1、1两类函数图象对称问题函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。定理 1 若函数 y=f(x) 对定义域中任意 x 均有 f(a+x)=f(b-x)，则函数 y=f(x)的图象关于直线对称。2abx定理 2 若函数 y=f(x)对定义域中任意 x 均有 f(x+a)+f(b-x)+c=0，则函数 y=f(x)的图象关于点 成中心对称图形。(,)c定理 3 函数 y=f(a+x)与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 对称。2bax特别地，当 a=-b 时，函数 y=f(-b+x)与函数 y=f(b-x)的图象关于直线
2、 x=b 对称。定理 4 函数 与函数 的图象关于直线 对称()yfax()yfbx证明： , ()af()()bff所以 ，将函数 的图象向左平移 个单位得 的图象;将函数yx|yax的图象向右平移 个单位得函数 的图象,而 与()yfx|b()yfbx()f的图象关于 y 轴对称，可得两函数图象关于直线 对称。2记忆技巧：令 ，易得 。axb2ax例 1 函数 y=f(x+1)与函数 y=f(3-x)的图象关于 _对称解：由定理 3 知，两函数图象关于 ,即关于直线 x=1 对称。31例 2 若方程 f(3+2x)=0 有三个根，则方程 f(1-2x)=0 有_个根，两方程的所有的根之和为
3、_解：设 ,由定理知，两函数关于 对称。故12(),(1)yfxyfx132x两函数图象与 x 轴交点个数相同，方程 f(1-2x)=0 也有三个根，这六个跟之和为.632例 3 函数 y=f(x)对一切 x 满足 f(x+a)=f(b-x)（1） 若方程 f(x)=0 恰有 2n( )个根，则这些根的和为多少？nN（2） 若方程恰 2n+1( )个根，则这些根的和为多少？解：由定理 1 知，y=f(x) 图象关于 对称。2abx（1） 若方程 f(x)=0 恰有 2n 个根时，由于方程的根在 x 轴上对应点关于 对称，2abx2所以， ,故 .mxab2()()nSab（2） 若方程 f(x
4、)=0 恰有 2n+1 个根时，则方程必有一根为 ，另外 2n 个根在 x2x轴上对应点关于 对称，故 .2x21(1)()nnab练习1、 对于任意函数 f(x)， 在同一坐标系中，函数 y=f(x-1)与函数 y=f(-x+1)的图象关于什么对称？2、 函数 f(x)对一切 x 满足 f(3+x)=f(4-x)，若方程 f(x)=0 恰有 5 个根时，则这些根的和为多少？3、 f(x)+f(2-x)+2=0 对任意实数 x 均成立，则 f(x)的图象关于什么对称？4、 函数 的图象关于什么对称？tan(2),(,)428kyZ5、 讨论函数 的对称性。si36、 函数 的图象关于什么对称？f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)(),(0,)xfa+f(2)+f(3) 的值是多少？答案 1、关于直线 x=1 对称 2、 3、关于点(1,-1) 成中心对称 4、关于 5成中心对称, 5、关于直线 对称,关于点(,0)(48kZ,()18kxZ成中心对称。 6、关于点 成中心对称，-3 。)39k1(,)2作 者 ： 焦景会 河北隆尧一中 055350 电话 03196568960
