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北大高等代数2-22.doc

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资源描述

1、第二学期第二十二次课3 实系数多项式根的分布9.3.1 复系数多项式的根的绝对值的上界命题 设 ,其中 而 。令10() Cnnfxaxax 0a1n12m|,|,|nA则对 的任一复根 ,有 。()f0|/证明 如果 ,则 ,命题成立。下面设 。00A如果 ,那么,因为 ,故有|1/|a()f110|(|)()/() n nnnnaaA 现在 ,故从上式立刻得到|1n0|/(|1)nna两边消去 ,得 ,矛盾。|n|/由该命题,我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为:。00(1/|,/|)Aa9.3.2 斯图姆定理名词 给定实数序列 12,na将其中等于零的项划掉,对剩下的序列从左至

2、右依次观察,如果相邻两数异号,则成为一个变号;变号的总数称为该序列的变号数。又给定实系数多项式的序列(1)12(),()nfxfx对 ,实系数序列 的变号数称为多项式序列(1)在 处的Raaa xa变号数,记作 。相应地,我们把 称为多项式序列(1)的变号数函数。()W()W定义 9.14 (斯图姆序列) 现设 是一个次数 的无重根的实系数多项式。 fx1n实系数多项式序列(2)012(),(),()sfxfff如果满足下列条件:(i) 相邻两个多项式 没有公共根;1(),(0,1)iif(ii) 最后一个多项式 没有实根;sx(iii ) 如果某个相邻中间多项式 有一个实根 ,则()1)if

3、xis;1()0iif(iv) 如果 是 的实根,则 在 的一个充分小的邻域内为递增()fx1()f函数,则称序列(2)为 的一个斯图姆序列。()f定理(斯图姆定理)设 是一个无重根的实系数多项式,它有一个斯图姆序列(2) 。()fx以 表(2)的变号数函数。设 是两个实数,它们不是 的根,且 ,则()Wx,ab()fxab在区间 内实根的个数等于 。f,)ab()W证明 将斯图姆序列(2)中各个多项式的实根通通收集在一起,并按大小依次排列如下: 。1k因为在区间 内(2)中任一多项式都无实根,11(,),(,2.1),()i kaa因而它们在这些区间内都不变号。于是,在这些区间内, 为常数。

4、下面我们只要证(x明:1) 如果 不是 的根,则在 左右两边 的函数值相等;ia()fxia()W2) 如果 是 的根,则在 左端 的函数值比 右端 的函数值大i ixia()x1。对每个 ,我们来考察斯图姆序列(2)中如下两种类型的小段:ia(a) 不是(2)中 个连续多项式i t(3)12(),()jjjtfxffx的根 ,由于实系数多项式为数轴上的连续函数,按连续函数的性质知,在 的一个()t ia邻域 内(3)中每个多项式都不变号,从而在此小邻域内(3)的变号数函数,iia为常数。(b) 是(3)中间某个多项式 的根,考察(3)的小段i ()0)jfxjs(4)11,(jjjf按斯图姆

5、序列的条件(i)和(iii) ,此时 不是 的根,且ia1)(jjxf和1()0jijifaf有连续函数的性质知,在 的一个邻域 内恒有 ,于是i(,)ii1()0jjfx在此邻域内(4)的变号函数恒等于 1,也是常数。现设 不是 的根。这时序列(2)中任意两个相邻多项式 或属于ia()fx 11()jjff和类型(3)的小段,或属于类型(4)的小段,又由斯图姆序列的条件(i)知这两类型的小段无重迭(但左端或右端的多项式可以相同) ,根据上面(a) 、 (b)的讨论在每个小段变号数函数在邻域 内都是常数, (2)的变号数函数为每个小段变号数函数之和,(,)iia从而在 的邻域 内 为常数,即

6、左端与 右端 的函数值相等。iii()Wxiai()Wx如果 为 的根。这时序列(2)中仅有 不属于上述(3) (4)类型,i()fx 1(),fx故只需考察序列 的变号数在 左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件1,fi(iv) ,乘积 在 的某邻域 内为增函数。我们已知()fia(,)iia,故在 左端 异号,即有一个变号,而在 的右端1()0iifai1),fx ia同号,即无变号。现在不管 是不是(2)中某个多项式的根,根据上一段的,x i讨论,它们对邻域 内 的值没有影响。由此知此时 左端 的值比(,)iia(Wi()Wx右端的大 1。现在让 从 向 运动,每经过 的一个实根时,

7、的函数值减 1,在其他情xb()fx()x况下 的值不变。故在 内 的实根个数为 。()W(,aab9.3.3 斯图姆序列的构造方法设 是一个无重根的实系数多项式,取()fx。以 除 ,得01,()deg()1ffxfx设 1()fx0f0111,()()deg()qrrf或如 ,过程到此结束。否则,取 ,再用 去除 ,得1()0rx2fx2x1()f122()(),0deg().fqrrf或如 ,过程到此结束。否则,取 ,再用 去除 , ,经2()0rx32()fx3x2()f过若干步后,我们有 1()()ssfqf我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是 的一个斯图姆序列。x如果 是一个有重根的实系数多项式序列,设其素因式标准分解式为()fx10()()()rkkfxap这时我们仅需研究 的实根分布就可以了。1()rfp

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