1、考 研 数 学 强 化 讲 义白 云 霄第一章 函数、极限、连续(一)函数一、 函数的解析式二、 函数的性质三、 几种特殊函数（1） ；()fx（2） ： 与 的关系；sgnx（3）分段函数；（4）复合函数；题型 1 求函数表达式例 1 设 ， ，12()xfx1()()nnffx1,2求 150;limsi();nnfd例 2 设 是周期为 2 的偶函数，当 时， .()fx(2,3)x2()fx求当 时， 的表达式.(,)()f例 3 设 ， ，求 的表达式.2)linnfxx0x()fx例 4 已知 ，且 ，求ef1ff例 5 已知 ，求,()(),(02xyfxyxf题型 2 函数奇偶
2、性例 1设 ，则下列结论正确的是 （ ）xfF（A）若 为奇函数，则 为偶函数xF（B）若 为偶函数，则 为奇函数xfxF（C）若 为周期函数，则 为周期函数（D）若 为单调函数，则 为单调函数xf x例 2求 1 25 1lndeIx题型 3 判别函数的有界性例 1 设 ，且 ，证明： .(),)fxClim()xfA(),)fxB例 2 设 ， ，判别 的有界性.2()1fx220()xtfed()f（二）极限极限的定义极限的性质极限的运算法则极限的计算极限的应用1求极限的方法1) 洛必达法则； ； ； ； ； ； ；0*102) 等价无穷小因子代换；3) 无穷小与有界量之积为无穷小4)
3、重要极限5) 导数的定义6) 夹逼准则7）定积分的定义基本公式： 如果存在101limdxfnkfn7) 单调有界原理8）泰勒公式：当 时， 0x nx xoe!21例：求 用 （最后一项比 高320limxx32!xxex 3x阶无穷小）原式 ，这样比用洛比达法则简单61)(li30xox121253 !sin nnxxnno2242!1connxxx132ln 121253arct nnonxoaxax !211题型 1 研究数列 的极限n例 1 设 ，证明 收敛并求12,1,2nnxx nx例 2 设 ，证明 收敛并求11,nn nlimnx题型 2 项和的极限常用到的方法有：夹逼准则；
4、定积分定义；级数求和.例 1 证明 收敛2221lim( )n nn例 2 设数列 ，则2(1)nkxlinx例 2 证明 收敛112n例 3 极限 ；求()()limnn nk12lim例 5 证明 收敛 21link例 6 证明 收敛 261limnk例 7 证明 收敛 1sinlink题型 3 多项乘积的极限常用到的方法有：乘以某个因子，引发连锁反应；取对数后再求极限.例 8 （1）当 时，求1x22lim(1)(1)nnxx（2）当 时，求0licoscos242nn题型 4 未定式的极限型，常用到的方法有：（1）等价无穷小代换；（2）分解因式或根式有理化0后消去零因子；（3）洛必达法
5、则；（4）利用麦克劳林展开式；例 9 （1） 201limxx（2） 0ln()li1cosixx（3）120i()lmxtd（4）设函数 连续， ，求)(xf0)(fxdtf0)(lim型，常用到的方法有：（1）抓大头法；（2）洛必达法则；例 10 （1）241limsinxx（2）345ln()imxx（3）li1x（4）20()limtxxed型（合并、提取、代换）例 11 2201cosli()snxx32lim(1)xx2liml(1)xx型（下放）0liarctn41xx12lim()nn型10例 12 2limtan()4sin0limxx0li(cos)x21li(t)nnta
6、n01li()xx题型 5 求分段函数的极限例 1 求下列函数在分段点处的极限 2sin 1cosxf 例 3 求1402sinlimxxe题型 6 求极限的反问题例 3（1）当 时， 与 是同阶无穷小，则0x34sincosxnxn（2）已知 时，求3lim()0xab,ab（3）已知 ） ，求 54li(2)()cxxA,c（4）设 在 内可导， ， ，且满足f,00f1limxf，求 。xhhefx10limf（5）已知 求30sin6()l0,x2()6lixf（6）已知 求320i()l(,xf(),0(),ff20()3limxf（三）连续例 1 （1）讨论 的连续性1,()cos
7、2xf（2）讨论 ， 的连续性2()lim()nnxfx0（3）已知 ，其中 有连续导数，且02(),0()xtfdFc()fx.试确定 ，使得 连续.(0)fc()x例 2 确定函数的间断点及其类型（1） 2ln()3xf（2） 1xfe例 3（1）求 的间断点，并判别其类型。fnnlim2（2）求 的间断点，并判别其类型。xfxtttsiil例 4 设 在 上连续，且 ， ，fba,afbf证明： 在 内至少有一个根。x,例 5 设 ， . (),fCab()fb证明：存在 ，使得,()2af例 6 设 ， . ()0,1fxC()1f证明：存在 ，使得,1()5f第二章 导数与微分题型
8、1 利用导数定义的题目命题的特点： 若 表达式中含有抽象函数记号 ，只知道 连续，却没有告()Fx()()诉 是否可导，则求 导数时必须用导数定义求导；()Fx 求分段函数在分段点处的导数时，必须用导数定义求导；例如表达式中含有绝对值的函数，一定要先去掉绝对值再求导. 某一些函数在某一点处的导数用定义计算有时也相当方便.例 1 设 存在，求下列极限：0()fx ； ；003)(limxfx00(3)()limxfxfx例 2 设 在 有定义，对任意的 ，恒有 ；当()f,)(1)2()ff时， .试判断 是否存在.0,1x21x(0)f解 2(),1,)()10xf例 3 设 ，试判断 是否存
9、在. 1,0(),xfe()f例 4 设 ，其中 在 可导，求 .()()fabx()xa(0)f例 5 设 在 连续，且 ，x0讨论 在 的连续性及可导性.2()(f a例 5 设 在 内二阶可导， ， ，求()fx,)(0)f(),0()fxg.()g例 6 设 ， 在 处连续，但又不可导，又 存在，Fxxxaga则 是 在 处可导的（ ）条件.0aa（A）充要； （B）充分非必要；（C）必要非充分； （D）非充分非必要例 6 设 ，则使得 存在的最高阶数 为32()fxx()0nfn例 7 设 ，判别 不可导点的个数. 23()f()fx例 9 设 在 内有定义，且满足 ，()fx0,)
10、()()()fyffy，求 . (1)fa()fx例 10 设 在 上定义，且 ，又fx,0fa,x有 ，求 .,y1fxyfyffx题型 2 求复合函数的导数例 1 设 求 . 232(),(arcsin,xyffx0xdy例 2 设 ，求 .()sinfx(),(),()fff 例 3 做变换 ， ， tauyte试将方程 化为 关于 的方程.221(tan)sin20dydyxxyut题型 3 求隐函数的导数思路提示：由方程 所确定的隐函数 ，其导数的计算有三种(,)0Fxy()yfx方法：方程两边对 求导，要记住 是 的函数；用公式；对方程两边取微分.例 4 设有方程 ，求 .2tan
11、lyrcxy 设有方程 ，求xyyeb题型 4 求参数方程确定的函数的导数例 5 设 ，其中 三阶可导，且 ，求 .()xfty()ft()0ft3dyx例 6 设 ，求 .401(2)tnuxdty2yx例 7 设 ，求 .(1cos)adyx解 先化为参数方程 ，再求导.(1cos)inay题型 5 对数求导法方法提示：对于幂指函数、连乘积（包括乘方、开方或商的形式）函数，先对式子两边取自然对数，再同时对 求导.x例 8 求下列函数的导数： 求20(),xyftdy10()limxxe题型 6 高阶导数高阶导数公式：()(ln)0,1xnxaaa()xnxe()(sisi()2nkk()(
12、coscos()2nkk()11)!nnxx 1()(1)()!l nnnxx莱布尼兹公式 ()()(0)0,niniiuvCvu例 9 求下列函数的 阶导数：21xy32xy例 10 求下列函数的 阶导数：n 44sicosxy3lnxy ，则 2in(5)0y ，则 cotyarx(5)第三章 微分中值定理及导数的应用题型一、求切线方程和法线方程例 1 与 在点 处的切线相同，写出此切线xfydteyxarctn020,方程，并求 。nf2lim例 2已知曲线的极坐标方程 ，求曲线上对应于 处的切线cos1r 6与法线的直角坐标方程。例 3设 为周期是 的连续函数，在 邻域内，恒有xf50
13、x。其中 ， 在 处可导，axf 8sin1sin1 limaxxf1求曲线 在点 处的切线方程。xfy6,f题型二：有关中值定理的证明题例 1设 在 上连续，在 内可导，且 ，xf3,03,03210ff。3f试证：必存在 ，使3,00f例 2设 在 上连续， 内可导，且xf1,1,1320fdxf求证：存在 使,00f例 3设 在 上连续， 内可导，对任意 ，有xf1,1, 1k，kdef10求证存在 使,ff1证：由积分中值定理可知存在 使得kc1,01110 kcfedxfek令 ，可知fFx11fF例 4设 在 上连续，在 内可导， ， ，试证：f,0,001f12f（1）存在 1,
14、2，使 f。（2）对任意实数 ，存在 ,0，使得 1ff例 5设 ， 在 内可导，且 ，求证 在xfgba, xgxf xf内任意两个零点之间至少有一个 的零点ba, g例 6设 ， 在 二阶可导，且 ，又xf, 0x0bgaf求证：（1）在 内 ；,x（2）存在 ，使ba,gff例 7 设 在 可导， ， 试证：必存在 ，使xf,()0fbA (,)ab0f例 8 设 在 可导， 试证：必存在 ，使xf,)a()lim()xfaf(,)f例 9 设 在 上连续，在 内可导，且 ，xf1,01,00xf求证：存在 ，使得),(,baeabf)(例 10设 xf在 1,0上连续， 1,0内可导，
15、且 0f， 1f，证明：（I）存在 ，使得 f（II）存在 ,， ，使 f例 11设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 ，xfbaba,0xf若极限 存在，证明：aax2lim（1）在 内 ；b,0xf（2）在 内存在 ，使；fdxfab22（3）在 内存在与（2）中 相异的点 ，使ba, badxfbf22例 12设 在 上具有三阶连续导数，且 ，xf1,01f， 。1f0求证： ，使 。,3f例 13设函数 在闭区间 上具有二阶导数，且 ，试证：xfba, 0bfaf在 内至少存在一点 ，使ba,24abff成立。题型三、证明不等式证明不等式的方法（1）利用单调性证明（2）利用极
16、值或最值证明（3）利用中值定理（4）利用凹凸性证明 （5）利用泰勒公式证明求证：当 时，0x221lnx例 1 设 ，求证：0ababln例 3设 ，证明2eae224l证一：对函数 在 上用拉格朗日中值定理xfn,ababl2ln2 b再来证明 在 时单调减少te 0l1t2从而 ，即e2lne故 abb224ln证二：设 ，则xexgl24lnexg21当 时， ，故 单调减少ex0xx422eg因此 时，由 可知 单调增加xexgxg题设 ，于是2baab故 ，即ee224ln4lnabe224ln题型四、有关函数性状的研究例 1若 ，在 内 ，则 在fxf0,0,fxffx内（ ）.,
17、0（A） ； （B） ； ,fxf 0,fxf（C） ； （D） .00,fx例 2设函数 ， 是大于零的可导函数，且fxgfxg，则当 时，有（ ）.0fxgab（A） ； （B） ； bfxfxafgx（C） ； （D）fxgfg例 3 设函数 在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 有（ f, xf）（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点例 4设 的导数在 处连续，又 , 则（ ）xfax1limaxf（A） 是 的极小值点 （B） 是 的极大值点af f（C） 是曲线 的拐点,xfy（D） 不是极
18、值点， 也不是曲线 的拐点xa, xfy例 5设 有二阶导数，满足fyxexf 132求证： 时， 为极小值0x0xf证： （2） 情形这时方程条件用 代入下行，无法得出上面的公式存在 xf连续，0lim0fxf（用洛必达法则） 1limlili000xfff xxx = （再用洛必达法则）xexfexx 1lim31lim020= 1li0x是极小值 f题型五 方程的根的研究例 1 就 的不同取值情况，确定方程 在开区间 内根的个数。k sin2xk(0,)2例 2 求证：方程 在 内只有两个不同的实根.0ln1coxde0,题型 6 求渐近线例 1. 求 的渐近线123arctnxxeyf
19、例 2 有几条渐近线？1ln()xfx第四章 一元积分学一、不定积分1.熟记几个积分公式tanlcosxdxCseclnsectaxdxC21artn 21rsiax2lxdCxa 22lndxaC2.不定积分第一换元积分法（凑微分法）的几种形式：1()()()n nnfaxbdxfabdx 1()()2dxffdx(l)(l)ffx()()xxfedfecos(in)(sin)ifdfxd21i si)sinarxarcrx2sec(tn)(tn)fdfxd3. 不定积分第二换元积分法（1）三角代换（设 ）0a若被积函数中含有 ，则可作代换 ；2xsinxat若被积函数中含有 ，则可作代换
20、；2at若被积函数中含有 ，则可作代换 ；2xsecxat注：若被积函数中含有 ，则可先配方，再化为上述情形.2abc若被积函数中含有上述被开方式，同样可考虑使用相应代换.不定积分最后一步反解变量时，可以借助于辅助直角三角形.（2）倒代换当分母关于 的最高次数大于分子关于 的最高次数时，可作代换xx1xt（3）一般代换当被积函数含某个出现频率较高、或者不易处理的函数时，可代换之.例如根式代换：若被积函数中含有 、 ，则可令 ， 取最小公倍数；mxnkux若被积函数中含有 ，则可令 ；nacnac还有如指数函数代换、幂函数代换等.题型一 原函数与不定积分例 1 (1)若 ，则 .2(ln)1lf
21、xx()f(2)已知 的一个原函数为 ，则 .()f 2ln(1)x()fxd(3)已知 的一个原函数为 ，则 .()fxsi3()f(4)已知 的，求 .2(sin)ifx()1xfd(5)设 为 的一个原函数，当 时，有 ，()Fxf 02()sinfxFx且 ， ，求 .(0)1()0()fx题型二 求不定积分例 1 求下列不定积分tancosxd lntasicoxd31sincx 1xe1sidx 3cosdx22()2(1)21()dx 102()dx(4)x 1xxe2arctn(1)d arcsinxde2(1)xed 2(1)sixx2cosxe 2(tan)xedin1sd
22、x si1coxd7cos3in52x2cosin2sinx31d1dx例 2 设 ，求 .,0()12,fxx()fxd例 3 tanIxd21()nnIdxa二、定积分1. 若 在 上连续，则变上限积分成立：()fx,ab ()()xadftfx ()()(xaftdf ()()()xftfxfxd () ()x xa adftgtgftd 2. 关于连续函数 的定积分的几个重要结论()fx ()()bbaafdfdx从而当为 奇函数时，有()fx()0bfdx从而当为 偶函数时，有()fx0()2()bbfxdfxd 2200(sin,co)(cos,in)fdf 200(i)(i)fx
23、fx 2000(sin)(sin)(sin)2fdfdfxd 200(si)(si)fxfx ，2200sincosnIdd2,10nnIII 220()4aax 设 是周期为 的连续函数，则()fT20()()()TaTfxdfxdfxd 0()()anTTffnN 题型 1 关于变限积分的求解与应用例 1 设 在 上连续，且 ，()fx,)()0fx求当 时 的最小值.12()(ln)(l)(xFtfdt例 2 设 均连续，则,f0()()()axffaxd()()()Aaff0()()aBfx0()()aCfxd ()D例 3 设 连续， ，求 .()fx0()1cosxtftx20()
24、fdx例 4 设 连续， ，求 .()f1()()ttyFdf()F例 5 计算 0sinxyd例 6 计算下列各题： 设 连续， ，求 .()fx1200()2()3()fxftdft()fx 设 在 连续， ，求 .()f0,)1()()xfft()f例 7 已知两曲线 与 在点 处的切线相同，且()yfx2arctn0xtyed(0,1)，试求极限： (1)0f ； 2lim()1nf220(1)limlncosxtxtefed例 8 若 ，则0()(0,)stxIfdts ()I依赖于 和 依赖于 和()A,st ()Bst依赖于 ，不依赖于 依赖于 和()Cts()Dsx例 9 设
25、，则2sin()xtFed()Fx不为常数 恒等于零()A()B为负数 为正数()C()D例 10 设 ， 连续，且 ， ，0()()xFtfdt()fx(0)f()0fx则 在 内(),)()单调增加且为下凸 单调增加且为上凸()A()B单调减少且为下凸 单调减少且为下凸()C()D例 11 设 ，求 .cos,02()xf0()xtfdt(0)x例 12 设 ，求 .()(),(,)baFxftxtdab ()Fx例 13 设 连续， ，且 ( 为常数) ，()f10()()ft0()limxfA试讨论 在 的连续性. ()x例 14 设 在 上连续，且对于任意两点 ，()f,ab,xy有
26、 ，求 .11()()2yxftdfxy ()fx例 15 设 在 内可导， ，对所有 ， ，f,05f,0,t均有 ，求txxt dufutdf 111 xf例 16 设 在 上连续， ，求证：()f,ABabB0()(lim()bahfxfdxf例 17 设函数 ， .0()cosxst*nZ 当 时，证明： ； (1)n2()1)sxn 求 ()limxs型 2 带绝对值符号的函数的定积分例 18 12(21)xdx例 19 设 ，求 .10()tFe()Fx题型 3 使用代换的定积分例 20 求320sin1coxd例 21 求32(1sin)coxd例 22 求1ln()xe例 23
27、 求2si(l)arctne dx例 24 求sin2ico0xe例 25 求10102sis4ncoxd例 26 设 在区间 上连续， 为偶函数，且 满足(),fg,a()gx()fx（ 为常数） .()fxA 证明： 0()()aafgxdgxd 计算： 2sinrctxe题型 4 反常积分的计算例 27 求；求21ln()xd201xed例 28 求12x题型 5 定积分等式的证明例 29 设 在区间 上连续，且 大于 0，证明：存在一个 ，()fx0,1()fx0(,1)x使得 00()xfd例 30 设 在区间 上有二阶连续导数，证明：()f,11 10 0()(0)()(22fxd
28、fxfdx题型 6 定积分不等式的证明例 31 设 在区间 上连续，证明柯西不等式：(),fxg,ab222()()()bbbaaafdfxdgx例 32 设 在区间 上单调增且连续，证明：()fx,b()()2bbaafdfxd例 33 设 在 可导， ， .fx0,10f1fx试证：211300fdxfxd例 34 设 在区间 上有二阶导数，且 ，证明：()f,ab()02abf，其中3()()24baMfxd ,max()bf题型 7 定积分的应用例 1求曲线 在点 处法线与曲线所围成图形的面积xy21,例 2设 在 上连续，在 内 ，证明 ，且唯fba,ba,0xfba,一，使得 ，
29、， ，所围面积 是 ， ，xyfyx1Sxfyfy所围面积 的三倍。bx2S例 3设 在 上为任一非负连续函数。 xfy1,0（1）试证： ，使 上以 为高的矩形面积等于 上以0,x0f 1,0x为曲边的曲边梯形面积。xfy（2）又设 在 内可导，且 ，证明（1）中 唯一。xf1,xff2 0x例 4求由曲线 和直线 ， ， 所围平面图形绕 轴xy20y3y旋转一周所得旋转体的体积。解一： 解出 ，xy2y1平面图形 绕 轴旋转一周所得旋转体体积1A026dyV平面图形 绕 轴旋转一周所得旋转体体积23022 4317y所求体积 921Vy解二： dx3221x93434x例 5设 是由抛物线
30、 和直线 ， 及 所围成的平面区1D2ya2x0y域； 是由抛物线 和直线 ， 所围成的平面区域，其中22x0y。0a（1）试求 绕 轴旋转而成的旋转体体积 ； 绕 轴而成的旋转体体1 1V2Dy积 （如图）2V（2）问当 为何值时， 取得最大值？试求此最大值a21V例 6：为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起污泥重 2000N，提升速度 3m/s，提升过程中污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功？ 说明：（1）； ， ， ， 分别表示米，牛顿，秒，焦耳。JmNNsJ（2）抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。解：所需作功 ， 是克服抓斗自重所作的功321W1， 是克服缆绳重力作的功0341W2是提取污泥所作的功02 55dx3
