1、3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！7.4 课题学习 镶嵌5 分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）A.正八边形、正方形 B.正五边形、正八边形来源:WC.正六边形、正三角形 D.上述三种情况均不能解析：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形.如正六边形的每个内角为 120，三个 120拼一起恰好组成周角.所以全用正六边形瓷砖就可以铺满地面.同理，用正三角形瓷砖也能够铺满地面.答案：C2.正 n 边
2、形的每个内角是_.解析：根据正 n 边形的内角和定理求解.答案： 180)2(3.当围绕一点拼接在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成_时，多边形能够铺满平面.答案：周角4.正五边形不能铺满平面，其原因是它的每个内角是_度，_度不是这个度数的整数倍，因此在一个拼接点处，拼上三个内角不能做到没有_，而拼上四个必定有_现象.答案：108360 空隙重叠10 分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.不能够进行组合铺满平面的正多边形是（ ）A.正六边形和正三角形 B.正八边形和正方形C.正方形和正三角形 D.正五边形和正七边形解析：在选项 A 中 120+460=360；在选项 B 中 1352+90
3、=360；在选项 C中 360+902=360.故选项 A、B、C 中的组合都能铺满平面.选项 D 中正五边形每个内角均为 108，正七边形每个内角均为（ ），无论怎样组合，拼接点处的各74128角之和都不可能等于 360，故选项 D 的组合不能铺满平面.答案：D2.如图 7-4-1，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！当黑色瓷砖为 20 块时，白色瓷砖为_块；当白色瓷砖为 n2(n 为正整数)块时，黑色瓷砖为_块
4、.图 7-4-1解析：由题图得，当白瓷砖 1 块时，黑砖为 8 块，当白砖 4 块时，黑砖 12 块=42+4(块)，当白砖 9 块时，黑砖 43+4=16 块，所以当白砖为 n2块时，黑砖为 4n+4 块.答案：16 4n+43.蜜蜂没有学习过镶嵌的理论，但却聪明地营造出最富效率的巢，你能看出蜂巢是如何组成的吗？见图 7-4-2.图 7-4-2来源:3edu 教育网解：都是正六边形的巢口，蜜蜂这个大自然的设计师知道这样的形状比其他形状更节省材料且面积最大.4.小明家刚刚购买了一套新房，准备用地板砖密铺新居地面，要求地板砖都是正多边形，某装饰商店有如下五种型号的地板砖，它们的每个内角度数分别为
5、 60，90，108，120，135，请你帮小明家选择适用的地板砖，说明理由.解：每个内角度数分别为 60，90，120，135的正多边形适用.理由如下：因为 60，90，120都能整除 360，因此每个内角为 60，90，120的正多边形地板砖可以铺满平面；又两个 135的角与一个 90的角，可以拼成一个周角，所以每个内角为 135和 90的地板砖也可以铺满平面.5.图 7-4-3 中的各个图形分别是用哪两种多边形铺满地面的？（只考虑正三角形、正方形、正六边形、正八边形和正十二边形）3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教
6、学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！（1） （2） （3） （4） （5） （6）图 7-4-3解：不论是用一种多边形铺满地面，还是用两种多边形铺满地面，都必须在一个顶点处正多边形的内角和为 360.观察题图可知，图（1） （2）是由正三角形与正方形铺满的，图（3） （4）是由正三角形和正六边形铺满的，图（5） （6）是由正方形与正八边形铺满的.6.请用正三角形和正方形尽可能多地设计铺满平面的方案.解：根据铺满平面的条件进行设计.如图（1） （2） （3） （4）所示，30 分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.用下列同一种多边形不能拼成一个平面图形的个数是（ ）三角形 四边形 正五边形
7、 正七边形A.1 B.2 C.3 D.4解析：任意一个三角形、四边形可以进行密铺，仅用正五、七边形不能进行密铺.答案：B2.(2010 湖北武汉模拟，3)阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地面砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、三角形的块数可以分别是（ ）A.2，2 B.2，3 C.1，2 D.2，1解析：选项 A 中 902+602=300，选项 C 中 90+602=210，选项 D 中902+60=240，选项 A、C、D 都不对；只有选项 B 中 902+603=360，应选 B.答案：B3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天
8、天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3.(山东威海模拟，9)用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（ ）A.正方形 B.正六边形 C.正十二边形 D.正十八边形解析：因为正三角形、正方形、正六边形、正十二边形的每个内角分别是 60、90、120、150，而若干个 90与若干个 60、若干个 120与若干个 60、若干个 150与若干个 60都可以组成周角，所以正方形、正六边形、正十二边形都可以与正三角形匹配.因为正十八边形的每个内角为 160，而 160与 60无论怎样组合，它们的连接点处各角之和都不是 360，所以应选 D.答案：D
9、4.(2010 北京海淀模拟，12)如图 7-4-4 所示的矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼成三角形的图形是_.（请填图形下面的代号）图 7-4-4解析：结合实际操作易得到答案. 来源:3edu 教育网答案：5.我们常见如图 7-4-5 所示那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整无隙的地面.请你再画出两个用两种不同的正多边形材料铺成的平面的草图.图 7-4-5解：用两种不同的正多边形拼凑起来的地砖铺平面，就必须使在某一点处几块地砖的各角合起来构成 360.下面提供一个解决方案作为参考.如下图.6.如图 7-4-6，周长为 68 cm
10、 的矩形 ABCD 是由七个相同的小矩形铺满平面而成的，求矩形ABCD 的面积.3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！来源:3edu 教育网图 7-4-6解：设小矩形的宽为 x cm，则长为 2.5x cm.由题意得 2（x+2.5x）+5x2=68,解得 x=4，则小矩形的长为 10 cm，宽为 4 cm.所以 S 矩形 ABCD=7104=280（cm 2）.7.一个六边形的花坛周围用正三角形和正方形的砖块铺路，如图 7-4-7，以正六边形花坛为中心向外共铺 10 层，则铺设整
11、个路面共需要正三角形和正方形的砖块总数为多少？图 7-4-7解：图形铺满特点是，正方形铺在六边形的边上，其余的位置用三角形来铺.由图形可知，正方形的砖块仅仅铺在六边形的各边的方向上，所以共需正方形砖块610=60 块，从六边形的每个角铺去的都是三角形砖块，所以从每个角用去的三角形砖块有 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 块，所以共需三角形砖块 600 块.所以铺设整个路面共需要正三角形和正方形的砖块总数为 660 块.8.我们知道，任意四边形的内角和都等于 360，红光木器厂的工人师傅准备用一批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边脚余料来铺设地板.你认为工人师傅这样做
12、行吗？请你用一叠白纸剪一些这样的任意四边形拼一拼.（如图 7-4-8）图 7-4-8解：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形.因为四边形的内角和是 360，四块形状、大小完全相同，但不规则的四边形按下图就可以拼在一起.3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！下图是用任意的四边形材料拼成的地板示意图.9.如图 7-4-9 所示，用正五边形的地砖进行铺满平面是无法办到的，你能说出图中空隙是什么图形吗？它的每一个内角各是多少？图 7-4-9解：
13、由于正五边形的各边都相等，所以空隙处为菱形. 来源:3edu 教育网根据图形特点知：“菱形的一个锐角+3 个正五边形的内角=360.”由于正五边形的每个内角为 =108，所以菱形的锐角度数为 360-1085180)2(3=36.所以菱形的钝角的度数为 180-36=144.10.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌） ，这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360）时，就拼成了一个
14、平面图形.（1）请根据下列图形，填写表中空格.图 7-4-10正多边形的边数 3 4 5 6 n正多边形每个内角的度数 60 90 （2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？答：_.来源:3edu 教育网（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图） ；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由.3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！解析：用不同的正多边形拼凑起来的地砖铺平面，就必须使在某一点处几块地砖的各角合起来构成 360.（1）108 120 n180)2(2)正三角形、正方形、正六边形（3）解：如正方形和正八边形，草图如右图.理由：设在一个顶点周围有 m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么，m、n 应是方程m90+n135=360的整数解，即 2m+3n=8 的整数解.又这个方程的整数解只有 一组，符合条件的图形只有一种.2,1n
