1、波利亚合情推理模式合理性之新证陈翠花 翟永恒（河南师范大学 数学与信息科学学院，河南 新乡 453007）摘要：本文以主观贝叶斯理论为工具，对波利亚的合情推理模式及相应的论证模式在形式上予以统一，并对猜想的证据不确定情况之合理性进行了补证.关键词：主观贝叶斯理论； 合情推理模式； 概率演算1 波利亚对其合情推理模式合理性的论证及其不足波利亚借鉴凯恩斯等人的研究成果，使用概率演算的方法对合情推理模式的合理性进行了论证.但由于数学猜想没有随机性（只能真或假） ，不满足进行概率演算的前提条件，所以波利亚首先进行了一些界定：将猜想 A 成立的可靠性，即研究者对猜想 A 成立的信心这一带有随机性的值作为
2、运算对象，并假定研究者具有客观性.通过这一极富创造性的界定，波利亚成功的实现了对合情推理的首次定量研究.然而我们知道，合情推理的主要思路是：通过考察猜想 A 的相关猜想 B 的真假，从而帮助判断 A 的真假.波利亚详细分析了当研究者成功断定了 B 的真假后对 A 的认识将如何变化，即 P(A|B)或 P(A|B)与 P(A)相比发生了怎样的变化.但实际上，猜想 B 多数也是很难断定真假的.对于这种不确定情况，也许是受当时不确定推理的定量研究还不够成熟的限制，波利亚并没有对此给出回答，并且到目前为止，数学教育领域对不确定情况基本上仍停留在波利亚的研究成果上.今天，研究不确定推理的方法已经很多，如
3、在人工智能领域广泛使用的主观贝叶斯理论、模糊数学等，这就为我们更全面的论证合情推理模式的合理性提供了新的理论工具.本文借鉴人工智能领域内用来模拟不确定推理的主观贝叶斯理论，将各种合情推理模式在形式上予以统一，并对合情推理模式的合理性进行了比较全面的论证.2 主观贝叶斯理论简介 1 135-139主观贝叶斯理论及相应的推理模型是由杜达（RODuda）等人 1976 年提出的，并在斯坦福大学著名的矿藏勘探专家系统 PROSPECTOR 中获得了成功的应用.2.1 几率函数 几率函数 O（A）等价于概率函数 P（A）,定义如下：O（A）= ， P（A）=()1()1其中 P(A)0，1, O(A)0
4、，+).显然，概率越大则几率越大，当 A为不可能事件时 O(A)=0, A 为必然事件时 O（A）=+.2.2 充分性度量与必要性度量 由几率函数定义与概率相关知识可知：， (|)(|)(PBOAO (|)(|)(PBA 充分性度量 LS记 LS= , 则 O（A|B）=LSO(A) (|)LS 反映了 B 对 A 的支持程度,LS 越大表明 B 对 A 越支持，即 B 的出现对 A充分性越大.其中当 LS=0 时，O（A|B）=0，说明 B 真则 A 假；当 LS（0，1）时，O（A|B）O(A)， B 支持 A；当 LS=+时，B 真则 A 真，说明 B 的出现对 A 是充分的.必要性度量
5、 LN记 LN= ， 则 =LNO(A) (|)P (|)LN 反映了B 对 A 的支持程度，即 B 的出现对 A 的必要性.其中当 LN=0 时, =0，B 真则 A 假，说明 B 的出现对 A 是必要的；当 LN(0,1)时(|)OABO(A)，说明B 支持 A；当 LN=+(|)时，B 真则 A 真.2.3 主观贝叶斯推理模型及相关算法图一是主观贝叶斯推理模型的示意图.其中B、A、LS 和 LN 分别代表证据、结论、推理模型的充分性度量和必要性度量.特别要注意的是，LS 和 LN 的取值范围决定了证据 B 与结论 A 间的逻辑关系.例如，若 LN=0 且 LS=+，则 A 与 B 互为充
6、要条件，即 .AB使用此模型进行推理基本过程是：根据证据 B 的先验概率 P（B）和 LS、LN,将结论 A 的先验概率 P（A）更新为形如 P（A|B） 、P（A|B）的后验概率.其中，P(A)、P(B)、LS、LN 的值均由相关领域的专家给出.由于证据 B 的真假可能是确定的，也可能是不确定的，还可能是多个证据的组合，而各种情况下 A 的后验概率计算方法各不相同，所以下面对这三种情况分别进行讨论.证据 B 确定若 B 真, (|)()()(|)111OBLSALSPP A若 B 假， (|)()()(A|)+NO证据 B 不确定现实中，证据 B 大多是不确定的，需要先对证据 B 进行考察（
7、记为 S） ，以求出 B 成立的概率 P(B|S).这样，结论 A 成立的可能性实际上是以考察 S 为基础的，所以 A 成立的概率应表示为 P(A|S).整个推理过程可以表述为:利用P（B|S） 、P(A)、LS 和 LN，求结论 A 的后验概率 P（A|S）.根据杜达等人 1976年证明的一个公式：P（A|S）=P（A|B）P(B|S)+P(A|B)P(B|S) B ALSLN图一可得： ()|)(| (|(|)|)|1()PABBPSPAS (|)()|1oPBS从函数图像（图二）容易看出：当P(B|S)=0 时，P（A|S）P（A|B） ，说明考察 S 已经断定 B 假，这时P（A|S）
8、可由得；当 P(B|S)=P(B)时，P(A|S)=P(A),说明对 B 的考察 S 无效，推理没有取得进展，结论 A 成立的可能性仍为 P(A)；当 P(B|S)=1 时，P（A|S）P（A|B） ，说明考察 S 已经断定 B 真，这时 P（A|S）可由得.至于如何确定 P(B|S)，读者可参阅相关文献.证据 B 为若干独立证据的组合若有 n 个相互独立的不确定证据 Bi（i=1,2,n）对结论 A 都有某种程度上的影响，且每个证据 Bi有相应的考察 Si，则由这些证据的组合得到的 A 的后验几率： O（A|S 1&S2&Sn）= 1(|)OA2(|)(|)nOS3 波利亚合情推理模式及相应
9、的论证模式的统一形式我们知道,波利亚合情推理模式总共有四种类型:审定猜想 A 的结论 B,即AB 真；审定猜想 A 的根据 B，即 BA 真；审定猜想 A 的不相容猜想 B，即AB 假；审定猜想 A 的类似猜想 B.若把这四种类型中的 A 和 B 分别叫作主观贝叶斯推理的结论和证据，并赋予准确的 LS 与 LN 值，就可以实现形式上的统一.具体过程如下：审定猜想 A 的结论 B由真值表知,当 B 假时 A 必假，说明 B 的出现对 A 是必要的，LN0.对应论证模式一；当 B 真时，猜想 A 怎样呢?没有论证结论.然而这种证实却使 A 变得更为可靠 2 2.即 B 支持 A，O（A|B）O(A
10、)，LS1.对应合情推理模式一. 审定猜想 A 的根据 B由真值表知,当 B 真时 A 必真，即 B 的出现对 A 是充分的,LS=+.对应论证模式二；当 B 假时，没有论证结论.然而在作为猜想 A 的可能依据被推翻时，我们对猜想 A 的信任只能减少 2 20.即 O(A|B)O(A)，LN1.对应合情推理模式三.审定与猜想 A 类似的猜想 B 我们知道有效的类比可以分为正向类比和反向类比，这里我们只考虑 B 是(一)A一B一B一一A A一B一一一B一A一(一)(一)A一B一A一一B一一一一(一)A一一一B一A一一一B(一)A一一一一B一B一一AA一B一一一B一A一一一(一)(一)A一一一B一
11、A一一B一一一一一一A 的正向类比，即 B 真时，A 的可靠性增大.即 O(A|B)O(A)且 O(A|B)1 且 01 且 LN=0.由 LN=0 知 O(A|B)=0,即 P(A|B)=0.由 LS1 知 O(A|B)O(A)，即 P(A|B)P(A).记 Y=P(A|S)-P(A)，则 Y 代表对 B 进行考察 S 后，对 A 成立的信心的变化量.猜想 B 真假确定猜想 B 真假确定，意味着通过 S 已经确定 B 真或假，即 P(B|S)1（或 0） ，此时对 A 的信心为 P(A|S)P(A|B)（或 P(A|B)）.这种情况波利亚已经用概率演算的方法进行了详细的论证，本文不再赘述.猜
12、想 B 不确定有时虽然对 B 进行了考察 S，但并不能断定 B 的真假，即 0P(B|S) 1.现根据公式的需要将 P(B|S)分为三种情况：当 0P(B|S)P(B)时，表示通过考察 S 发现，开始高估了 B 成立的可能性 P(B)，且 P(B|S)越小高估的程度就越大；当 P(B|S)P(B)时，表示考察 S 无效；当 P(B)P(B|S) 1 时，表示通过考察 S 发现，开始低估了 B 成立的可能性，且 P(B|S)越大低估的程度就越大.由公式得:当 0P(B|S) P(B)时， （注意：因为 LN0，所以 P(A|B)=0）()()|) |()(| (|)PAPABSYBPS =显然，
13、Y 是关于 P(B|S)的增函数，且P(A)Y0.这说明，经过对 B 的分析，一旦发现猜想 B 的实际可靠性没有开始预期的大，即发现开始高估了 B 的可靠性，对猜想 A 成立的信心就会随之下降.且对 B 的高估程度越大，对 A 成立的信心下降幅度就越大.当 P(B|S)= P（B）时，Y=P(A|S)- P(A)=0，表示对 B 的分析没有取得进展时，对 A 的信心不发生变化.当 P(B)P(B|S)1 时，(|) (|)(|)(1)(|)()APASPBYSPB 由 P(A|B) P(A)知，Y 是关于 P(B|S)的增函数,且 0YP(A|B)P(A) .其中 P(A|B)-P(A)= (
14、常数).此式说明经过对 B 的分析，一旦发(1)()LSA现 B 的可靠性比开始预期的大，即发现开始低估了 B 的可靠性，对 A 成立的信心就会随之上升.且对 B 的低估程度越大，则对 A 成立的信心增加幅度越大.综上可知,对 B 进行考察 S 后对 A 成立的信心变化函数为：(|)|(|)1()PAYBSP0(|)(|1BSP上式说明，只要对 B 的考察 S 有效(P(B|S)P(B)，即使不能断定 B 的真假，但研究者对 A 的认识也会加深.因此“审定猜想 A 的结论”确实具有其合理性. 参 考 文 献 1 王士同等.人工智能教程M.北京：电子工业出版社，2004.2 美G波利亚著(李志尧等译).数学与猜想(第二卷)M.北京：科学出版社，2002.作者简介 陈翠花 女（1955.4）河南师范大学数学与信息科学学院副教授，硕士研究生导师，从事课程与教学论研究翟永恒 男（1979-）河南师范大学数学与信息科学学院 硕士研究生 从事课程与教学论研究联系电话 15936546368
