1、第 1 页 共 6 页暨 南 大 学 考 试 试 卷得分 评阅人 一、判断题（共 6 小题，对的打，错的打 X，请在答题框内答题，每小题 1 分，共 6 分）1 2 3 4 5 6X X X 1.已知 A2=A，那么 A=E或者 A=0。2.方阵 A的秩小于其阶数，那么他对应的行列式值为 0。3. 两个 n阶方阵相乘等于 0矩阵，那么他们的秩都小于 n。4. 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数。5. 若向量组 a1，a2，,an 是线性相关的，那么 a1可以由 a2，,an 线性表示。6. 除零向量外任意向量的范数都大于 0。课程类别必修 选修 考试方式开卷 闭卷教师填写20 09 - 20
2、10 学年度第 一 学期课程名称： 线性代数引论 授课教师姓名： 张庆丰，朱蔚恒 考试时间: 2010 年 1 月 11 日试卷类别(A、B) A 共 6 页考生填写学院(校) 专业 班(级)姓名 学号 内招 外招 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分得 分暨南大学线性代数引论试卷 考生姓名、学号：第 2 页 共 6 页得分 评阅人 二、单项选择题（请将最合适的选项填在答题框内，共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10D D C C A A D D C A1. 设 n阶方阵 A、B、C 满足 ABC=E，则必有 。AACB=E B
3、CBA=E CBAC=E DBCA=E 2.下面说法正确的一项是 。A若 A2=0，那么 A=0。B若 A2=A，那么 A=0或 A=E。C若 AX=AY，且 A0，那么 X=Y。D以上论断皆不正确。3. 若 是五阶行列式中带正号的一项，则 i,j的值为 。jia54321A.i=1,j=3 B.i=2,j=3 C.i=1,j=2 D.i=2,j=14. 下面说法正确的一项是 。A. 向量空间的基是唯一的。B. 向量空间对加法与矩阵乘法满足封闭性。C齐次线性方程组的全体解构成一个向量空间。D向量空间的最大无关组的秩小于向量空间的维数。5. 用一初等矩阵左乘一矩阵 B，等于对 B施行相应的 。A
4、.行变换 B.列变换 C.既非行变换也非列变换 C.既是行变换也是列变换6. 若 n元齐次线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r，则当 时，方程组有无穷多解。A.r07. 设向量组 ， ， ，)0,312(，)2,01(2)1,35,(3则 t= 时，向量组线性相关。),31(4tA.0 B.-1 C.-2 D.-38. n阶方阵 A满足 20， E是 n阶单位阵，则 。A. ，但 A B. 0EA，但 0 暨南大学线性代数引论试卷 考生姓名、学号第 3 页 共 6 页C. 0EA，且 0 D. 0EA，且 09. 设 A，B 均为 n 阶方阵，则下列结论正确的是 。A. A，B 均可逆，则
5、A+B 可逆； B. A 或 B 可逆，则 AB 可逆；C. A 或 B 不可逆，必有 AB 不可逆； D. A，B 均不可逆，则 A+B 不可逆10. 设 均为 维列向量， 阶方阵 ， 。如果 ，则 。A.0 B.5 C.10 D.-5得分 评阅人三、计算题（共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分）1. 向量组 1=（5，6，7，7） ， 2=（2，0，0，0） ， 3=（0，1，1，1） ， 4=（7，4，5，5）是否线性相关？如果线性相关，求出它们的相关表达式。解：对向量组对应矩阵进行初等行变换得到行最简型 021014675107622/*6135234rr所以相关表达式为 1+
6、 2-2 3= 4 2. 设 A= ,且 AB+E=A2+B,求 B。102解：AB+E=A 2+B （A-E）B=(A 2-E) (A-E)B=(A-E)(A+E)由于|A-E|= ，所以（A-E）有逆，对(A-E)B=(A-E)(A+E)两边同时左乘01（A-E）的逆，有 B=A+E= 21暨南大学线性代数引论试卷 考生姓名、学号：第 4 页 共 6 页3. 使用初等变换法求下列方阵的逆阵。 12031解： 10621034 1062104392012031 1012035943102013 4321312*4 2*4313* rr rr4. 计算 4阶行列式 dcba10解:暨南大学线性
7、代数引论试卷 考生姓名、学号第 5 页 共 6 页11001001010110001)/()1*34 )1/(*23/1*2 abdcabcabdabcadabca dcabdcba acbar abrar5. 求线性方程组的解:8311024x解：对方程组的增广矩阵进行初等变换 602/1742/542/5412/50748031124 23/1*32 rr系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以原方程组无解。得分 评阅人四、证明题（共 3 小题，每题 8 分，共 24 分）1. 设 n阶矩阵 A满足 A2=A,E为 n阶单位矩阵，证明 R(A)+R(A-E)=n证明：R(A)+R(A-E) =
8、R(A)+R(E-A) R(A+E-A)=R(E)=n (1) -4 分因为 A*(A-E)= A2-E=O,所以 R(A)+R(A-E) n (2) -4 分由（1） （2）可得 R(A)+R(A-E)=n暨南大学线性代数引论试卷 考生姓名、学号：第 6 页 共 6 页2.设方阵 A满足 A2-A-2E=0，证明 A及 A+2E都可逆，并求 A-1及（A+2E） -1证明：A 2-A-2E=0 A 2-A=2E A(A-E)=2EA(A-E)/2=E 所以 A 可逆，A 的逆为(A-E)/2 -4 分A2-A-2E=0 A 2=A+2EE=(A -1)2(A+2E),所以(A+2E)可逆，其
9、逆为(A -1)2=(A-E)/2)2=(A2-2A+E)/4=(A2-A-2E-A+3E)/4=(3E-A)/4 -4 分3.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*,证明：(1) 若|A|=0 ，则 |A*|=0;(2) |A*|=|A|n-1证明：（1）|A|=0 A A*=0, 所以 R(A)+ R(A*)n，对 A 分析，若 A=0，那么有伴随矩阵的定义有 A*=0，若 A0，那么 R(A)1,由 R(A)+ R(A*)n可知，R(A*)n，所以| A *|=0 -4 分（2）A A *=|A|E，两边同时取行列式 ,有|A A *|=|A|n若|A|0，那么由|A|A *|=|A A*|=|A|n，可知|A *|=|A|n-1若|A|=0，那么由(1) 的结论 |A*|=0 可知|A *|=|A|n-1 -4 分
