1、中科院课程硕士课程抽象代数Abstract Algebra课程编号： S070100J01 课程属性： 学科基础课 学时/学分：80/4预修课程： 高等数学、线性代数、点集拓扑、最好具有大学抽象代数基础（主要是群论）教学目的和要求:本课程是硕士生和博士生的基本课程之一，是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课，对准备从事代数各有关方向研究工作的学生亦甚适宜，其他方向的学生也可通过此课程获得代数方面的基本训练、常识或修养。内容包括群论、域论、伽罗华理论和初等的交换环理论等。内容提要:第一章 群论群；同态；表示的概念；交错群的单性；直和与直积
2、；有限生成阿贝尔群的结构；带算子的群；同构定理与分解定理；Sylow 子群；群论的应用简介。第二章 环环与域；同态与理想；模；线性代数；多项式环；微分与重零点。第三章 域论素体；域扩张；单位根；伽罗华域（有限域） ；本原元素定理（有限扩张的单纯性） ；无限域的扩张。第四章 伽罗华理论 伽罗华群；正规扩域；伽罗华扩张；伽罗华理论的基本定理；伽罗华理论的经典应用。第五章 整性整元与整扩张；整闭性；理想与整扩张。 第六章 诺特环诺特环与阿廷环；零点定理；整闭包的有限性；戴德金环；模的准素分解。主要参考书：1. 冯克勤，李尚志，查建国， 近世代数引论 ，科大出版社，北京，1988。2. S.Lang，
3、 Algebra ,second edition， Addison-Wesley，1984.3. 李克正， 交换代数与同调代数 ，科学出版社，北京，1999。撰写人： 李克正(中国科学院研究生院)撰写日期： 2001 年 09 日代数拓扑Algebraic Topology课程编号： S070100J03 课程属性： 学科基础课 学时/学分：80/4预修课程： 群论、线性代数教学目的和要求:本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课，同时也可作为相关专业研究生的选修课。拓扑学与代数学、分析学共同组成现代数学的基础。拓扑学的结果和方法不仅影响到各种各样的数学分支，而且在物理学、经济学等许
4、多自然科学与社会科学领域都有着广泛的应用。代数拓扑学的目的时提供研究拓扑问题的代数方法，包括各种代数不变量的构造与计算方法，其中最主要的有同调群与同伦群。本课程将介绍这一学科的基本知识，核心内容为单纯复形与 CW 复形、基本群与同调群。希望通过本课程的学习，学生能掌握代数拓扑的基本概念，对代数拓扑解决问题的方法有所了解，为进一步学习现代数学和从事各种专业研究打下基础。内容提要:第一章 同伦与单纯复形映射与空间的同伦等价；单形与单纯复形；重心重分与单纯逼近定理；Brouwer 不动点定理。第二章 基本群与复盖空间基本群及计算方法；Seifert-van Kampen 定理；二维流形的分类；复盖空
5、间的定义、存在性与分类。第三章 同调群单纯同调群；奇异同调群；一般系数同调群；长正合同调列；Mayer-Vietoris 序列；球面同调群及几何应用；Lefschetz 不动点定理；CW 复形及其同调群。第四章 上同调与对偶定理上同调群；正合上同调列；上同调环；Poincare 对偶定理；Alexander 对偶定理；Lefschetz 对偶定理。主要参考书：1Maunder, C.R.F.，Algebraic Topology， Cambridge University Press， Cambridge， 1980.2Rotman, J.J.，An Introduction to Algeb
6、raic Topology, GTM 119， Springer-Verlag， New York， 1988.3Massey, W.S.，A Basic Course in Algebraic Topology, GTM 127， Springer-Verlag， New York， 1991.撰写人： 余建明(数学与系统科学研究院)撰写日期： 2001 年 10 日李群和李代数Lie Groups and Lie Algebras课程编号： S070100J02 课程属性： 学科基础课 学时/学分：80/4预修课程： 线性代数、近世代数教学目的和要求:本课程为数学学科的博士和硕士研究生的学
7、科基础课，也可以作为理论物理专业的研究生的选修课。李群在数学的许多分支以及理论物理中有着广泛的应用。李代数作为李群的代数工具，更是不可缺少的。本课程着重讨论复半单李代数的分类及表示。内容提要:第一章 李代数的基本概念定义；理想和同态；可解李代数和幂零李代数。第二章 半单李代数 李定理和 Cartan 定理；Killing 型；Weyl 完全可约性定理；sl (2.c ) 的有限维表示；根空间分解。 第三章 根系 抽象根系和单根系；Weyl 群；根系的分类；根系与自同构；权的抽象理论。第四章 同构定理与共轭定理同构定理；共轭定理。第五章 存在定理通用包络代数；PBW 定理；生成元与定理关系。第六
8、章 表示理论有限维表示；基础表示与初等表示；旋表示；表示的Freudeuthal 公式；特征标理论；Weyl 公式；Kostant 公式和 Steinberg 公式。第七章 李群与李代数指数映射；伴随表示；李群与李代数。主要参考书：1. J,E.Humphreys，Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GTM 9， Springer-Verlag，1972.2. 万哲先， 李代数 ，科学出版社，北京，1974。3. F,W.Warner，Foundations of Differentiable Manifolds an
9、d Lie Groups, GTM 94， Springer-Verlag， 1983.撰写人： 周善有(中国科学院研究生院)撰写日期： 2001 年 09 日微分流形Differentiable Manifolds课程编号： S070100J04 课程属性： 学科基础课 学时/学分：80/4预修课程： 高等数学、线性代数、曲线和曲面论、点集拓扑教学目的和要求:本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技
10、巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚实基础。内容提要:第一章 欧氏空间欧氏空间的基本性质；欧氏空间的映射与微分；逆映射定理；秩定理；隐映射定理。第二章 微分流形拓扑流形；微分流形；切空间；切映射；子流形；向量场；可积性定理；单位分解；紧流形的嵌入。第三章 张量代数向量空间和对偶空间；张量代数；对称和反称张量；外代数。第四章 外微分形式余切空间和线性微分式；张量场；黎曼度量；外微分形式。第五章 流形上的积分和 Stokes 定理流形的定向；外微分形式的积分；带边流形和诱导定向；Stokes 定理及其应用。第六章 李群初步线性群；李群和李代数；李群的同态；李子群；指数映射；
11、共轭表示。主要参考书：1. Warner, F.W.，Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM Vol.94， Springer-Verlag and China Academic Publishers， Beijing，1983.2. 陈省身，陈维桓， 微分几何讲义 ，北京大学出版社，北京，1983。撰写人： 彭家贵(中国科学院研究生院)撰写日期： 2001 年 08 日黎曼曲面Riemann Surfaces课程编号： S070100J05 课程属性： 学科基础课 学时/学分：80/4预修课程： 点集拓扑学、复变
12、函数教学目的和要求:本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。黎曼曲面是现代数学许多重要领域如复几何、李群、代数数论、调和分析和拓扑学的交叉点。黎曼曲面的发展包含拓扑部分、代数部分以及分析部分。通过本课程的学习，希望学生初步掌握黎曼曲面的基本概念、方法和技巧。内容提要:第一章 黎曼曲面的拓扑学黎曼曲面的定义；同调群、复迭空间与 Riemann-Hurwitz 定理；微分形式及其积分。第二章 存在性定理Hilbert 空间理论；Weyl 引理；平方可积的微分、调和微分；亚纯函数与亚纯微分。第三章 紧致黎曼曲面相交理论；调和微分与解析微分；Riemann-Roch 定理；Riemann-
13、Roch 定理的应用；Abel 定理与 Jacobi 逆问题。主要参考书：1. H.M.Farkas， I.Kra，Riemann Surfaces, GTM Vol.71， Springer-Verlag， 1980.2. L.V.Ahlfors，L.Sario，Riemann Surfaces， Princeton， 1960.撰写人： 唐梓洲(清华大学)撰写日期： 2001 年 08 日微分几何Differential Geometry课程编号： S070100J06 课程属性： 学科基础课 学时/学分：80/4预修课程： 高等数学、线性代数、曲线和曲面论、点集拓扑教学目的和要求:本课程
14、为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课，同时也可作为理论物理等相关专业研究生的选修课。近代微分几何的范围很广，本课程主要介绍微分流形的基本理论，黎曼流形，Lorentz 流形，辛流形和复流形的几何学。通过本课程的学习，希望学生能掌握近代微分几何的基本概念和基本技巧，对微分几何的近代发展有所了解，为进一步学习现代数学和从事专业研究打下基础。内容提要:第一章 微分流形向量空间和对偶向量空间；张量积和张量代数；外代数；微分流形；单位分解定理；浸入和淹没；子流形；分布和可积性定理；流形的定向；Stokes 定理及其应用。第二章 联络和曲率仿射联络；Rn 及子流形上的联络；流形上的仿射联络；挠率和
15、曲率；黎曼度量；黎曼联络；协变微分；Laplace 算子；黎曼曲率；常曲率空间；黎曼几何基本定理。第三章 测地线及其应用测地线；指数映射；法坐标；弧长的一阶变分公式；完备性。第四章 Lorentz 流形Lorentz 度量；Lorentz 联络；测地线；完备性；Lorentz 空间形式。第五章 辛几何辛形式；辛空间；正交性；Lagrange 子空间；辛群；辛流形；Darboux 定理；辛坐标；Hamilton 向量场；Lagrange 子流形。第六章 复流形近复流形；复流形；Hermite 度量；Kahler 度量；全纯截曲率；复空间形；Kahler 子流形。教材：陈省身等， 微分几何讲义 ，
16、北京大学出版社，北京，1983。主要参考书：1. J.柯歇尔，邹异明， 辛几何引论 ，科学出版社，北京，1999。2. Kobayashi, S. and Nomizu, K.，Foundations of Differential Geometry, Vol.1,2， Interscience Publishers， New York， 1969.撰写人： 肖良(中国科学院研究生院)撰写日期： 2001 年 10 日交换代数与同调代数Commutative Algebra and Homological Algebra课程编号： S070101J03 课程属性： 专业基础课 学时/学分：80
17、/4预修课程： 抽象代数教学目的和要求:本课程是准备从事代数各有关方向研究工作的硕士生和博士生的一门基础课，也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所需要的预备知识。内容包括初等交换代数、多重线性代数、同调代数基础和硬交换代数的基本理论等。通过本课程的学习，希望学生能掌握交换代数和同调代数的有力工具。内容提要:第一章 交换环与模基本概念；整性；诺特环与阿廷环；诺特环与整性；准素分解。第二章 多重线性代数张量积；张量代数；平坦性。第三章 初等交换代数代数集；分次环；形式完备化；维数理论。第四章 同调代数基础范畴；阿贝尔范畴；复形的同调；导出函子；扩张；谱序
18、列；张量函子的同调。第五章 硬交换代数基础深度；科恩-麦考莱环；正则环；正规环；微分；光滑性。教材：李克正， 交换代数与同调代数 ，科学出版社，北京，1998。主要参考书：1. Matsumura，Commutative Algebra， W.A. Benjamin Co.， ，1970.2. S.Lang，Algebra， second edition，Addison- Wesley， ，1984.3. N. Bourbaki， Algbre Commutative, Elments de Math. 27, 28, 30, 31， Hermann，1961-1965.撰写人： 李克正(中国
19、科学院研究生院)撰写日期： 2001 年 09 日代数几何Algebraic Geometry课程编号： S070101J04 课程属性： 专业基础课 学时/学分：60/3预修课程： 抽象代数、交换代数与同调代数、若具代数拓扑、微分流形、黎曼曲面或微分几何等方面的基础则更佳教学目的和要求:本课程是代数几何的一个导引，对代数几何的背景、问题、概念和方法作若干介绍，可以作为深入学习代数几何的开端，也是代数数论、交换代数等基础数学方向及计算代数、编码等应用数学方向的研究所需要的一门基础课，其他研究方向的学生也可通过此课程获得代数几何方面的常识或修养。本课程完全采用代数方法，内容包括射影空间、层、相交
20、数、代数曲线及对分类学与参量空间的初步介绍等。内容提要:第一章 代数集代数子集与察里斯基拓扑；代数映射；谱的概念。第二章 射影空间齐次坐标与代数子集；态射；有理映射；层的概念。第三章 平坦性与光滑性平坦性；除子；相交数；微分与光滑性。第四章 代数曲线研究曲线的几个代数方法；黎曼-罗赫定理；椭圆曲线。第五章 分类与参量空间分类学的一些基本概念；格拉斯曼空间与希尔伯特概形；一些重要的参量空间。教材：李克正， 代数几何初步 ，南京大学出版社，南京，2001。主要参考书：1. R. Hartshorne， Algebraic Geometry， GTM 52， Springer-Verlag，1977
21、.(冯克勤等译， 代数几何 ， 科学出版社，1994。)2. 李克正,交换代数与同调代数,科学出版社,1998。3. 上野健尔,代数几何入门, 岩波书店,1995。撰写人： 李克正(中国科学院研究生院)撰写日期： 2001 年 09 日算术代数几何Arithmetic Algebraic Geometry课程编号： S070101J05 课程属性： 专业基础课 学时/学分：60/3预修课程： 抽象代数、交换代数与同调代数（代数拓扑、微分流形、黎曼曲面、微分几何）教学目的和要求:算术代数几何是以数论为目的或背景的代数几何，是一个多学科交叉的分支。本课程是算术代数几何的一个导引，对算术代数几何的背
22、景、问题、概念和方法作若干介绍，虽远非全面，但力求引进一些现代普遍采用的重要概念和方法。本课程可以作为深入学习代数几何与/或代数数论的一个开端，若干有关研究方向 (如编码等应用数学方向) 的学生亦可由此获得所需要的算术代数几何方面的基础知识，其他研究方向的学生也可通过此课程获得算术代数几何方面的常识或修养。本课程内容包括丢番都方程，代数簇，局部理论，整体理论，算术曲线，Weil 猜想等。内容提要:第一章 代数集丢番都方程与代数簇代数子集与察里斯基拓扑；代数映射；谱的概念数域与函数域；丢番都方程；代数簇；射影空间；层的概念。第二章 局部理论阿基米德域；黎曼 zeta 函数；p-进数；有限扩张；特
23、征标。第三章 整体理论adele 与 idele；哈尔测度；普哇松和；函数方程。第四章 代数曲线切层与对偶层；黎曼-罗赫定理；赫尔维茨定理；椭圆曲线初步。第五章 Weil 猜想算术簇的 L-函数；Weil 猜想；有限域上曲线的 Weil 定理；广义黎曼猜想简介。主要参考书：1. R. Hartshorne， Algebraic Geometry， GTM 52， Springer-Verlag，1977.(冯克勤等译， 代数几何 ， 科学出版社，1994。)2. A. Weil，Basic Number Theory， Springer， 1967.3. J.-P. Serre, Local
24、Fields, Springer-Verlag， 1979.撰写人： 李克正(中国科学院研究生院)撰写日期： 2001 年 10 日黎曼几何Riemannian Geometry课程编号： S070101J07 课程属性： 专业基础课 学时/学分：60/3预修课程： 微分流形、微分几何教学目的和要求:本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的专业基础课。同时也可作为理论物理等相关专业研究生的选修课。本课程讲授黎曼几何的基本知识。通过本课程的学习，希望学生能掌握黎曼几何的基本概念、方法和技巧，为进一步从事现代数学的研究打下基础。内容提要:第一章 黎曼流形微分流形；黎曼度量；仿射联络；挠率和曲率；黎
25、曼联络；协变微分；Laplace 算子；黎曼几何基本定理；黎曼曲率；常曲率空间；Einstein 流形；Ricci 恒等式。第二章 测地线测地线；指数映射；法坐标；完备性；Hopf-Rinow 定理；弧长的二阶变分公式；Jacobi 场；共轭点；曲率和拓扑；比较定理。第三章 黎曼子流形子流形基本方程；常曲率空间的子流形；超曲面的基本公式；欧氏空间的超曲面；极小子流形；体积变分公式；欧氏空间的极小子流形；球面的极小子流形。第四章 调和映射能量密度；能量；张力场；调和映射；全测地映射；Gauss 映射的调和性。第五章 Gauss-Bonnet-Chern 定理向量场的奇点；Hopf 定理；不变多项
26、式；Euler 示性类；Gauss-Bonnet-Chern 定理。第六章 Finsler 几何Minkowski 空间；Finsler 度量；Hilbert 形式；Chern 联络；Cartan 张量；旗曲率；测地线。教材：白正国等， 黎曼几何初步 ，高等教育出版社，北京，1992。主要参考书：1. 陈省身等， 微分几何讲义 ，北京大学出版社，北京，1983。2. Kobayashi, S., Nomizu, K.，Foundations of Differential Geometry, Vol.1,2， Interscience Publishers， New York， 1969. 3. Spivak, M.，A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1-5， Publish or Perish. Inc.， Berkeley，1979.撰写人： 肖良(中国科学院研究生院)撰写日期： 2001 年 10 日
