1、1数列章末总结学习目标 1探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法；2能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，3能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。学习过程 一、课前准备（1） 有关概念：1数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。2数列的通项公式：如果数列a n的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。3数列的递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前 n 项，且任一项 an 与它的前一项 an-1（或前 n 项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。4若数列a n的前
2、 n 项和为 Sn 则a12（ ）（ ）（2）等差与等比数列等差数列 等比数列定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。即 an-an-1=d，公差 d 可为正数、负数和零（A.P）如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。即aqn1，公比 q 是一个不等于零的常数。通项公式 n1()（来源：定义，迭加，迭代）amd（证明）aanmn10()， ，(定义,迭乘，迭代）中项若 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b的等差中项，且 2A=a+b。 （充要条件存在唯一）若 a，G，b 成等
3、比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G2=ab。G2=ab，仅是 a，G，b 成等比数列的必要非充分条件。前 n 项和Sand()112或（倒序相加）Snqn11（ ）（ ）()（错位相减）性质（1） aannr21nr（2） mpqN(,)(1) aqaqnnr1211（2） mpN(,)nq（3）若a n为 GP，则 an，a 2n，a 3n 也为等比数2aamnpq（3）若a n为等差数列，则 an，a 2n，a 3n 也为等差数列（4）若a n为等差数列，则 Sn，S 2n-Sn，S 3n-S2n也为等差数列（5）若a n， bn都是等差数列，则a n+c，kan， a
4、n+bn也是等差数列（其中 k、c 为任何常数）列（4）若a n为 GP，则 Sn， S2n-Sn，S 3n-S2n 也为等比数列。（5）若a n， bn都是等比数列，则ka n（k0） ，abn， 也是等比数列。判断方法（1） adn1（常数） an为等差数列（2） kb（k、b 不同时为 0 的常数）an为等差数列（3） SABn2（ 、 不同时为 0 的常数）an为等差数列（4） 2C,为等差数列（1）aqn1（q0 常数） an为等比数列。（2） acn(， 常数） an为等比数列。（3） nn122（ a0） 为等比数列。二、典例分析数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心内容之
5、一。它如同函数中的解析式一样，对研究数列的性质起着重要的作用。围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化规律与趋势，而且还便于研究数列的前 n 项和，因此求数列的通项公式往往是解决数列问题的突破口，在解题时，根据题目所给条件的不同，可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方法如下：1.叠加法（累加法）对于形如 an+1-an=f(n)型的，用叠加法例 1：已知数列a n中，a 1=1，且 an+1-an=3n-n，求数列a n的通项公式。变式：已知数列 满足 ， ，求 。na21nan21na2.叠乘法（累乘法）对于形如 )型的，用叠加法1(naf例 2:已知数列 满足 ，
6、 ，求 。n321anna13变式：已知 ， ，求 。31anna211)(na3.构造法其他的，已知数列递推公式求 an，用构造法（构造等差或等比数列）例 3：数列 中 ， ，求该数列的通项公式 。na1)2(12nan na评注：一般地，形如 为非零常数， ，可变形为 ，其中qpan,(1 )1p)(1nnap，则 是一个公比为 的等比数列。1pqpqn变式：已知数列 中， ， ，求 .na132nan4.由 Sn 求 an利用 与 消去 或与)2(11nSann )()11nnnn affSanS)2()(1nnSf消去 进行求解。)2(例 4：数列 前 n 项和 .（1）求 与 的关系
7、；（2）求通项公式 .a24nna1nana 数列求和1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前 n 项和的公式来求.等差数列求和公式： 1122nnaSd等比数列求和公式： 11nnnqa4常见的数列的前 n 项和： 123+n=(1)2， 1+3+5+(2n-1)= 2n2213+=()6， 333+n=(1)等.2、倒序相加法：类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列 ，与首末两项等距的两项之和等于首末na两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加
8、法.例 5：已知函数 2xf（1）证明： ；1ff（2）求 的值.289001ffff小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.3、错位相减法：类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法.若 ，其中 是等差数列， 是公比为 等比数列，令nnabcnbncq121nSc则 nq12311nbc两式相减并整理即得例 6、 （2008 年全国第 19 题第（2）小题，满分 6 分）已知 ，求数列a n的前 n 项和 Sn.1nn5小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边
9、同时乘以等比数列 的公比 ；将两个等式相减；利ncq用等比数列的前 n 项和的公式求和.变式：求和： 132)2(7531nxxS4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似 （其中 是1ncana各项不为零的等差数列， 为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方c法：（1） ，特别地当 时，1nknk1k1nn（2） ，特别地当 时n1n例 7、数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和na1()nanS小结：裂项相消法
10、求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.变式：在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和.121nan 12nnab5、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 8、求和： 12323543565235nnS6小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.变式：求和： 231nnSaaa例题参考答案例 1 变式：解：由条件知： 1)(121
11、nnan分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n)()( 13412 naaa)1()所以 nn1，2an23例 2 解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即1n)1(,1 )1(n13421naa n432an1又 ，例 2 变式解： 1232)(312)1( anan 3475618。例 3 解：由 有： 故数列 是以)2(12nan )2(1nna)2(1nan 2na为公比的等比数列，且首项为 21n1例 3 变式：解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式32na)(21ttan 321tan为 ,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2)3(1nnanb
12、41b31nabnb41为公比的等比数列，则 ,所以 .124n 21na7例 4 解：（1）由 得：214nnaS 1124nnaS于是 )()(1n所以 .12nan21（2）上式两边同乘以 得：1na由 .于是数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所以41211aSnnan)(n例 5 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 9285101010ffffff 9Sffff令 9821100ffff则两式相加得：所以 .299Sff92S例 6 解： 01 12(1)nnn A A12Sn得 0112221nnnn A A例 6 变式解：由题可知， 的通项是等差数列 2n1的通项与等比数列 的通项之积)(x 1nx设 . （设制错位）nn xxxS)(7531432 得 （错位相减 ）nnn xx )12(2)( 1432 再利用等比数列的求和公式得： nnxS1)( 21)()()2(xnS8例 7 解： 1231nnSaa41n= 1123 1nn例 7 变式解： 2121nan （裂项）)(82bn 数列b n的前 n 项和（裂项求和）)1()413()1()(8 nS 8例 8 解： 1232354565235nn146nn 253113145nnn
