1、渭南师范学院本 科 毕 业 论 文题 目： 实 数 完 备 性 的 应 用 学 院： 数学与信息科学学院 专业班级： 数学与应用数学专业 2009 级 3 班 毕业年份： 2013 姓 名： 孙 月 学 号： 090741115 指导教师： 杨 倩 利 职 称： 教 授 渭南师范学院教务处 制目 录本科毕业论文任务书.1本科毕业论文开题报告.3本科毕业论文登记表.5本科毕业论文文稿.7本科毕业论文答辩记录 （论文最后页码+1）1渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书论 文 （ 设 计 ） 题 目 实 数 完 备 性 的 应 用学 生 姓 名 宋 体 小 四 院 系 、 专 业 、 班 级 数
2、信 学 院 数 学 系 数 学 与 应 用 数 学2009 级 3 班毕 业 年 份 2013 学 号 090741115指 导 教 师 孙 月 职 称 教 授 一、文献查阅指引1、阅读下列文献：1华东师范大学数学系.数学分析第三版M.北京:高等教育出版社,2001:52-63.2陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版M.北京：高等教育出版社,2004:75-90.3费定晖,敖学圣.基米多维奇数学分析习题集题解M.济南：山东科学技术出版社，2006:62-95.4巩增泰.数学的实践与认识 J.西北师范大学数学与信息科学学院,2004,6(1):7-8.2、通过学校图书馆、数信学院重点学科资料室查
3、阅有关实数完备性的文献二、内容要求主要填写指导教师对毕业论文在撰写具体内容、论述的重点、具体方式、方法等方面的要求，不要填写笼统的、对任何论文都适用的要求。 （宋体小四）2三、进度安排暂时不填写，5 月初论文指导委员会将发布统一的进度要求，根据要求再填写。四、起止日期 年 月 日 至 年 月 日指 导 教 师 （签名） 系 主 任（签名） 主 管 院 长 （签名） 年 月 日注：1. 任 务 书 由 指 导 教 师 填 写 、 经 系 主 任 及 主 管 院 长审 批 后 ， 在 第 七 学 期 末 之 前 下 达 给 学 生 。32. 文 献 查 阅 指 引 ， 应 是 对 查 阅 内 容
4、和 查 阅 方 法 的 指 引 ， 即 查 阅 什 么 和 怎 样 查 阅 。渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告论 文 （ 设 计 ） 题 目 实 数 完 备 性 的 应 用学 生 姓 名 孙 月 院 系 、 专 业 、 班级 数 信 学 院 数 学 系 数 学 与 应 用 数 学2009 级 3 班毕 业 年 份 2013 学 号 090741115指 导 教 师 杨 倩 利 职 称 教 授一、拟开展研究的价值、意义宋 体 小 四 （ 在 老 师 指 导 下 填 写 ）二、研究步骤、方法及措施宋 体 小 四 （ 在 老 师 指 导 下 填 写 ）4三、论文拟定提纲宋 体 小 四 （ 在
5、 老 师 指 导 下 填 写 ）5四、主要参考文献1华东师范大学数学系.数学分析第三版M.北京:高等教育出版社,2001:52-63.2陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版M.北京：高等教育出版社,2004:75-90.3费定晖,敖学圣.基米多维奇数学分析习题集题解M.济南：山东科学技术出版社，2006:62-95.4巩增泰.数学的实践与认识 J.西北师范大学数学与信息科学学院,2004,6(1):7-8.5李万军.确界定理新证J.宜宾学院学报,2003,3(5):2-4.6刘永健,唐国吉.实属完备性的循环证明及其教学注记J.时代教育,2009(2):5-12.7裴礼文.数学分析中的典型问题与
6、方法M.北京：高等教育出版社，1993:5-12.8陈传璋.数学分析第二版M.北京：高等教育出版社，2007:125-134.9曾捷.数学分析中的方法和若干问题 上册 湖南科技出版社,2006:23-54 10何联毅。数学分析习题课讲义 上册 高等教育出版社，2001：65-87指导教师意见： 指导教师签字： 年 月 日主管院长意见： 主管院长签字： 年 月 日注：开 题 报 告 是 在 导 师 的 指 导 下 ， 由 学 生 填 写 。渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表论 文 （ 设 计 ） 题 目 实 数 完 备 性 的 应 用学 生 姓 名 孙 月 院 系 、 专 业 、班 级 数
7、信 学 院 数 学 系 数 学 与 应 用 数 学2009 级 3 班毕 业 年 份 2013 学 号 090741115指 导 教 师 杨 倩 利 职 称 教 授6一、 论文摘要（中文）实数集的完备性是我们研究实数集的一个基本特征,它在微积分学中起着重要的理论基础作用.我们在学习的过程中可以从不同的方面来刻画实数集的完备性,因此就得出了多个实数集的完备性基本定理,主要包括六个实数集完备性基本定理.通过对这六个基本定理的应用,来对实数集完备性基本定理进行更加深刻的理解.二、论文摘要（英文）Completeness of the set of real numbers is its basic
8、character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. It contains six basictheorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principl
9、e theorems is systematic discussion about it, and makesus acquire more recognition and understanding.三、成绩评定指导教师评语：指导教师签字： 年 月 日7评阅人评语：评阅人签字： 年 月 日答辩小组评语：成 绩(分数)手写成绩答辩小组组长签字： 年 月 日答辩委员会审核意见：答辩委员会主席签字： 年 月 日8实数的完备性及其应用孙月（渭南师范学院 数学与信息科学学院 09 数本三班）摘 要：实数集的完备性是我们研究实数集的一个基本特征,它在微积分学中起着重要的理论基础作用.我们在学习的过程中可
10、以从不同的方面来刻画实数集的完备性,因此就得出了多个实数集的完备性基本定理,主要包括六个实数集完备性基本定理.通过对这六个基本定理的应用,来对实数集完备性基本定理进行更加深刻的理解.关键词：完备性；反证法；连续性.引言众所周知,数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性,可微性以及可积性）,所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限,不仅与数列本身的结构有关,而且也与数列所在数集有关.如果在有理数集 Q 上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如,单调有界的有理数列 就不存在极限,因为它的极限是 e,是无理数.由1n于实数集关于极限
11、的运算是封闭的,是实数集的优点,是有别于有理数集的重要特征.因此,将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置.1.实数集的完备性定理 1 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.定理 2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛定理 3 (区间套定理） 设 为一区间套：,nab1.1,2nnab2. .0lim则存在唯一一点 .,1,nab9定理 4 (有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆盖,Hab即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内则在 H 中必存在有限个开,ab ,区间,它们构成 的
12、一个有限开覆盖,ab定理 5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ,即在S的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ,也可以不属于 ）SS定理 6 (柯西准则) 数列 收敛的充要条件是： ,只要n0,N, 恒有 （后者又称为柯西（ Cauchy）条件,满足柯西条件的,nmNmn数列又称为柯西列,或基本数列）2. 实数完备性的应用实数的完备性定理在闭区间上连续函数性质的证明以及数列收敛有着广泛的应用我们将通过一系列典型的例题来描述实数完备性定理的应用并且认识实数完备性定理在数学学习中的重要作用和地位.2.1 实数完备性在连续函数性质方面的应用例 1.设 为 上的增函
13、数，其值域为 。证明 在 上连续。f,ba)(,bfaf,ba证明：反证法。假设 在 上某点 不连续，则存在 ，对任意的 ，存在f,0x00，使得 。);(0xU)(f又 为 上的增函数，则有 。f,ba )()(0bfxfa是一个闭区间，由实数的稠密性，对上述 ，存在 ，当)( 0时，有 成立。00x0)(xf由假设推出的结论与此矛盾，因此假设错误，原命题结论成立。即 在f上连续。,ba例 2. 证明 若函数 在闭区间 上连续,则它在 上有界.()fxab,ab10证明：用反证法. 若 在 无界,将 等分为两个小区间 ,则()fxab,ab,2ab与至少在其中一个区间上无界,把它记为 ；f
14、1,再把 等分为两个小区间,同样 至少在一个区间上无界,记为 .1ab()fx2,ab如此进行下去,得到一个闭区间套 ,且 在任何一个区间上都是无nab()f界的.根据闭区间套定理,存在唯一的实数 属于所有的闭区间 ,并且nablimlinnab因为 ,而 在点 连续,则 对于一切ab()fx0,M有 .,xU由于 对于充分大的 n 有 于是得到limlinnn,abUab在 （n 充分大）上有界.矛盾.即证.()fx,ab例 3. 若函数 在闭区间 上连续,且 * 0,则一定()fxb()f存在 ,使得 .0证 不失一般性,设 0, ,定义集合 V：()fa()0fb.显然,集合 V 有界,
15、非空,所以必有上确界.令 ,()0,Vxfab sup下面证明 且()0f由 的连续性及 0,()fxf11,:()0;xafx再由 于是可知： 即0b22,:()xbf12ab,a取 ,因为 ,可以得到1,nnxVx ()0nfx()limnff11若 ,由 在点 的连续性, .()0f()fx0,:()0xUfx这就与 产生矛盾.于是必然有 .即证. supV()f2.2 实数完备性在证明函数一致连续方面的应用。例 4.设 在 上连续 ,且 存在. 证明 在 上一致连续。f),a)(limxfxf),a证明：因为 存在，设 ，则对任意的 ，存在 ，当(lixfxA00M时，有 。MA)又
16、在 上连续，从而可得，有 在 上一致连续。对任意(xf,a)(xf,a的 ，有 ， 。), xf)(Af(从而有 。所以2)()( Axffxf在 上一致连续。由例 10 的结论可知 在 上一致连续。)(xf),M,a例 5.证明： 在 上一致连续，但在 上不一致连续。2(xf,ba),(证明：先证 在 上一致连续，)由于 时，有,bax xbaxxxff ,m2)()()(2令 ，,ma2c所以对任给的 ，取 ，当 且 时，有0c,bax x，故 在 上一致连续。)(xf)(xf,ba再证 在 上不一致连续。,取 ，无论正数 多么小，存在 满足：102,112xx，但 ，21x 021212
17、1 4x所以 在 上不一致连续。)(f),(例 6.若函数 f 在闭区间 上连续,则 f 在 上一致连续.ab,ab12证明：用反证法.假设 在 上非一致连续,则存在 及两点列 ， ,()fxab0nx满足 .,n011,2nnxff因为 有界,由聚点定理的推论有,存在收敛子列 ： .nx knx lim,knab在点列 中取子列 ,其下标与 下标相同,则由 ,nknxknx 1,2kkn又得到 limli likkkkknnnnx由于函数 在点 连续,因而有fx mkkfxff于是得到： 但是这与 矛盾.lilikknnnff 0n所以假设错误.即证.2.3 实数完备性在可测集上的应用。例
18、7. 证明实数集 是不可列集R证明： 用反证法.假如 可列, 即 . ,21nx先取区间 ,使 ,然后将 三等分,则三等分的小区间中至1baba1ba少有一个不含 ,将其记为 ,又将 三等分,2x22同样必有一个小区间不含,将其记为 ;3如此继续下去,我们得到一个闭区间套 ,满足 .n),321(,nbaxn由闭区间套定理,存在惟一实数 ,而 ,这)1(,ba N与集合 表示实数集 的全体实数产生矛盾,命题得证 ,21nxR2.4 实数完备性在数列收敛性方面的应用。例 8.设 为任意正数，且 ，设 ， （1,ba1ba12nnba1nba） ，则 ， 收敛，且极限相同,32nn证明：由 ，1n
19、nba12nbannb1知1nnb11nn则 ，即 为单调有界数列1013又 ，且10ban，112nnna121nnba0)(11nnba所以 亦为单调有界数列na由单调有界必有极限定理， 与 存在，且分别记为 与 在nlimnli与 两端同时取极限 ，得 与 12nnba1nba ba2a考虑到 为任意正数且 , 110ban即得 0例 9.证明:设 为数列,若对任意的 ,存在 ,使得 时,有 na0NNnm,则数列 收敛. nma分析： 由已知条件可得存在 ,当 时,有 ,即在区间00n0Nna内含有 中几乎所有项,由极限定义可知数列 收敛点必在其,00Nna 内部.此时只需利用区间套定
20、理证明该点的存在性.证明： 由假设 ,当 时,有 ,即在区间N00n0Nna内含有 中几乎所有项.,00Nana令 ,则存在 ,在区间 内含有 中几乎所有21121,11Nabna项；令 ,则存在 ,在区间 在区间内含有 中22N222,11Na n几乎所有项；依次令 ,则得到区间列 ,满足:其中每个区间都含有 中21,43nbna几乎所有项; ,)021;,321(,1 nnnn aba显然 构成闭区间套,nb14存在 ,且对任意的 ,存在 ,使得 ,有)32,1(,nba 0Nn,Un由极限定义 内含有 中几乎所有项,即 .命题得证.,nanalim2.5 实数完备性在点集收敛方面的应用。
21、例 10. 用有限覆盖定理证明聚点定理。证明：设 E 为 R 中一个有界无穷点集，a 与 b 分别为 E 的下界与上界，于是有 E ,b . （用反证法）假如 E 中无聚点，则 x ,b，x 都不是 E 的聚点，于是存a在包含 x 的开区间 ，使得 中仅有 E 中的有限多个点.显然，开区间集xIxIH= |x ,b是 ,b的一个开覆盖.根据有限覆盖定理，从 H 中存在有限个Ia区间 ， ， ， 也覆盖 ,b，由于 E=（ E）1x23IxnIa1Ix（ E） （ E）.又由已知 E 为无限集，显然等式右边为有限集，I与已知 E 为无限集矛盾. 这表明假设 E 无聚点不成立.E 中至少有一个聚点
22、.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析第三版M.北京:高等教育出版社,2001:52-63.2陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版M.北京：高等教育出版社,2004:75-90.3费定晖,敖学圣.基米多维奇数学分析习题集题解M.济南：山东科学技术出版社，2006:62-95.4巩增泰.数学的实践与认识 J.西北师范大学数学与信息科学学院,2004,6(1):7-8.5李万军.确界定理新证J.宜宾学院学报,2003,3(5):2-4.6刘永健,唐国吉.实属完备性的循环证明及其教学注记J.时代教育,2009(2):5-12.7裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，1993:
23、5-12.8陈传璋.数学分析第二版M.北京：高等教育出版社，2007:125-134.9数学分析中的方法和若干问题 上册 湖南科技出版社 10数学分析习题课讲义 上册 高等教育出版社 Completeness of the system of real numbers and applicationsSunYue(Wei Nan teacher Univercity Mathematics and information Science Class3 Gread 2009)15Abstract：Completeness of the set of real numbers is its bas
24、ic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. It contains six basictheorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it, and makesus acquire more recognition and understanding.Key Words: Completeness; Proof by contradiction; Continuous
