1、19.5 椭圆教学目标重点：掌握椭圆的标准方程, 能够判断直线与椭圆的位置关系.难点：理解数形结合的思想，熟练运用函数与方程思想.能力点：理解椭圆标准方程的推导.教育点：体会数形结合等数学思想, 体会数学的对称美、简洁美.自主探究点：掌握求曲线方程的一般方法.易错点：直线与椭圆的位置关系的讨论.学法与教具 1.学法：合作探究，讲练结合，探析归纳.2.教具：多媒体设备,三角板.一、 【知识结构】椭圆椭圆的定义、几何性质与标准方程椭圆和直线的位置关系椭圆定义椭圆的标准方程焦点在 x 轴上： ；焦点在 y 轴上：21yab21 (0)xaba椭圆的几何性质椭圆的参数方程的参数方程210xyabcos
2、()inxayb被 称 为 离 心 角 ,为 参 数椭圆的焦三角形面积公式连接椭圆的两个焦点和椭圆上一点的三角形的面积为 212taFP直线和椭圆的位置关系椭圆的切线 在点 处的切线方程为210xyab0,Pxy021xyab直线 与椭圆 相切的条件为AxByC21ab22ABC过椭圆外点 引两条切线,切点弦所在的直线方程为0P 021xyab直线与椭圆所成的弦长问题椭圆的弦的中点问题2二、 【知识梳理】1椭圆定义：平面内与两定点 ， 的距离的和等于定长 的点的轨迹，即点集1F2 21Fa；（ 时为线段 ， 无轨迹）.其中两定12,MPFa21Fa21点 ， 叫焦点，定点间的距离叫焦距.122
3、椭圆的方程与几何性质:(1)基本性质标准方程 )0(12bayx )0(12baxy参数关系 c焦点 )0,(, ),0(c焦距 2范围 byax|,| bxay|,|顶点 ),0(,)(0 )0,()0(对称性 关于 轴、 轴和原点对称性质离心率 )1,(ace（2）常用性质： PFminmax,通径长2b最大角 1212maxB3.点与椭圆的位置关系：当 时,点 在椭圆外; 当 时,点 在椭圆内; 当 时,点 在椭圆上;2byaxP12byaxP12byaxP4.直线与椭圆的位置关系:直线与椭圆相交 ;直线与椭圆相切 ;直线与椭圆相离 .000三、 【范例导航】例 1 已知椭圆 的离心率为
4、 ，右焦点为 斜率为 1 的直线 与椭圆2:1()xyGab63(2,)l交于 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 ,AB(,)P（）求椭圆 的方程； （）求 的面积AB【分析】待定系数法，求出参数 和 （或 和 ）的值；联立方程再求解ab23【解答】 （）由已知得 解得 又62,.3ca23.a224.bac所以椭圆 G 的方程为 1.4xy（）设直线 l 的方程为 由 得 设 的坐标分别为.mxy142yx .012362mx,ABAB 中点为 E ，则 因为 AB),)(,(2121xy),(0 ,4210 40mxy是等腰PAB 的底边，所以 PEAB.所以 PE 的斜率 解得 此时
5、方程为.43mk2解得 所以 所以|AB|= .此时，点 到直线.0124x.0,321x.2,1y(3,)PAB： 的距离 所以PAB 的面积 S=y ,3|d .29|1dAB【点评】本题是基本题，应用方程的思想解题变式训练: 是椭圆 上一点， 、 是椭圆的两个焦点，求 的最大值与最小P12byax1F2 |21PF值答案： ,|,)|(|)(| 1211121 caPFaPF 当 时， 取得最大值 ，aF| |22a当 时， 取得最小值cP|1 |1b例 2 的底边 ， 和 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 的轨迹和顶点ABC6ACBG的轨迹【分析】利用椭圆定义求 的轨迹方程，然
6、后由 、 坐标的关系，利用代入法求 的轨迹方程GGAA【解答】 （1）以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系设 点坐标为 ，由x yx，知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且除去轴上两点因 ， ，有20BGB10a8c，故其方程为 6b01362yx（2）设 ， ，则 yA， G， 0162yx4由题意有 代入，得 的轨迹方程为 ，其轨迹是椭圆（除去 轴上3yx， A0132490yx x两点） 【点评】应用定义解题的步骤：建系，设点，列关系式，化简变式训练:已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程03，Pba答案：（1）当焦点在 轴上时，设其方程为 x012yx由椭圆
7、过点 ，知 又 ，代入得 ， ，故椭圆的方程为03，P192baba392a192yx（2）当焦点在 轴上时，设其方程为 y012baxy由椭圆过点 ，知 又 ，联立解得 ， ，故椭圆的方程为03，P192ba381292b1982xy例 3 (12 高考（福建理） ）如图,椭圆 的左焦点为 ,右焦点为 ,离心率 .过2:1(0)xyEab1F21e的直线交椭圆于 两点,且 的周长为 8.1FAB2F()求椭圆 的方程.E()设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ,且:lykxmEP与直线 相较于点 .试探究:在坐标平面内是否存在定点 ,使4xQM得以 为直径的圆恒过点 ?若存在,求出点 的坐
8、标;若不存在,说明理由.PM【分析】本题综合性较强，注意通法通解【解答】因为 ,即 22|8ABF122|8AFBF而 ,所以 ,而 121|Fa2a213ceabc5所求椭圆方程为 2143xy(2)由 222()8410143ykmkxkmx22226()41)03k, ,由 002,43mxy(kPm(4,)ykxmQk设存在 ,则由 可得 1()MQ 2114630,由于对任意 恒成立,所以联立解得 . 21430kxxk1x故存在定点 ,符合题意. ()【点评】本题展现了解析几何中的方程思想的重大作用，让学生好好体会变式训练: (2012 年安徽理 20) 如图， 分别是椭圆 的左，
9、12(,0)(,Fc2:1(0)xyCab右焦点，过点 作 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 ，1FxP过点 作直线 的垂线交直线 于点 ；22P2axcQ（1）若点 的坐标为 ；求椭圆 的方程；Q(4,)C（2）证明：直线 与椭圆 只有一个交点.答案：（1） （2）只有一个交点2143xy2(,)bca四、 【解法小结】（1）求椭圆的标准方程常用方法为定义法、待定系数法在利用待定系数法时，常结合椭圆性质、已知条件，列出关于 的方程，解之,abc（2）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消元建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系（3）涉及到直
10、线方程的设法时，务必考虑全面，常因忽略直线 l 与 x 轴重合的特殊形式而失分（4）注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解时，如求函数的单调区间、最值时五、 【布置作业】必做题：OxQP1F261. （12 高考（课标文） ）设 , 是椭圆 : 的左、右焦点, 为直线 上1F2E21(0)xyabP32ax一点, 是底角为 的等腰三角形,则 的离心率为 （ ）21P03A B C D34452.（12 高考（江西文） ）椭圆 的左、右顶点分别是 ,左、右焦点分别是 ，21(0)xyabAB1F.若 , , 成等比数列,则此椭圆的离心率为 （ ）2F121FA B
11、C D45125-23.如图所示,椭圆中心在原点, 是左焦点,直线 与 交于 D,且 ,1ABF901B则椭圆的离心率为 ( ) A B C D 2132152534已知 F1、F 2 是椭圆的两个焦点满足 0 的点 M 总在椭圆内部，则12椭圆离心率的取值范围是 （ ）A(0，1) B(0， C(0， ) D ，1)2 25椭圆 的一条弦被 平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ）21369xy(4)AA B C D0210xy20xy280xy6.椭圆 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 两点, 为坐标原点, 则 的面1452yx BAOOAB积为 _.7已知 为椭圆 的两个焦点，
12、过 的直线交椭圆于 A、B 两点若 ，21F、 1952yx1F122F则 =_.AB8.椭圆 的离心率为 ，则 _.142myx2m9.已知椭圆 离心率为 ，且短轴长为 2.2(0)ab2（1）求椭圆的方程;（2）若过点 与两坐标轴都不垂直的直线 与椭圆交于 两点, 为坐标原点,且,PlABO7,求直线 的方程.23OABl必做题答案 1 2 3 4 5 6. 7.8 8. 9.（1） .（2）CBCD363或 21xy+=或yxyx选做题：1.(11 年高考天津)在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为椭圆xoy(,)0)Pab12,F的左，右焦点.已知 为等腰三角形.2=(0)ab12
13、F(1)求椭圆的离心率 ;e(2)设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，求点 的轨2PF,ABM2 2AMB迹方程.2.已知椭圆 ： .过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点.G214xy(,0)m21xylG,(1)求椭圆 的焦点坐标和离心率;(2)将 表示为 的函数，并求 的最大值.ABAB选做题答案：1.（1） （2） e21863150()xyx2.(1) 由已知得 ，所以 .,abcab所以椭圆 的焦点坐标为 .G(,0)(,离心率为 .32ce(2) 由题意知， .1m当 时，切线 的方程为 ，点 的坐标分别为 ，1lx=,AB3(1,)2(,)此时 .AB3当 时，
14、同理可得 .3当 时，1m设切线 的方程为 .l()ykxm由 ，得 .2()4ykx22214840kxm设 两点的坐标分别为 , ，则,AB1()xy2).22118,4kxk又由 与圆 相切，得 ，即 .l2y2121mk所以 AB211()()xy 214kx8 .243m由于当 时， ，1AB所以 ， .23(,1,)因为 ，且当 时， 2，4m23mAB所以 的最大值为 2.AB六、 【教后反思】1.本教案的亮点是：例题选择典型，讲练结合，在作业的布置上，选择中高档题，学生的基本功，基本题型，基本思想，基本方法得到落实2.本教案的弱项是：在选择例题方面没有以高考题为主，老师们在参考时可以补充重点是让学生多体会，多应用
