1、河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题(1)文科做 15题，理科做 37题，每题 20 分，满分 100 分。1. 已知平行四边形的两边长分别为 3 和 5，一条对角线长为 6，求另一条对角线长。2. 求过抛物线 21yx与 2yx的交点的直线方程。3. 在等差数列 na中， 3， 7a， nS为其前 项和。问数列 nS中哪一项最小？并求出最小项值。4. 在 ABC中，若 2bc，证明： 60C。5. 是否存在四个正实数，使得两两之积分别为 2、3 、5、6、10、16 ？证明你的结论。6. 设 1和 2是平面上两个不重合的固定圆周， 是该平面上的一个动圆，它与 1C和 2均相切。问：
2、的圆心轨迹是何种曲线？说明你的理由。7. 求函数 ()|1|2|201|fxxx 的最小值。河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题(2)1. 设复数 z满足 |1且 52z，则 |z。2. 在正四棱锥 PABCD中， MN、 分别为 PAB、 的中点，且侧面与底面所称的二面角的正切为 2，则异面直线 与 所成角的余弦为 。3. 曲线 31yx的切线过点 (1,)，但点 (,1)不是切点，则该切线的斜率是。4. 若 23AB，则 22cosAB的最小值和最大值分别为 。5. 如图， 1O与 2外切于点 C， 1OA、 2都内切 A于 B、 ，设,，则( )。()cosin0sinco0()
3、sini0()sini022ABD6. 已知异面直线 ab、 成 6角， A为空间一点，则过 A与 ab、 都成 45角的平面( )。()有且只有一个 ()有且只有两个 ()C有且只有三个 ()有且只有四个7. 已知向量 31310,1, 1,22cxyzc 则 22xyz 的最小值为 。8. AB为过抛物线 24yx的焦点的弦， O为坐标原点，且 135OFA， C为抛物线的准线与 x轴的交点，则 ACB的正切值为 。9. 如图，已知 的面积为 ， DE、 分别为边 B、边 上的点， 为线段 DE上一点，设 ,DEFyz，且 1yx，则 D面积的最大值为 。10. 将一个正 11 边形用对角
4、线划分为 9 个三角形，这些对角线在正 11 边形内两两不相交，则（ ） 。()A存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形河南省济源第一中学数学教研室()B存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C存在某种分法，所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形()D任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形11.已知 AB不是直角三角形。(1)证明： tanttantatnCABC；2若 31tB，且 si2,si2的倒数成等差数列，求cosC的值。12. 已知圆柱形水杯质量为 a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置） 。质量为 b克的水恰好装满水杯，装满
5、水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。(1)若 3，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值2水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13.已知函数 212(),(),3xfffab。令 11,()nnxfx。(1)求数列 n的通项公式； 证明： 121ne 。14.已知双曲线2 12:1(0,),xyCabF分别为 C的左右焦点。 P为 C右支上一点，且使 123FP，又 12P的面积为 3a。()求 的离心率 e ；设 A为 C的左顶点， Q为第一象限内 C上的任意一点，问是否存在常数 (0),使得22QF恒成立。若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。15.
6、将一枚均匀的硬币连续抛掷 n次，以 np表示未出现连续 3次正面的概率。(1)求 p， 2， 3， 4p；探究数列 n的递推公式，并给出证明；河南省济源第一中学数学教研室(3)讨论数列 np的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。自主招生数学试题(3)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1) 设复数21aiw，其中 a为实数，若 w的实部为 2，则 的虚部为(A) 3 (B) 1
7、(C) 1 (D) 32(2) 设向量 a， b满足 |， abm，则 |(atbR)的最小值为(A) 2 (B) 21 (C) 1 (D) 21m(3)如果平面 ， ，直线 ， n，点 A， B满足： /， ， n， A，B，且 A与 所成的角为 4， ， n与 所成的角为 3，那么 与 所成角的大小为(A) 3 (B) (C) 6 (D) 8(4)在四棱锥 VBCD中， 1， 分别为侧棱 VB， D的中点，则四面体 1ABCD的体积与四棱锥 A的体积之比为(A) 1:6 (B) :5 (C) 1:4 (D) :3(5)在 中，三边长 a， b， c满足 3ab，则 tan2A的值为(A)
8、5 (B) 14 (C) (D) 2(6)如图， ABC的两条高线 AD， BE交于 H，其外接圆圆心为 O，过 作 F垂直 BC于F， OH与 相交于 G，则 OF与 面积之比为(A) 1:4 (B) :3 (C) 2:5 (D) 1:(7)设 ()0)axfe。过点 (,0)Pa且平行于 y轴的直线与曲线 :()Cyfx的交点为 Q，曲河南省济源第一中学数学教研室线 C过点 Q的切线交 x轴于点 R，则 PQ的面积的最小值是(A) 1 (B) 2e (C) 2e (D) 24e(8)设双曲线21:(,0)4xyCka，椭圆 2:14xyCa。若 2C的短轴长与 1的实轴长的比值等于 2的离
9、心率，则 1在 2的一条准线上截得线段的长为(A) k (B) (C) k (D) 4(9)欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 n种颜色之一，使得以正六边形的任何 3 个顶点作为顶点的三角形有 3 种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的 3 色组合，则 n的最小值为(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9(10)设定点 A、 B、 C、 D是以 O点为中心的正四面体的顶点，用 表示空间以直线 OA为轴满足条件 ()的旋转，用 表示空间关于 CD所在平面的镜面反射，设 l为过 B中点与 D中点的直线，用 表示空间以 l为轴的 10旋转。设 表示变换的复合，先作 ，再作 ，则 可以表示
10、为(A) (B) (C) (D) 二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(11)(本题满分 14 分) 在 ABC中，已知 2sincos1ABC，外接圆半径 2R。（）求角 的大小；（）求 面积的最大值。(12) (本题满分 14 分) 设 D、为 抛 物 线 24xy上 不 同 的 四 点 ， ,AD关 于 该 抛 物 线 的 对称 轴 对 称 ， B平 行 于 该 抛 物 线 在 点 处 的 切 线 l。 设 到 直 线 B， 直 线 的 距 离 分 别 为 12,d，已 知 12dA。（）判断 C是锐角三角形 、直角三角形 、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（）若
11、 B的面积为 240，求点 A的坐标及直线 BC的方程。(13) (本题满分 14 分) （）正四棱锥的体积 23V，求正四棱锥的表面积的最小值；（）一般地，设正 n棱锥的体积 为定值，试给出不依赖于 n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值。(14) (本题满分 14 分) 河南省济源第一中学数学教研室假定亲本总体中三种基因型式： ,Aa的比例为:2uvw(0,21)uvw且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个。（）求子一代中，三种基因型式的比例；（）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由。(15) (本题满分 14 分) 设函数 ()
12、1xmf，且存在函数 1(,0)2stabt，满足21tsf。（）证明：存在函数 ()(0),tscds满足 21()stf；（）设 113,12,.nnxfx 证明： 13nnx。河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题(4)解答题(每小题 25 分，共 100 分)1 （仅文科做） 02，求证： sinta （25 分）2 A、 B为边长为 1的正五边形边上的点证明： AB最长为 512 （25 分）3设 、 为 2yx上位于 y轴两侧的点，求过点 、 的切线与 x轴围成的图形面积的最小值 （25 分）4已知 1OA， B， (1)OPtA， QtOB， 01t ， PQ在 0t时取得
13、最小值。问当 05t时，求 与 夹角的取值范围 （25 分）5 （仅理科做）存不存在 02x，使得 sin,cota,ctxx为等差数列 （25 分）河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题(5)1. 求证： 2n时， 1!2n。2. 有小于 1 的正数： 1x， ， ， nx，且 121nx 。求证： 333124n 。3. 设集合 X是实数集 R的子集，如果点 0xR满足：对任意 0a，都存在 xX，使得0|xa，称 0x为集合 X的聚点。用 Z表示整数集，则在下列集合：1(),nZ； (2)； 1(3),0n； (4)整数集 Z中，以 0为聚点的集合有 。()23()14()13()
14、12(4)ABCD4. 求 44sin10i5sin70的值。5. 求证：3i,62x。6. 设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相距为 1， 2， 5的点都不同色，要求使用颜色最少。河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题(6)理科1. 设 51的整数部分为 a，小数部分为 b。()求 a， b； (2)求 2； (3)求 2limnnb 。2. 1x， y为实数，且 1xy，求证：对于任意正整数 ， 221nxy；(2)a， b， c为正实数，求证： 3abcz，其中 ， ， z为 a， b， c的一种排列。3. 请写出所有三个正整数均为质数且公差为 8的等差数列
15、，并证明你的结论。4. 已知椭圆21(0)xyab，过椭圆左顶点 (,0)Aa的直线 l与椭圆交于 Q，与 y轴交于 R，过原点与 l平行的直线与椭圆交于 P。求证： AQ， 2OP， R成等比数列。5. 已知 sinco1t，设 cosint，求 2()1nfss 。6. 随机挑选一个三位数 I。 ()求 I含有因子 5的概率； 求 I中恰有两个数码相等的概率。7. 四面体 ABCD中， ， ACBD， C。(1)求证：四面体的每个面都是锐角三角形；2四面体的三个面与底面 所成的角分别为 ， ， 。求 coscos的值。8. 证明当 p,q均为奇数时，曲线 2yxpq与 x轴的交点的横坐标均
16、为无理数。河南省济源第一中学数学教研室9. 设 1a， 2， ， 21na均为整数，对 1a， 2， ， 21na中任意 个数，存在一种分法可将其分成两组，每组 个数，使得两组中所有元素的和相等。求证： 1a， 2， ， 21na全部相等。文科1. 已知数列 na，且 (1)nSa。 求证： na是等差数列； (2)求 ,nSa所在的直线方程。2. 一元三次函数 ()fx的三次项系数为 3， ()90fx的解集为 (1,)。(1)若 70fa有两个相等实根，求 的解析式；2x在 R上单调递减，求 a的取值范围；3. 已知 |2PMN， (,0)， (2,)N， 1求点 P的轨迹 W；(2)直线
17、()ykx与 W交于点 A、 B，求 AOBS( 为原点)。4. 12 名职员(其中 3 名为男性)被平均分配到 3个部门。1)求此 名男性被分别分到不同部门的概率； (2)求此 名男性被分到同一部门部门的概率。(3若有一男性被分到指定部门，求其他 名男性被分到其它不同部门的概率。5. 设 12nxxaN ，12231n nnSaxaxa。()求证： 30； ()求 4S的最值，并给出此时 ， 2， 3， 4x满足的条件；若 5，求出 1x， 2， 3， 4x， 5不满足时的条件河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题(7)1. 圆内接四边形 ABCD中， 1， 2BC， 3D， 4A。求
18、该圆的半径。2. 已知一无穷等差数列中有 3项： ， 5， 4。求证： 09也为该数列中一项。3. 是否存在实数 x，使得 tanx与 cotx同时为有理数？证明你的结论。4. 已知对任意 均有 cosb恒成立，求 ab的最大值。5. 某次考试共有 333 名学生做对了 1000 道题。做对 3 道及以下为不及格，6 道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？自主招生数学试题(8)1. 若 a， b， c都是有理数， abc也是有理数，求证： a， b， c都是有理数。2. (1)证明：对于任意一个四面体，至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形；(2)四面体一个顶点处的三个角分
19、别是 2， 3， arctn2，求 3的面和 arctn2的面所成的二面角。3. 求正整数区间 ,mnnN、 中，不能被 整除的整数之和。4. 已知 sico1si2，求 的取值范围。5. 若 20l(),(),xffxf求 ()fx。6. 求证：以原点为中心且面积大于 4的矩形中，除原点外至少还有两个格点(横、纵坐标都是整数)。河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题(9)1. 求证：边长为 1的正五边形对角线长为 512。2. 六边形 1ACB中 111 1,ABCABCAB。求证： 的面积是六边形 面积的一半。3. 已知 1231231231231, ,abaabbmin,in。求证
20、： 123123ax,max,b。4. 排球单循环赛，南方球队比北方球队多 9支，南方球队总得分是北方球队的 9倍。求证：冠军是一支南方球队。(胜得 分，负得 0分)5. OXYZ坐标系内 xOy平面内 2yx绕 y轴旋转一周构成一个不透光立体，在点(1,0)设置一点光源， 平面内有一以原点为圆心的圆 C被光照到的长度为 2，求圆C未被光照到的长度。河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题 (10)1. 求 ()xef的单调区间和极值。2. 设正三角形 1T边长为 a， 1n是 T的中点三角形， nA为 T除去 1n后剩下三个三角形内切圆面积之和。求 1limknA。3. 已知某音响设备由
21、五个部件组成， 电视机， B影碟机， C线路， D左声道和 E右声道，其中每个部件正常工作的概率如下图所示。能听到声音，当且仅当 A与 B中至少有一正常工作， C正常工作， D与 E中至少有一正常工作；且若 D与 E同时正常工作则有立体声效果。求 (1)能听到立体声效果的概率； (2)听不到声音的概率。4. 求三直线 160,0xyxy所围成的三角形上的整点(横、纵坐标都是整数)个数；(2)求不等式组 260xy的整数解个数。5. 已知 (1,)A， BC是正三角形，且 BC、 在双曲线 1(0)xy一支上。河南省济源第一中学数学教研室(1)求证 BC、 关于直线 yx对称； (2)求 ABC
22、的周长。6. 对于集合 2MR，称 为开集，当且仅当 0,PMr，使得20|Pr。判断集合 (,)45xy与 (,)0,xy是否为开集，并证明你的结论。自主招生数学试题 (11)1. 求最小正整数 n，使得 1i23nI为纯虚数，并求出 I。2. 已知 ab、 为非负数，且 ab。 4Mab，求 的最值。3. 已知 sin,cos成等差数列， sin,cos成等比数列，求1co2的值。4. 求由正整数组成的集合 S，使 中元素之和等于元素之积。5. 随机取多少个整数，才能有 0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数。6. 2yx上一点 P(非原点)，在 处引切线交 xy、 轴于 QR、 ，求
23、 |P。7. 已知 (f满足：对实数 ab、 有 ()()fafbf，且 |()|1fx，求证： ()fx恒为零。(可用以下结论：若 lim0,|,xgxM为一常数，那么lim)(0xfgx)河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题 (12)一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 函数 32cosincosyxx的最大值为2840()()()()7327ABCD2. 已知 ,abcd是实数， azbwcd，且当 Im0z时， I0w。则()0()0()()abcDadbc(注： Imz表示复数 z的虚部)3. 甲、乙、丙、丁等七人排成一排，要求甲在中间，乙丙
24、相邻，且丁不在两端，则不同的排法共有()24A种 ()8B种 ()96C种 ()120种4. F为抛物线 2ypx的焦点，过点 F的直线 l与该抛物线交于 AB、 两点， 12l、 分别是该抛物线在 、 两点处的切线， 12l、 相交于点 ，设 |,|Fab，则 |CF2()()()()abAabBCDb5. 设 是三次多项式 310fx的一个根，且2。若 ()hx是一个有理系数的二次多项式，满足条件 ()h。则 ()h河南省济源第一中学数学教研室1()2()()()2ABCD二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6. 已知 ()fx是定义在 R上的奇函数，且当 0x时， ()fx单调递增， (1)0f。设2sincos2mx，集合 |Mm对任意的 0,2x， |Nm对任意的 0,x()0f，求 N。7. 甲、乙等 4 人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3 人中的任何 1 人。()经过 2 次传球后，球在甲、乙两人手中的概率各是多少？球经过 n次传球后，球在甲手中的概率记为 (1,2)np ，试求出 1np与 的关系式，并求出 p的表达式以及 limnp的值。8. 设 q、 是一元二次方程 210()xa的两个根，其中 0。令 1yq，21ny， 1,n 。证明： 1212lin npyy 。
