1、皮克公式在中考中的出现和应用奥地利数学家皮克（Georg Pick，18591943）发现了一个计算正方形点阵中格点多边形面积的公式： ，其中 n 表示多边形内部的点数，x 表示多边形边界上的点数熟悉这个公式的人不12xS多，但是还是被中考命题者挖掘来作为中考命题的内容用这个公式来求格点多边形面积是非常方便的首先来探究这个公式是怎么来的？例 1 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形设格点多边形的面积为 S，它各边上格点的个数和为 x（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关
2、系如下表，请写出 S 与 x 之间的关系式答： 。_多边形的序号 多边形的面积 S 2 2.5 3 4 各边上格点的个数和 4 5 6 8 （2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有 2 格点此时所画的各个多边形的面积 S 与它各边上格点的个数和 x 之间的关系式是： 。_S（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有 n 个格点时，猜想 S 与 x 有怎样的关系？答： （江苏省常州市 2004 年中考试题）_分析 皮克公式的证明是采用特殊到一般的方法，考查学生推理的能力本题是按多边形内部的点来分情况深究的（1）当多边形内部的点数为 1 时，本题第一问画出了四个不同的图形，并
3、且列表给出相应的数据，因此学生容易得出 S 与 x 之间的关系式： 。xS2（2）当多边形内部的点数为 2 时，本题第二间要求画出一些图形，再得出 S 与 x 之间的关系式这时可以仿照第一问，画出上面的图形并且列出下面的表格多边形的序号 多边形的面积 S 3 3.5 4 5 各边上格点的个数和 x 4 5 6 8 学生也容易得出 S 与 x 之间的关系式： 。12xS（3）当多边形内部的点数为 n 时，本题第三问猜想一般的关系式这时也可以研究当多边形内部的点数为 3、4、5 等的情况，再去探究出一般式由上述的几种特殊情况可以看出随着格点多边形内部的点数的增加 是不变化的，面积逐步增加 1，由此
4、可以猜想 S 与 x 之间的关系式是：x21因此得出皮克公式nS下面再来看皮克公式在中考试题中的应用例 2 如图，已知图中每个小方格的边长为 1，则点 C 到 AB 所在直线的距离等于_ （浙江省湖州市 2004 年中考试题）分析 此题若直接求距离难度较大可以通过求 的面积，进而求出高连结 AC、 BC 后，由ABC皮克公式可知 ，又因为4132ABCS。所以点 C 到 AB 所在直线的距离等于 。51042,10ABShCAB 5104例 3 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，A 、 B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点 C 也在小方格的顶点上，且以 A、 B、
5、C 为顶点的三角形的面积为 1 个平方单位，则点C 的个数为（ ） （黑龙江省 年中考试题）（A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个分析 由皮克公式可知： ，因为 是整数，又因为 ，所以12nxSABCnx, 2x因此这个三角形 ABC 内部没有格点，三边上共有 4 个格点又因为已有了两点 A、 B，因0,4nx此三角形边上还有两个格点，则有 AC 和 BC 边上，一边上有三个格点，另一边上有两个格点因此在过 A、 B 两点的水平和竖直线上易得点 C有图中的 6 个 ，因此答案选择（D ） ),(654321C例 4 已知右边方格纸中的每个小方格是边长为 1 的正方形，A 、 B
6、 两点在小方格的顶点上，位置如图所示请在小方格的顶点上确定一点 C，连结 AB、 AC、 BC，使 的面积为 2 个平方单位 （江C西省 2003 年中考试题）分析 由皮克公式可知： 。因为 是整数，又因为 ，所以 或21nxSABCnx, 2x14nx。06nx当 时，三角形 ABC 内部有一个格点，三边上共有 4 个格点又因为已有了两点 A、 B，因此14三角形边上还有两个格点，则有 AC 和 BC 边上，一边上有三个格点，另一边上有两个格点。因此在过A、 B 两点的竖直线上易得点 C 有图中的 4 个位置 ),(4321C当 时，三角形 ABC 内部没有格点，三边上共有 6 个格点，此时
7、，在过点 B 的水平线上易得06nx点 C 有一个（ ） 因此本题共有符合条件的点 5 个，学生只要作出一个就行5例 5 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形点 A、 B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点） ，在这个 55 的方格纸中，找出格点 C 使 的面积为 2 个平方单位，则满足条件的格点 C 的个数是（ ） （A）5 （B）4 （C） 3 （D）2（重庆市 2004 年中考题）分析 由皮克公式可知： ，因为这时三角形 是整数，又因为 ，所21nxSABC nx, 2x以 或 。14nx06当 时，这时三角形 ABC 内部有一个格点，三边上共有 4 个格点、又因为已有了两点 A、 B，14nx因此三角形边上还有两个格点，则有 AC 和 BC 边上，一边上有三个格点，另一边上有两个格点因此在过 A、 B 两点的水平直线上易得点 C 有图中的 3 个 位置),(321C当 时，三角形 ABC 内部没有格点，三边上共有 6 个格点，此时，在过点 A 的竖直线上易得06nx点 C 有一个（ ） 在过点 A 的斜线上点 C 有一个（ ） ，因此答案选择（A ） 4 5值得强调的是，本题中的点 学生若不知道皮克公式，是很难把它找出来的5
