1、无须编程设计鳞甲反光杯教程（2）济南大学 物理科学与技术学院苏永道一、公式推导设 为自变量， 为因变量，则抛物线方程 ，式中 ， 为抛物线的焦距，绕 zzy2yPz2f轴旋转一周即为抛物面，故 就是抛物面反光杯的焦距。f由抛物线方程可以得到，在距离坐标原点 z 处抛物面横截面的半径为（即 z 点对应抛物面母线上一点的高度 y）,2yPz设第一个横截面（如 的横截面）的半径为 ，则横截面的周长为f()iy. ()()()2iiiCyz0,12,3假如在该周长放置 个鳞片，则每个鳞片的线度（“直径” ）为n. (1)()()() ()iii ilyn,i为了使鳞片排列成近似正六边形和近似正方形，在
2、圆周上排列的两相邻鳞片须重叠一半，为达到这一要求，即以 为半径（不是以它为直径）在曲率半径为 R 的球体上截取鳞片，球体的曲率半径()ilR 越大，截取的鳞片越薄，反光杯发光角度就越小，反之发光角度越大，见图 1；同时还要保证在沿 z轴方向增加 后，抛物面母线增加了 ， 则增加 ，即 ，只有使(1)iz(1)zil()iy(1)i()()(1)iiiyy，纵向排列的两相邻鳞片在母线上也会重叠一半，见图 2。(1)zill由图 2 几何关系可知： , (2)22(1)(1)(1)ziiily. (3)22()()()iiii由抛物线方程 求导取有限量得： 2yPz,（ 求导 ） (4)(1)(1
3、)iiiyzd2yz将式(4)代入式(3)得：.（52 22(1)(1)()(1) )i iiii iPPzzyzy）()ilxo1图 圆 周 上 鳞 片 重 叠 一 半 排 列 图展开式（5）得2 2(1)(1)()()1 0iiiiPzPzyy改写为：. （6）2(1)(1)0iiAzBC式中， ， ，2()iPyBP。2()iC只要给出焦距 的值， 则为已知；f2f值给出后， 也就知道了， 与每个圆周上贴的鳞片数量 n 有关，只要鳞片数量 确定了，()iz()iy n也就确定了。代入上述一元二次方程就可就可以求出 ，由此得到 ，把 (1)iz(1)()(1)iizz代入抛物线方程又求出了
4、 ， 。(1)()(1)iizz(1)()2iiyP()()()iiyy可得到： ,2(1)(1)()lz由抛物线方程求导得到的 可知抛物面上每个坐标点的斜率为dy. ()()()taniiiPz1()()taniiPy第二个鳞片比第一个鳞片放大了 倍()i.(1)()() ()(),zizii ziilrrl坐标、放大倍率和倾斜角度都是已知数，把鳞片按放大倍率放大后，在对话框输入坐标值就可把第二个鳞片放在应有的位置。其他依次类推，都可以准确无误地放置在他们应有的位置。为了发挥电脑的计算功能，把上述公式输入到 Excel 表格中，根据焦 f、设置初始 z 值和每个圆周鳞片数 n，就可自动计算出
5、沿抛物面母线上每个鳞片的坐标位置，鳞片的放大率 、鳞片倾角 等数值。二、设计步骤步骤一：插入半径 R=10mm（或 15mm，20mm 等）的球体，再插入半径 r=2.5133mm 圆柱(第一个鳞片对应的半径)，移动圆柱，让圆柱横截面的圆周正好与球面相交，二者交集得到曲率半径为 R 的鳞片，见图 3。(1)iziy)i (1)ioyz(1)zil2图 抛 物 面 母 线 截 面 上 鳞 片 重 叠 一 半 排 列 图图 3(a) 插入球体图 3(b) 插入圆柱图 3(c) 二者交集后得到的鳞片步骤二：移动鳞片到坐标原点，并旋转 90 度，见图 4。图 4 移动到坐标原点并旋转 90 度鳞片步骤
6、三：给鳞片编号。给图 3 鳞片编为“鳞片 1”，选中“鳞片 1”，然后复制、粘贴，把粘贴的鳞片编为“鳞片 2”。选中“鳞片 2”，在界面中击右键出现带有“缩放”的对话框，点击后在缩放倍率里边黏贴电子表格鳞片序号为 2 的放大率 值，点击应用；然后复制粘贴“鳞片 2”，把粘贴的“鳞片 2”编为“鳞片 3”，选中“鳞片 3”， 在界面中击右键出现带有“缩放”的对话框，点击后在缩放倍率里边黏贴电子表格鳞片序号为 2 的放大率 值，点击应用。以此类推，直到需要的反光杯深度为止（一般要复制放大十几到二十几片鳞甲） 。在此作为演示稿只复制、粘贴和放大了 10 个鳞片，如图 5 所示。图 5（a）对复制编号
7、为“鳞片 2”的鳞片放大 1.09318 倍（电子表格中的 值）图 5(b) 复制、粘贴和放大的 10 个鳞片编号图 5(c) 复制、粘贴和放大的 10 个鳞片轮廓图步骤四：选中“鳞片 1”，在界面中击右键点击旋转，设置为绕 x 轴旋转，把对话框里边输入负号，复制电子表格鳞片序号为 1 的“鳞片倾角 ”值 45 度（或输入 45 度） ，点击应用，再从界面击右键点击“移动” ，在移动坐标中的 y 和 z 中分别复制、粘贴电子表格中序号为 1 的鳞片两个坐标值，点击应用就跳到它在抛物面的母线应有位置，对鳞片 2-10 都这样操作后，所有鳞片都有序的排列到抛物线母线上。如图 6 所示。图 6(a)
8、 鳞片 1 移动图示图 6(b) 鳞片 1-10 都旋转、移动到了抛物面母线上轮廓图图 6(c) 着色后的排列图示步骤五：对四边形鳞甲把 10 个鳞片并集，复制、粘贴，按 36050=7.2 度绕 z 轴旋转，再不断复制、粘贴旋转，直到布满圆周为止，则可得到四边形鳞甲反光杯。对于六边形的鳞甲反光杯，可以对鳞片奇数号并集、偶数号并集，然后选择其一绕 z 轴旋转 7.22=3.6 度，再把二者并集，按四边形的复制、粘贴旋转就可得到六边形鳞甲反光杯。如图 7 所示。图 7(a) 四边形鳞甲反光杯图 6(b) 六边形鳞甲反光杯步骤六：再用同焦距、长度和厚度合适抛物体与鳞甲并集，修正外表面就大功告成了，剩下的问题就是表面特性设置大家都会，不再赘述。说明：1、 该方法练习一到两遍，就可在 6 分钟之内设计一款鳞甲反光杯；2、 利用该教程理论公式编程后可以生成抛物面母线网格，也可以直接生成鳞甲反光杯；3、 该方法不一定很成熟，还可能存在许多不足之处。
