1、1线性代数知识点、难点1、 阶行列式的定义n对于 阶行列式的定义,重点应把握两点:一是每一项的构成,二是每一项的符号。每一项的构成是不同行不同列的 个元素构成,一个 阶行列式共有 项。乘积项为nn!n的符号取决于 的逆序数,即当 为偶排列时取正号,当12.njja12,.jj12,.jj为奇排列时取负。,例 1行列式为二阶行列式,每一项由 2 个元素构成,第一项为 ,符号为312D 3*2正,第二项为 1*2,符号为负。2、余子式和代数余子式余子式和代数余子式的概念容易出错,在计算中应注意。代数余子式,其中 为余子式。一般这类题,重点考察对代数余子式的理解和其(1)ijijiAMij基本性质的
2、应用,所以考生一定要灵活掌握,掌握基本思想。下面请看一例:例 2设行列式304275D则第 4 行元素余子式之和的值为_【分析】 1423414234MA323002(7) 8711部分考生答案为 0。原因是将余子式和代数余子式混淆了。本题中第四行元素的代数余子式之和为 0。因为。4124341243()0AAA3、行列式按一行(列)展开设 ,则()ijna212|,.0ijijinjAijaAa或 12|,.ijijnijij注意:公式中使用的是代数余子式,而不是余子式。4、行列式的计算行列式的基本计算方法有三个:例 21 归化 利用行列式的性质将行列式化成较简单且易于计算的行列式(如三角行
3、列式等) ;例 22 降阶 利用行列式的展开定理,将高阶行列式化成低阶行列式进行计算。在实际计算过程中,往往两种方法交替使用:先利用性质将某行(列)化出尽可能多的零元素,再用按行(列)展开定理进行降阶。注意,在化零元素的过程中,尽量不要出现分式,否则,计算过程往往会变得相当繁琐。例 23 递推 在降阶中找出高阶行列式 与低阶行列式 ( ,通常是 )nDrn1rn的关系,即递推公式,利用递推公式递推求得 。n例 3记行列式 为 ,则方程 的根的个212334547xxD()fx()0fx数为。解析 问方程 有几个根,也就是问 是 的几次多项式。不要错误()0fx()fx地认为这样的 一定是 4
4、次多项式 ,其实适当选系数可构造出 0 至 4 任一次数的多项式。由于行列式的每一个位置都含有 ,若立即展开处理是不妥的,应当先利用x性质恒等变形消去一些 再展开。将第 1 列的-1 倍依次加至其余各列,有 x易见2102021()3317647476x xf xxA是二次多项式。()fx3例 4 。.abD解析 方法 1 1.(1).000. .()nabanbbaanb方法 2 1. 1.00()(). .()nbbaaDanabanb 解本例的方法有典型性,大家应熟练掌握。5、矩阵的概念矩阵的行数和列数不一定相等。行数和列数相等的矩阵称为方阵。:矩阵 和矩阵 必须具有相同的行数和相同的列
5、数,且对应元素均相等。ABB如 。10只有两个矩阵具有相同的行数和列数时,才能进行矩阵的加法运算。矩阵的数乘 表示对矩阵 中的每一个元素都乘以 。注意:是每一个元素,而kAk不是某一行或某一列。矩阵的乘法 必须要求 的列数等于 的行数。BB矩阵的乘法一般不满足交换律,即 。例如: , ,A00B。对于某些矩阵,即使 与 都有意义,它们仍不一定相00ABA等。如 , , 与 都有意义,但 为 矩阵,而 为BABAB1BA矩阵,显然不相等。34当 和 均为 矩阵时, 。行列式是数,可以交换。ABn|ABA有矩阵乘积 ,不能推出 或 。等价地说, 且 ,有可能000B使 ,如上例。0矩阵的乘法不满足
6、消去律,即 时,有 ,但 。只有当 为非奇CA异矩阵,即 时,若 ,则必有 。若 ,则必有 。|BC例 5 设 4 阶矩阵 , ,其中 是 4 维列向量,234(,)Ar234(,)Br23,r且 , ,则 。|1B|解析 本题考查矩阵运算与行列式的性质。由于 ,所以234(,)r234234234| |8|8(|)(1)0Arr 部分考生将矩阵运算与行列式的性质混淆,得出错误结论 。|AB例 6 设 是 3 阶方阵, 是 的伴随矩阵, 的行列式 ,求行列式A*AA1|2的值。1*|()2|解析 本题同样考查矩阵运算与行列式的性质。由于 ,故 ,故1*|A*11|2AA不少1*11131281
7、6|(3)2|(3)|()|23 7A 考生把 错误地写成 ,把 错误地写成|nk|kk。1()A6、关于 0是考研中常见的一种题型,也是考生比较畏惧的一种题型。它的特点是题干简单,已知较少,所以考生有时候觉得无从下手,其实所有的题都是由基本东西转换而来的,考生要掌握其基本思路。下面举两例说明:例 7 设 是 阶非 0 矩阵,满足 ,且 ,证明行列式 。An2AE0A5【证法一】 (反证法)若 ,那么 可逆。用 左乘 的两端,得|0A1A2与 矛盾,故 。121AE|0【证法二】 (用秩)据已知有 ,那么()E()rEn因为 ,即 ,那么秩 从而秩 ,故 。0A1rAA0【证法三】 (用 有非
8、零解)据已知有 ,即 的列向量是齐次方程x()0组 的解,又因 ,所以 有非零解,从而 。0xEx注解 是考研题中一个常见的已知条件,对于 应当有两种思路:ABAB设 是 矩阵, 是 矩阵,若 ,则mnns0(1) 的列向量是齐次方程组 的解A(2) ()r例 8 设 为 阶矩阵,满足 , ,证明 。AnTE00AE【证明】因为 ()()TTEA所以 (1)0又因 于是0A故必有 E7、伴随矩阵伴随矩阵是线代中比较重要的概念,也是一个常考的点,出题点多结合逆矩阵,所以考生在深刻掌握伴随矩阵概念的同时,应该熟记一些和伴随有关的公式定理,这类型题一般解法较多比较灵活,考生应熟记它的定义和基本性质,
9、以不变应万变。涉及伴随矩阵的计算或证明问题一般可从公式 及伴随矩阵的相关结论*|AE着手分析。以下结论可以直接使用: (),()110.nrAnrA若若若例 9 设 为 阶非零矩阵, 是 的伴随矩阵,当 时,证明 。n* *TA0A6证明 由 ,及 ,有 。*|AE*TA*|TAE若 ,则 ,设 的行向量为 ,则 ,即00T (1,2.)in0(1,2.)Tiin,于是 ,与已知矛盾,故 。i0例 10 设矩阵 满足 ,其中 是 的伴随矩阵,若 为三个3()ijAa*TA* 1213,a相等的正数,则 =。1解析 题设与 的伴随矩阵有关。由 ,及 ,有 ,且*|E*T,1,23ijija或 ,
10、23|0AA|而 ,于是 ,且 。2112131| 0Aaa|113a8、逆矩阵涉及两个矩阵是否可交换,考虑用逆矩阵的定义进行分析。例 11 设 阶方阵 满足关系式 ,其中 是 阶单位阵,则下列哪些正确?n,ABCABCEn1、 2、 3、 4、 5、BCEEACBE解析 把题目和矩阵的逆矩阵联系起来。若 ,则说明 ,1A,故 , 。1()AACB逆矩阵的计算一般有三种方法:(1) ;1*|(2)通过恒等变形,利用定义进行计算;(3)用初等变换求逆矩阵。 - 初 等 行 变 换 ( ) ( ) 1EAE 初 等 列 变 换在用初等变换法求逆矩阵的整个过程中,如果置 于 之右 ,则必须只用AE(
11、 )7行初等变换,而不能用列初等变换。如果置 于 之下 ,则必须只用列初等变换,EA而不能用行初等变换。这点务必注意。例 12 设矩阵 满足 ,其中 为单位矩阵,则 。A402 1(-)E解析 本题考查用定义求逆矩阵。题中给出了矩阵方程,需经过恒等变形,得出或 的形式,确定 的逆矩阵。102345-67()EB()AEA由于 ,所以0A2,2AE于是 ,()(-)()EE故 。1-2题中没有具体给出矩阵的元素,所以不能用初等变换或求伴随矩阵的方法求逆矩阵,只能用定义。从上面的解题过程可以看出,类似于多项式的因式分解。我们配出了因式 ,不少考生正是忽视逆矩阵的定义而不知如何下手。AE例 13 设
12、 , 均为 3 阶矩阵, 为 3 阶单位矩阵,已知 , ,BE2AB204则 。1(-)AE解析 本题考查求逆矩阵。先做恒等变形,设法分解出 ,再进行数值计算。由于E,所以2B,2AB,()()()2EB故 。11(-)(2E)A本题给出了具体的矩阵 ,若先求矩阵 与 之后,再求 ,计算量就BA-E1(-)AE比较大,费时也容易出错。8例 14 设 , 为 4 阶单位矩阵,且 ,则1023-4567AE1()()BEA。1()EB解析 对于 没有运算法则,通常用单位矩阵恒等变形的技巧化为乘积的形式。111111111()()()()()()()2()()2()()324AEAEAE 本题是考生
13、失误较多的一个考题,这里涉及的思路方法应很好体会。9、初等变换初等变换是一个非常重要的概念,它可以简化许多问题,但是考生在应用初等变换上还不是很熟练,有时候根本就不知道初等变换是用来干什么的。首先建议学员一定要弄清楚概念,它具有什么性质。知道行变换就是左乘初等矩阵,列变换就是右乘初等矩阵,然后就可以化简计算。初等矩阵均可逆,且其逆是同类型的初等矩阵。例如: 100,1002,210033,即 111ijijiiijijEE(),E().k, ( k)例 15 设 ,则 2,31AB1,PABP其 中答案:01【分析】利用初等矩阵。矩阵 的一、二两行互换后再二、三两行互换,然后一、二A两列互换后
14、再二、三两列互换,即是矩阵 ,即B9101010AB可见。0101010、线性相关性线性相关性是考察的重点,同时也是考生的难点。多以选择题或证明题的形式出现。向量组的线性相关(无关)是一个抽象概念,在理解时需仔细体会“有一组” 与“任一组”。 “有一组” 只要求存在,而“任一组”要求全部,强调任意性。许多错误往往发生在此。对于向量组 恒有 ,向量组 是否线性相12s,.12s0.012s,.关,其实就是问除上述情况之外,能否再找到另一组 使得12,.sk成立。12.skk维向量 线性相关n12s,.存在不全为 0 的数 使得 成立;12,.sk12.0skk齐次方程组 有非零解;212(,.)
15、0.sx向量组的秩 ;12(,.)sr向量组中某个向量 可以用其余向量 线性表出 。i12-1,is例 16 设 是 阶矩阵, 是 维列向量,若 , ,证明向量组 ,Ann0mAm, , 线性无关21,m【证】 (用定义、同乘)设 (1)21123mkkk10由于 知 , ,0mA1m20mA用 左乘(1)式两端,并把 , , , 代入,有 10m2mA1mk因为 ,故 =0。10mA1k把 代入(1)式,同理可知k120mkA从而 。20k类似可得 , , ,所以 , , 线性无关。3 mk21,mA分析 部分考生在设出 之后,不知如何往下做,没21230Akk有想到可用 左乘等式的两端,使
16、问题得到解决。1mA例 17 设 4 维列向量 线性无关,且与 4 维列向量 均正交,证明 线123, 12,12,性相关。【证】 (用秩)构造矩阵123TA则矩阵 是秩为 3 的 矩阵,由于412301,2Tiii所以 均是齐次方程组 的解。12,0Ax那么, ()()41rnr从而 线性相关。12,11、线性表出线性表出也是常考的一类题型,考察的形式多结合线性相关,线性无关。应结合他们的定义与线性表出的概念,以及他们之间的联系来解题。这类题多用反证法,考生11应熟练掌握这部分的题型,否则可能拿到手后根本没有思路,当遇到这种情况时,建议从最基本的定义和概念出发,一步步往结论处求证。有些题可以
17、利用线性相关、无关、向量组的秩、极大线性无关组等概念之间的关系直观的得出结论。例 18 设 是 维向量组, 则( )不正确。12,s n12(,),srr(A) 如果 ,则任何 维向量都可以用 线性表示;r s(B) 如果任何 维向量都可以用 线性表示,则 ;12,s rn(C) 如果 ,则任何 维向量都可以用 唯一线性表示;rsn12,s(D) 如果 ,则存在 维向量不能用 线性表示。s【分析】利用“ 用秩判断线性表示 ”的有关性质。当 时,任何 维向量添加进 时,秩不会增大,从而(A )正确。rn12,s如果(B )的条件成立,则任何 维向量组 都可以用 线性表示,n12,t 12,s从而
18、 如果取 是一个 阶可逆矩阵的列向1212(,)(,).t srr ,n量组,则得到 ,从而 (B)正12(,)nsnr 12(,),srn确。(D)是(B)的逆否命题,也正确。当 时,不能保证任何 维向量可用 线性表示(如 时) ,因此(C)rs 12,s r不正确。例 19 设 维列向量组 线性无关,则 维列向量组 线性n12,()mn n12,m无关的充要条件为A 向量组 可由向量组 线性表出12,m 12,B 向量组 可由向量组 线性表出 mC 向量组 与向量组 等价12,m 12,D 矩阵 与矩阵 等价()A (,)mB解析 简记向量组 为 ,向量组 记为 ,那么(rI12, I12
19、,m I线性无关 ,I()r12A 若 可由 线性表出,则 。又 线性无关,有I()rII,()mr从而 ,即 线性无关,充分性成立。()rImI那么,当 时,条件必要吗?设 , , , ,则n1021021与 均线性无关,但 不能由 线性表出,故 A 仅为充分条件,不是12,12,12,12,必要条件。B 若 可由 线性表出,则 ,即有 , 的I()rIm12(,)mr 12,m线性无关性不能确定,故 B 不充分。而由 A 的反例可知 B 也不是必要条件。C 由 A,B 知 C 只是充分条件。D 如果矩阵 与矩阵 等价,则12(,)m 12(,)m,因为 线性无关,故1212(),)(,)m
20、mrrr 12,m,故 ,故向量组 线性无关,充分性, 成立。反之,若向量组 与 均线性无关,故12,m 12,m,从而 ,即矩阵 等价,必要性成立,12(,)()mrr ()rAB,A故选 D。由于两个等价的概念不清,本题错误率很高。如果两个向量组向量个数相同且等价,则可推知两个矩阵等价。即与 等价 与 等价12,m 12,m 12(,)m 12(,)m但是 与 ( )等价时,矩阵 与 不,s ,t st,s 12(,)t等价。矩阵 与 等价是指经初等变换矩阵 可转换为矩阵 , 与 等价的充要条件ABABA是 。()r12、向量组的秩与极大线性无关组向量组的极大线性无关组往往是不唯一的,其成
21、员可以不一样,但这些极大线性13无关组是等价的,极大线性无关组中向量的个数是一样的,由原向量组唯一确定,由此引出向量组秩的概念,向量组的秩为 就是指向量组的极大线性无关组有 个向量。r r例 20 如果向量组 与 都是向量组 的极大线性12I:,.iir2I:,.,jijt12,s无关组,证明 。rt证明 因为 是 的极大线性无关组,所以 12,.iir12,s线性相关,于是 可由 线性表出。12,.,(1,2.)iirjktjk.iir从而向量组 可由向量组 线性表出。又因向量组 是I:,.,jijt12I:,.iirI极大线性无关组,是线性无关的,所以 。tr同理 ,故 。rtt13、过渡
22、矩阵过渡矩阵是考试所要求的考点之一,但不是每年都出题的。考生在复习时容易忽略这个考点。【定义】设 和 都是 V 的基,并设 在 中的坐标为12,s 12,s i12,s称矩阵12(,)isic121212sssccC为 到 的过渡矩阵。此时,如果 V 中的向量 在 中的12,s 2, 12,s坐标为 ,在 中的坐标为 ,则有坐标变换1()Tsxx 12,s 12(,)Tsyy公式.Cy两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。14、矩阵方程对于矩阵方程,经恒等变形之后有三种可能的形式:,;AxBxCB如果矩阵 是可逆的,则依次有,AC14,111;xABxABC然后经计算就可求出 。因为矩阵乘法
23、没有交换律,所以在恒等变形时,运算法则一定要正确。例 21 已知 ,其中 , ,则 。X1234X解析 由 ,得 。因为 可逆,有XAB()EAB01EA,11202012()343443XBEA在本题中,不要把 错误地变形为 ,而得到XAB()EAXB1012()34这是一个特别要防止的错误。例 22 设矩阵 ,矩阵 满足 ,其中 是 的伴随矩阵,1AX*12AX*A求 。X解析 若先计算方程中的 及 ,然后再解 ,则计算过程会十分复杂。为了避免*1求 及 ,可利用 ,在等式两边同时左乘矩阵 进行化简。*A1|AEA,*12XA,即| (|)XE从而有,1(|2)E, ,|4A| 1A故 。
24、11240X1515、基础解系基础解系的概念及求法是齐次线性方程组的核心问题,是线性代数中一个非常重要的概念,对于这块内容的考察也是一个重点,但是我们在答疑或者是改卷过程中发现还是有很多同学概念混淆。【定义】设 是 的解向量,如果(1) 线性无关;(2)12,px 0Ax12,px的任一个解向量可由 线性表示,则称 是 的一个基0A2,p , 0Ax础解系。例 23 齐次方程组 的基础解系是。1234123405647xxA (3,01),(30,)TTB 2kkC 1(2,),(,)TTD 3415解析 严格根据定义,判断基础解系要从是不是解,是否线性无关及解向量的个数三个方面来思考。16、
25、如何确定自由变量并赋值?(求解基础解系)很多考生在这块也容易犯错误,因为不同的赋值方法可能得到不同的结果,所以考生只要概念理解清楚,按照步骤就一定能得到正确答案,下面介绍确定自由变量并赋值的基本步骤:(1) 对系数矩阵作初等行变换化其为阶梯形(2) 由秩 确定自由变量的个数()rA()nrA(3) 找出一个秩为 的矩阵,则其余的 列对应的就是自由变量()(4) 每次给一个自由变量赋值为 1,其余的自由变量赋值为 0(注意共需赋值次) 。()nr对阶梯形方程组由下往上依次求解,就可以得到方程组的解。注意:对系数矩阵进行变形时,只能进行初等行变换。该方法是求解含参数线性方程组的最一般方法,不论方程
26、的个数与未知数的个数是否相同都可使用,应熟练掌握。16例 24 齐次方程组 的基础解系是。124530xx解析 系数矩阵 进行初等行变换化为阶梯型 ,由02134A 102,知 。()3rA()nr令 ,得 ,51,0x421,xx令 ,得 ,3 53故基础解系是 。1215(,0,)(,03,)2TT齐次线性方程组的基础解系可以不唯一。17、特征向量与线性方程组的解矩阵的特征向量与解线性方程组似乎没有直接联系,其实两者还是有关联的。这就是是 的属于特征值 0 的特征向量 是 的非零解A0Ax这是由特征向量的定义直接推过来的,大家容易忽略,但在考研题中会经常用到,学员应熟练使用。例 25 设矩
27、阵 有特征向量 , ,求线性方程组21233a1(,2)T2(1,)T的通解,其中 。Axb(,)Tb解析 由题设 均是 的特征向量,故有123,A(1) , (2) ,12233a 21233-1a(3)32123-2Aa17由(1)解得 ,即有 。由(2)解得 ,即有 。由(3)解得1010A2020A,即有 。33注意到方程组为 ,其中 ,由 可推出 ,所以xb33A3()b是 的一个特解。由 , 知 是 的两个解。由3Axb10A212,0x知, 是 的两个线性无关的解。由 知, ,故12(,)r12,x()1rA的基础解系由 个线性无关的解向量组成。现 是 的两个线0x()r12,0
28、x性无关的解向量,故 是 的一个基础解系。从而 的通解为12,0Axxb,其中 为任意常数。312kk18、关于公共解公共解也是一个考点,公共解的求解一般有固定的方法,考生针对题型掌握其中的一两种就可以了。下面以例题的形式介绍公共解的几种处理方法:例 26 设有两个 4 元齐次线性方程组() ()1240x12340x(5) 求线性方程组()的基础解系;(6) 试问方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解;若没有,则说明理由。关于公共解,有以下几种处理方法:(1) 把()和()联立起来直接求解;(2) 通过()和()各自的通解,寻求公共解;(3) 把()的通解代入()中,
29、如仍是解,则把()的通解代入()中寻求公共解。如:()的基础解系为 , ,那么它的通解就是1(0,)T2(1,0)T要是()的解,就因该满足()的方程,故12212(,)Tkk2120k解出 ,1k所以其公共解是18222(0,1)(,10)(1,)TTTkkk例 27 是 阶矩阵,证明齐次线性方程组Amn() 和Tx() 同解。0【证】如果 是()的解,则 ,显然 即 是()的解,故()0A0TA的解全是()的解。若 是()的解,即 ,那么T即0()0T即 故20A0A所以 必是()的解,即()的解全是()的解,从而方程组()与()同解。19、求 相似标准型的方法(对可对角化的矩阵)阶矩阵
30、可对角化的充要条件是 阶矩阵有 个线性无关的特征向量。相似对角nAn化是一个重要的考察点,这部分牵涉的计算量比较大,所以考生一定要细心。基本步骤如下: (1) 求 的特征值 设 是 重根;12,s ii(2) 对每个特征值 ,求 的基础解系,设为i()0iEAx12,;iinX(3) 令 则1 212212(,)snnsnpXX ( )sPAdiag 其中有 个 。ini(,)s注意:对应 的线性无关的特征向量的个数小于 的重数,则 不可对角化。若i iA每个 的重数与线性无关的特征向量的个数相同,则 可对角化。i例 28 判断矩阵 是否与对角矩阵相似?A320157A解 由特征方程19,23
31、20120|13()10577EA得特征值 (二重根) ,1231对于 ,解方程,11 230()57xEAx因为 ,故属于 的线性无关的特征向量的个数等于对应的齐次线(2)rEA12性方程的基础解系所含向量的个数即 1,不等于根的重数 2,故 不可对角化,即 不AA与对角形矩阵相似。20、矩阵的相似、合同、等价分析(1)等价:矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 ,则称 与 等价;AB矩阵等价的充要条件: 是同型矩阵且有相同的秩,A存在可逆矩阵 和 ,使PQAB【注意】矩阵的等价与向量组的等价是两个不同的概念,若矩阵与12(,)nA 12(,)nB等价,则 , ,于是 ,而向量组的等PQBr 12
32、,(,)nrr 价是指这两个向量组可以互相线性表出。当矩阵 与 等价时虽有这两个向量组的秩AB相等,但作为向量组不一定能互相表出,因而不一定等价。例如: ,10与 , 的秩相等,但不等价。20120但是矩阵102AB等价。反之,若向量组 与向量组 等价,则向量组秩12,n 12,n20,从而 ,故必有矩阵1212(,)(,)nnrr ()rABAB(2)相似:设 是 阶矩阵,如果存在可逆矩阵 P,使 ,则称 与 相,AB1似,记为: 相似矩阵的性质:如从而 有相同的特征值,EAB,A( 有相同的迹)11nniiab,()rAB【注意】这些都是必要条件,可排除哪些矩阵不相似,亦可用来确定相似矩阵
33、的一些参数。若其中有一个不成立,说明 与 不相似。例 29 已知 若 ,则由迹相等知: ,得420,1abAB42(1)b由行列式相等知: 得 。3.2a, -5并且,由于 是对角矩阵,2 与-1 就是 的特征值,则根据特征值相等知,2 与-1B也是 的特征值。A(3)合同:两个 阶实对称矩阵 和 ,如存在可逆矩阵 ,使得 ,则称nABCTAB矩阵 和 合同。两个实对称矩阵合同的充要条件:二次型 与 有相同的正、负惯性指数;TxABx两个实对称矩阵合同的充分条件:实对称矩阵合同的充分条件是 。AB(4) 正交相似:两个 阶实对称矩阵,如存在一个正交阵 ,使得 ,则称nP1P与 正交相似。AB对
34、正交阵来说, ,因此这时 。1TPTBPA例 30 设 则有 和 合同。0030,2421【证明】因为有可逆矩阵 ,32C使 ,或者,由二次型310024TCA B与 有相同的正惯性指数 及相同的负惯性指数21xx2134TBx2P,所以合同(注意: 和 不相似,因为相似的必要条件是特征值相同,显然不0qA满足) 。21、正交变换化二次型为标准型的方法正交变化化二次型为标准型是历年常考的一个知识点,考生在这块主要的错误就是有时候忘记单位化,再有这块内容的计算量比较大,所以一有疏忽就容易出错误,下面将介绍具体解题步骤,考生应按照步骤进行,仔细计算。(1) 写出二次型矩阵 A(2) 求矩阵 的特征
35、值(3) 求矩阵 的特征向量(4) 改造特征向量(单位化、Schmidt 正交化) 1,n(5) 构造正交矩阵 1,nP则经坐标变换 ,得xpy221TT nAXyy【注意】特征值的顺序与正交矩阵 P 中对应的特征向量的顺序是一致的。22、正定二次型(正定矩阵)正定二次型是常考点,考生主要掌握定义,因为定义在这块中是最好的证明方法,也是最常用的证明方法,如果不能很好的掌握定义,有可能遇到这类型的题目无从下手。若对任意的 维实向量 ,恒有 ,则 是正定矩阵。n0x0TxA注意:正定矩阵必须是对称矩阵,因此在论证之前应注意 是否为对称矩阵。若A不是对称矩阵,根本谈不上正定性。正定矩阵的性质和判别:
36、实对称矩阵 是正定矩阵A合同于 E存在可逆矩阵 C,使得 (从而 )T0A22A 的正惯性指数nA 的特征值全大于 0存在正交矩阵 ,使得Q121,01,2T inAQn的各阶顺序主子式全大于 0A判别实对称矩阵(实二次型)是否正定的常用方法有三种: 用定义 顺序主子式法 特征值法例 31 是否为正定矩阵。2051A解析 , , ,顺序主子式全大于 0,故 正定。122635A例 32 为 实矩阵, 为 阶单位矩阵,已知矩阵 ,试证:当AmnEnTBE时,矩阵 为正定矩阵。0B【证明】 (定义法)、因为 ,所以 是 阶实对()()()TTTTTAAn称矩阵。、构造二次型 ,有TxB()(TTTxEAxx因为 ,0.xT)0T所以,当 时, ,恒有xTBx()TTAx0即二次型 正定,故 是正定矩阵.TxB(用特征值) 的对称性略,设 是矩阵 的任一特征值, 是相应的特征向量,TX23即 用 左乘上式的两端得,,0,TAXTX().TAxX由 必有 ,故0,0TT因为 的特征值是 ,可见当 时必有 ,即 的特征值全BE00B大于 0,所以 是正定矩阵。