,24.35.041 ,35.024.3.5)(|()( ,1.6.|321133221 xspxpsxspspxpj jjj jj同理有.41670)|(,375.)|(,.)|( ,282632312 xspxspxs时 ：于 是 勘 探 结 果 为.0,48.3max,ax0 ,8219.7.)|(21*2111 ddspqjj故，不钻井为最优选择时 ：勘 探 结 果 为 2.28530,.max,ax,)|(,285.36.04.4
23、6.721*1211 ddspqjjjj故，钻井为最优选择。时 ：勘 探 结 果 为 3,7509.8416.02375.208.7)|(11 xspqdjj 表 的 概 率 如 表 所 示 。预 测 到 每 月 各 种 销 售 量积 压 一 件 要 损 失 四 元 ， 果 不 能 售 出 ， 每售 一 件 可 获 利 十 元 ， 如产 某 种 时 令 产 品 ， 每 销 例 一 个 工 厂 生 的 前 段 。的 回 答 在据 勘 探 结 果 对 钻 井 与 否 应 先 行 勘 探 。值并 没 有 超 过 样 本 信 息 价元 万息 进 行 的 勘 探 费 用 为 一该 公 司 为 获 取 这
24、 些 新 信万 元样 本 信 息 价 值 为 因 此 的 定 义 有 ：据 样 本 信 息 期 望 值 故 ， 钻 井 为 最 优 选 择 。 . )1()2(, .5021.,3 )2.03.5.07(24.7509.83.4 )max)|(max)1( .75098,.a,a,0)|(21*132 jijikjijkjj spqspqpEVSIIddxspq日销售量（件） 10000（s1 ） 20000(s2) 30000(s3) 40000(s4)销售概率 0.15 0.30 0.35 0.20又企业的月最大生产能力为 40000件，且通过调查知各种销售量状态下销路好与不好的概率如表
25、8.6所示。X s 10000(s1) 20000(s2) 30000(s3) 40000(s4)销路好 0.3 0.5 0.7 0.8销路不好 0.7 0.5 0.3 0.2X为销路，s 为销量。(1)试求 EVPI.(2)求在调查结果销路好与不好的生产方案。(3)试求 EVSI. 的 单 位 为 万 元 。其 中 收 益 矩 阵 中 收 益 矩 阵 为则 表 示 销 售 量表 示 销 路 不 好 ，表 示 销 路 好 ，件 ，表 示 生 产用解 ij ii qQspspspsxxiia 40 26 1 23 0 61 .20)(,5.0)(,.)(,15.)(,4321(0432,0 43
26、22 .10265.01375.026.10)|(|3.48.,495.8,max| ,138.24670260712.3.|, 267.048.205.07.6)|(|,10 .11.)|(| .0)|(,265.0)|( ,37526.|,48.| .50.3)(|)|( ,7.6.1)(|(|.40 2.035.0.51.07)(|()(,6. .8.73|)2( 446.1 .621.0,9.17,max)(ax)(2620.435.0.015.)()(max)(ax)1(22114131221243111212112211 432xspqxddxspqxd xspxspxpsxsps
27、pxpEVPI dspq spqspqEVPIjijjjjjjjjjjijijijijjijijijij时 ： 在 信 息 为 销 路 不 好万 件 为 最 优 方 案 。故 ， 生 产 ： 在 信 息 为 销 路 好 时 同 理 有 ： 于 是 由 已 知 有 ： 万 元 。付获 得 完 全 信 息 ， 可 以 支 这 意 味 着 工 厂 为 了故 ，万 元 有 据 完 全 信 息 期 望 值 值 得 的 。万 元 ， 则 此 项 调 查 是 不少 于 查 费 用 不， 如 果 工 厂 进 行 销 路 调万 元为这 说 明 样 本 信 息 的 价 值 万 元据 样 本 信 息 期 望 值 有
28、万 件 为 最 优 方 案 。故 ， 生 产于 是同 理 可 求 6920.4)(4692.0 )(4692.01.57318. max)|()max( )3(4 .57318.417,325.6,0a |,|x| .|,.|,.1| 243124 24232 jijikjijk spqspqpEVSI xdxdd例 3 某电话亭有一部电话，来打电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达的平均时间为 10 分钟，通话时间服从指数分布，平均数为 3 分钟，求（1） 顾客到达电话亭要等待的概率（2） 等待打电话的平均顾客数（3） 当一个顾客至少要等 3 分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问
29、到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的？（4） 打一次电话要等 10 分钟以上的概率是多少？（5） 第二台电话机安装后，故可的平均等待时间是多少？解 ,2C.M2)5(.03.3e.0edx)()1T(P .T4)/(6.3).031W)3( ).(1.3.0L)2( 3.0)(P)n(1nP.310)/(0.3/)/(0.1M0.1)-(x(1q2q 0 此 时 ，台 电 话 后 ， 系 统 为装 了 第分 顾 客 的 逗 留 时 间打 一 次 电 话 的 时 间 即 为分人从 而 ， ， 由 题 意 知率到 达 速 度 即 为 平 均 到 达 人数等 待 用 电 话 的 平 均 顾
30、 客率 为顾 客 到 达 必 须 等 待 的 概 于 是，分人 ，分人队 系 统 ， 且， 客 源 、 容 量 不 限 的 排模 型 为在 装 两 台 没 电 话 机 前 ， .415069.)(.74.0230.15)-(. P!CW.7401.023.13.0!C1!nPq 1211-C0 秒分 ， 即平 均 等 待 时 间 为即 加 装 一 台 电 话 机 后 ， 分 例 4 某航运局拟自己建设 1 个港口，据资料知货船按泊松流到达，平均每小时到达 21 条，卸货时间服从负指数分布，平均卸货时间为 2 分钟。每条船的售价 8 万元，每建设 1 个泊位需投资 12 万元，试问建设多少个泊位
31、合理？解 为此 时 ， 泊 位 空 闲 的 概 率知时 ， 则 由如 果 条数 为所 以 系 统 内 货 船 的 平 均 为此 时 ， 泊 位 空 闲 的 概 率 知则 由如 果 条系 统 内 货 船 的 平 均 数 为 ， 即 泊 位 空 闲 的 概 率 为知， 则 由如 果 小 时条小 时 ，条由 题 设 知 为 多 少 才 合 理且 关 心 的 是问 题 ，的 源 、 容 量 不 限 的 排 队此 问 题 可 看 成 是 0.2313M3C() ).79(.48.50.)-2(1L 48.03.17.!.1P .3521M,2C)( )(.307-1L .21P 0.73/M1C)(/2
32、 .C2s 120s10 【例 11】2120.698.7 12.871 331 21.824.4.02 60163L2).(73.0!3L.407.49.71 13!C!2C1P sss 2330为 运 局 合 理 拟 建 的 泊 位 数万 元 要 低 很 多 。 故 该 航万 元 ， 这 比 成 本为 生 的 效 益万 元 增 加 一 个 泊 位 所 产条 ， 这 意 味 着 投 资平 均 数 多 个 泊 位 的 货 船 的与个 泊 位 时 货 船 的 平 均 数个 泊 位 时 ， 则个 好 。 而 建 设比 建 设 个， 故 建 设因万 元 的 运 输 设 备万 元 的 投 资 可 产
33、生于 条 货 船 ， 相 当， 此 意 味 着 可 平 均 增 加多个 泊 位 的比个 泊 位 的由 于 条系 统 内 货 船 的 平 均 数 为 用线性规划方法求解下列对策问题。31)(a085124)(b9127435)(c【解】 (a)此问题无鞍点，支付矩阵无法用优势原则简化，对策双方各拥有 3 个策略，故用线性规划方法求解。将矩阵中各元素，分别加上 3（以消除原有的负值） ，得064152设 A 分别为以 的概率混合使用 ，B 分别以 的概率321x、 321a、 321y、混合使用 ，则求 A 最优策略的线性规划问题为321b、321min1xvL：3,21,0546 jxxj求 B
34、 的最优策略的线性规划问题为ma2yvL：3,21,065 1341iyy是互为对偶的一对线性规划问题。用单纯形法求解 ,最终单纯形表为表 12.11。21L与 2L表 12.111y23y45y63942y67851yjzc0 0 0 132392故有 740,7,49,127321 vyvyvyv。73y由对偶问题的性质知， ,2491,1,9,932321 vxvxx443,2421 vvvx因此， 24671),720,(),( YX（c）支付矩阵的第 4 列劣于第 1 列，故它可化简为54简化后的矩阵无鞍点，两个局中人各有 3 个策略，故用线性规划方法求解。矩阵中每个数都加上 5，以消除其中的负数，得6410297设 A 分别为以 的概率使用 ，B 分别以 的321x、 32a、 04321yy、概率使用 ，则求 A 最优策略的线性规划问题为4321b、321min1xvL：3,21,064972 jxxxj同样可得出求 B 的最优策略的线性规划问题为ma2yvL：
