1、 高中数学错题案例探究数学问题的解答几乎离不开数学运算，在数学运算过程中，一个小数点、一个符号等等，任何一个细节的微小疏忽，都会造成计算结果的重大错误失之毫厘，谬之千里。这种现象说明了运算准确的重要性；同时，训练学生的运算能力，不但可以加深学生对数的理解，培养学生严谨的数理逻辑能力，还可以帮助学生养成严谨，细致耐心的性格。运算能力是思维能力和运算技能的结合；运算包括对数字准确计算估值，对式子的整合和分解变形，对几何图形，各几何量的计算及丈量，运算能力包括分析运算，探究运算方向、选择运算方式，确定运算程序等一系列过程中的思维能力，运算能力是最基础的能力，也是应用最广的一种能力，它的特性：合理性、
2、准确性、间接性、熟练性。针对上面说法，结合我校的教学实际：导学案及其作业所出现的错误例子，从侧面来说明提高学生运算能力的必要性。案例（一）设集合 A= ,B=2,21,4 5,1,9若 A = ，求 x 值1 1若 AB= ,求 x 值9解： A =1 1 =1 2 x=1故 x 的值为 1AB=9 =9 2 x=3当 =921 x=5故 x 的值为 3，或 5此题的解答的主要错误一是对集合特征的唯一性未考虑到位，二是对集合中的所有变量元素没有进行分析，解答。第（2）问解答：解答不到位，其表达的是有且只有 9 这一个元素这个条件没有审清楚，从而导致错误。准确理解和牢固掌握各种运算的概念，性质及
3、法则，对我们准确分析运算条件，探究运算的方向提供了强有力的保证。案例（二）已知 aR 在复数集内解方程 的两根，满足 ，2+1=0 |=1求 a 的值。错解：由韦达定理得由 =a， =1+ 由 ，得 =1|=1 ()2即 =1(+)2+4 -4=12解之得：a= 5此题部分学生太粗心，没有注意关键词“复数集” ，从而受常规思维定势的干扰，认为 ，可得 =1|， ，但这一结论在复数范围内不|=1 ()2成立。所以充分考虑条件，目标之间的联系与那个数学原理相匹配，是我们运算正确的根本条件。案例（三）已知抛物线 c: y=- +mx-1,点 M(0,3),N(3,0)若抛物线 C 与线段 MN 有两
4、2个不同的交点，求实数 m 的取值范围。错解设 f(x)=- +mx-1 2=- + -1(x-m4)224考虑到抛物线的开口向下，且过点（0，-1） ，故与抛物线 M,N 有两个不同的交点，需满足24-13-20m23 (3)0 解得：-1 + 17103上述解法触犯了以偏概全的错误，忽略了抛物线的顶点在线段 MN 上及线段 MN 以下，从而说明数形结合，从而导致错误。如根据函数与方程思想迅速得 3m ，所以充分挖掘已知条件、结论所隐含的信息，寻求合理103的数学思想和解题思路，是我们解题运算正确强有力的保证。案例（四）在四棱锥 P_ABC 中，侧面是正三角行。且垂直于地面，又地面是矩形，是
5、 E 是侧棱 PD 的中点求证（1）PB面 ACE求证（2）AE面 ACE证明：连结 BD 交于 AC 于 F，连结 EFE,F 分别是 PD,DB 的中点PxF BOA yCzDE EF/PB EF面 ACE（2 ）以 O 点为空间坐标原点，建立空间直角坐标系设 AD=a, AB=b则 A( ,0,0),P(0,0, D(- ,0,0) C(- ,b,0) E( ,0, a)2 32a) a2 a2 a4 34=（- ,0, - a）AE 34a 34=(- ) a2,0,32a=(0,b,0) =0,PC面 PCDAE PC面 PCD此题部分学生在第（1） （2）证明中，推理的过程中，跳跃
6、性过大，证明过程不规范，逻辑思路不严谨，应是 EF/PB 且 PB面 ACE,PBACE，PB/面 ACE.第（ 2）问证明中大部分用向量学生法进行证明，同时没有进行认真审题，为什么 0-XYZ 就是空间坐标系，也没有进行严格证明，同时呢，还有些同学一看是常规题，粗心大意，丢三落四，少写，同时，还出现烂用数学符号“” ，解题过程出现混乱状态。案例（五）已知数列 满足 =1, =2 +3 1 +1 （1 ） 求数列 的通项公式（2 ） = 是 的前 n 项和，求bn S b 解：（1） =11n=1 时， =52n=2 时， =133n=3 时， =294n=4 时， =615故数列 的通项公式
7、式为： = ?(受阻)或 a n=4 -3= -3 21 2+1(2) 思路 = =n -3nbn 2+1=1 -31+2 -32+3 -33+ n -3n（受阻）S 22 23 24 2+1思路 前面都一样=1 +2 +3 + n -3（1+2+3+n）S 22 23 24 2+1=1 +2 +3 + n - （受阻）22 23 24 2+13（ +1）2在思路、基础上同设 =1 +2 +3 + n 22 23 24=1 +2 +3 + (n-1) 2 23 24 25 2+1+n2+2- = - （结论 1） n2+14(12+1)12（或 = ） （结论 2） n2+1+4(12)12此
8、题第（1）小题是一部分学生对数学方法没有构造法没有掌握，只是根据不完全归纳法进行归纳，猜测的通项公式，但由于前几项的数较大，找不出规律，或者即使猜测出通项，但是也不完整，因为还需要完全归纳法进行证明，这又与新课改的课程目标相矛盾。在第（2） 问解答过程中，前两种思路的解法基本是学困生犯的错误，而思路（3）却是一部分优秀生犯的问题，为什么出现会而不对，对而不暢的尴尬局面，这不仅仅是马虎问题，实际是学生的运算能力差，算理与推理不明造成的。这与学生在初中阶段数学课程目标有一定的关系，在高中阶段却要求学生像旧教材掌握他们，实在困难。所以培养学生严谨，谨慎运算态度，提高他们的各种数学能力，特别是计算能力，已经成为高中数学新课程数学教学中的重中之中。
