1、- 1 -湖南师大附中 2013 届高三第三次月考试卷数学（文科）本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共 21 个小题，考试时间 120 分钟，试卷满分 150分.一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“函数 在 R 上是增函数”是“ ”的 （ B ()1fxm340m）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】若 ，即 ，则 在 R 上是增函数；反之不然，故选 B.34043()1fx2.已知数列 为等差数列，且 17134a，则 21tan()的值为
2、（ A na）A 3 B C D 3 【解析】因为 a1a 7a 134，则 a7 ，所以 tan(a2a 12)tan2a 7tan ，故43 83 3选 A.3.已知 ，若 ，则下列各式中正确的是 （ C 2()fx01b）A. B. ()fabffa1()()fffbaaC. D. () 1【解析】因为函数 在 上是增函数，又 ，故选 C.12()fx(0,)0ba4.若 ，则 的取值范围是 （ B 321log0aa）A B C D ),( )1,2( ),21(),1(【解析】当 时， ，从而 ，不合要求.当 时，1a3a32log0a0a，要使 ，则 ，即 ，所以 ，故选 B.31
3、2log01125.设 是定义在 R 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则 （ ()fx()yfx3x2()3fA ）A. 0 B.1 C. D. 2【解析】因为 是定义在 R 上的奇函数，则 .又 的图象关于直线()f (0)f()yf- 2 -对称，所以 .于是 ，故选 A.13x2()03f2()()03ff6.如果圆柱的底面直径和高相等，且圆柱的侧面积是 ，则圆柱的体积等于 （ 4D ）A. B. C. D. 4422【解析】设圆柱的底面半径为 ，则高为 ，侧面积为 .由已知 ，从而rrr4r.所以圆柱的体积 ，故选 D.1r2V7. 的值等于 （ C 12sin5co）A. B.
4、 C. D. 1232【解析】原式 2sin45co1sin30si45co1sin(45) （ ）sic .故选 C.n45o1i628.对于向量 a，b，定义 ab 为向量 a，b 的向量积，其运算结果为一个向量，且规定 ab 的模|ab|a |b|sin(其中为向量 a 与 b 的夹角)，ab 的方向与向量 a，b 的方向都垂直，且使得 a，b，ab 依次构成右手系.如图，在直四棱柱ABCDEFGH 中， BAD60，ABADAE2，则 （ D ()ABDE）A. 4 B. 8 C. D. 242【解析】据向量积定义知，向量 垂直平面 ABCD，且方向向上.ABD因为四棱柱 ABCDEF
5、GH 为直棱柱，则 AE平面 ABCD，所以向量 与 同向.ABE又 22sin60 ，所以|AB23，()|cos04DEE故选 D.二、填空题：本大题共 7 个小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填写在题中的横线上.9.若复数 是纯虚数，则实数 的值为 3 .2(3)(1zmim【解析】由纯虚数概念有 .20310.设抛物线 yx12的焦点为 F，经过点 P(2，1 )的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，若点P 恰为线段 AB 的中点，则|AF|BF | 8 .【解析】过点 A，B ，P 分别作抛物线准线 的垂线，垂足为 C，D ，Q，据抛物线定义，y得|AF|BF| |AC|
6、BD|2|PQ|8.11. CD 是锐角 ABC 的边 AB 上的高，且21CDAB，则AB 90 .【解析】由 ，得 ，即 .21CDAB22sini222sinsicosB又三角形为锐角三角形，则 ，故 AB90.coA BCDE FGH- 3 -12.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数） ，圆 C 的极坐标方程为412xy，则圆心 C 到直线 的距离是 .2cos()4l5【解析】直线 l 的普通方程为 ，圆 C 的直角坐标方程为 .60x 022yx所以圆心 C(1， 1)到直线 l 的距离 .|12|d13.已知定义在 R 上的函数 )10()(,)()( xxffxff 且满
7、 足 ，则f(3) 1 .【解析】由 ，得 ，所以 .()fxf2(1fff3(f14.设 a0 为常数，若对任意正实数 x，y 不等式 )9axy恒成立，则 a的最小值为4 .【解析】 21()121aaxy axy，当 yx时取等号.所以 的最小值为 2，于是 9，所以 a4，故 的最小值为4.15.已知集合 M1 ，2 ，3，4， ，集合 A 中所有元素的乘积称为集合 A 的“累积值” ，M且规定：当集合 A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为 0. 设集合 A 的累积值为 n.（1 ）若 n3，则这样的集合 A 共有 2 个；（2）若 n 为偶数，则这样的集合 A
8、 共有 13 个.【解析】若 n3，据“累积值 ”的定义，得 A3或 A1，3，这样的集合 A 共有 2 个.因为集合 M 的子集共有 2416 个，其中“累积值”为奇数的子集为1，3 ，1，3共 3 个，所以“累积值”为偶数的集合共有 13 个.三、解答题：本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分 12 分)如图，设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点，P，Q 是单位圆上两点， 是坐标原点，且O， .OP,0,（）若点 Q 的坐标是 ，求 的值；34()5)6cos(（）设函数 ，求 的值域fPOf【解】 （）由已知可得 . （254si
9、n,分）所以 . （6 分）6icos)6cos( 313420y xAO Q P- 4 -（） fOPQ(cos,in)(cos,in)6 sin21co3.sin()3（9 分）因为 ，则 ，所以 .0,)4,)33sin()12故 的值域是 . （12 分）f(,1217.(本小题满分 12 分)某中学高三文科共有四个班，第二次月考后，随机在各班抽取了部分学生的数学成绩进行统计分析.已知各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，且人数最少的班被抽取了 22 人. 从四个班抽取出来的所有学生的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中共有 5 人的成绩在 120130 分(含 120 分但不含 13
10、0 分).（）求各班被抽取的学生人数各为多少人？（）在被抽取的所有学生中任选一人，求该生的数学成绩不小于 90 分的概率. 【解】 （）由频率分布直方图知，成绩在 120130 分的频率是 0.005100.05. （2分）又成绩在该分数段的人数为 5，所以抽取的学生总人数为 人. （4510.分）因为各班被抽取的学生人数成等差数列，且首项为 22，设其公差为 ，则d100，所以 .426d2故各班被抽取的学生人数分别是 22 人，24 人，26 人，28 人. （8分）（）由直方图知，分数不小于 90 分的频率为(0.0350.0250.010.005 )100.75.故在被抽取的所有学生中
11、任选一人，该生的数学成绩不小于 90 分的概率是 0.75. （12分）18.(本小题满分 12 分)在等腰直角三角形 ABC 中，D 是斜边 BC 的中点，沿 AD 将ABD 折起，使BDC90.（）求证：CD平面 ABD；（）求二面角 ABCD 的余弦值. AB CDABCD频率/组距分数90 100 110 120 130807000.0100.0050.0150.0300.0250.0200.035- 5 -【解】 （）因为ABC 是等腰直角三角形， D 是斜边 BC 的中点，所以 ADCD. （2 分）又BDC90，所以 BDCD. 因为 AD 与 BD 交于点 D，所以 CD面 A
12、BD. （5 分）() 如图，取 BC 的中点 E，连 DE、AE因为 ABAC，则 AEBC. 因为 BDCD，则 DEBC.所以AED 为二面角 ABCD 的平面角. （7 分）因为 ADBD，ADCD ，所以 AD面 BCD.设 AD1，则 BDDC1，ABACBC .2从而ABC 是正三角形，所以 AE . （10 分）6sin0在 Rt ADE 中， sinAED . （11 分）ADE3所以 cosAED ，故二面角 ABCD 的余弦值为 . （12 分）3319.(本小题满分 13 分)某创业投资公司计划在 2010 年向某企业投入 800 万元用于开发新产品，并在今后若干年内，
13、每年的投入资金都比上一年减少 .估计 2010 年可获得投资回报收入 400 万元，由20%于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加 .25%（）设第 年(2010 年为第一年)的投入资金为 万元，投资回报收入为 万元，求 和nnanbna的表达式；b（）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？【解】 （）据题意，每年投入的资金依次成首项为 800 万元，公比为 的等比数列，每年45的投资回报收入依次成首项为 400 万元，公比为 的等比数列. 54（2 分）所以 ， . （41480()5nna 10()nb分）（）设经过 年的总投入为 Sn 万元，
14、总收入为 Tn 万元，则， . （6()401()4515nnS50()4160()nn分）由 ，得 ，即 . （7 分）nT6()n40(1)5n5()2()04nn设 ，代入上式整理得， ，解得 或 （舍去）. （94()5x27xx1ABCDE- 6 -分）当 时， ；当 时， . （11 分）4n()5n265n4()n10235因为 是减函数，所以当 时，有 成立，从而 成立. （12()ny()n 0nTS分）答：从 2014 年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入. （13分）20.(本小题满分 13 分)设双曲线 ，点 A、B 分别为双曲线 C 实轴的左端点和虚轴
15、的2:1(0,)xyCab上端点，点 、 分别为双曲线 C 的左、右焦点，点 M、N 是双曲线 C 的右支上不同两点，1F2点 Q 为线段 MN 的中点已知在双曲线 C 上存在一点 P，使得 (3)PABOP（）求双曲线 C 的离心率；（）设 为正常数，若点 Q 在直线 上，求直线 MN 在 y 轴上的截距的取值范围.a2yx【解】 （）由题设，点 ， ， ， ，其中 .（1(,0)Aa(,)Bb1(,0)Fc2(,)2cab分）因为 ，则 .23PABFP3AOP设点 P ，则 ，所以 ， . （30(,)xy0(,)(,)cxy0()xca0y分）因为点 P 在双曲线 上，所以 ，即 .
16、（421yab213cab2()4分）因为 ，所以 ，即 ，故离心率 （6cc 3ce分）（）由（）知 ，则 . （7 分）3a228bca若 轴，则 Q 在 x 轴上，不合题意.MNx设直线 MN 的方程为 ，代入 ，得 ，即ykm21xy22()8xkma. （*） （9 分）22(8)80ka若 ，则 MN 与双曲线 C 的渐近线平行，不合题意.设点 ， ， ，则1(,)xy2(,)Ny0(,)Qxy， ， . （10 分）128k1028k028kxmk- 7 -若点 Q 在直线 上，则 .2yx228mk因为点 M、N 在双曲线的右支上，所以 m0 ，从而 k4. （11分）此时，方
17、程(*)可化为 .22a由 ，得 . （12284(8)ma28分）又 M、 N 在双曲线 C 的右支上，则 ，所以 .120x2ma故直线 MN 在 y 轴上的截距的取值范围是 （13 分）(,)a21.(本小题满分 13 分)已知函数 .321(fxabxc（）若函数 f(x)有三个零点 ，且 ， ，求函数123,1239x236x5(1)ff(x)的单调区间；（）若 ， ，求证：导函数 在区间(0，2 )内至少有一个零12acb)f点；（）在（）的条件下，若导函数 的两个零点之间的距离不小于 ，求 的取值()fx 3ba范围.【解析】 （I）因为 ，又 ，则21()3fxabc12323
18、9,6xx. （1 分）123290,6x因为 x2，x 3 是方程 的两根，则10axbc， .即 . （29ba6c3,2a分）又 ，即 ，所以 ，即 ，从而 .5(1)f156abc13526a13,bc所以 . （3 分）32xx因为 ，由 ，得 .2()f 230x12x故 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 . （4(1,)(,)分）（）因为 ， ，所以 ，即2()fxabc(2fa12bca.320abc因为 ，所以 ，即 . （530,0,- 8 -分）于是 ， ， . （6(1)02af()fc(2)4(32)fabcac分）（1 ）当 时，因为 ，则 在区间 内至少有一个零
19、c()0,(1)0ff()fx(0,1)点. （7分）（2 ）当 时，因为 ，则 在区间（1 ，2）内至少0c(1),(2)affac()fx有一零点.故导函数 在区间(0，2)内至少有一个零点. （8fx分）（）设 m，n 是导函数 的两个零点，则 ，2()fxabcbmna.32cba所以 . （1022 23|()4()4()()bnnaa分）由已知， ，则 ，即 .2()3ba2()b2()1所以 ，即 或 . （111或 1a3分）又 ， ，所以 ，即 .23cab2cb2ab34ab因为 ，所以 . （12034分）综上分析， 的取值范围是 . （13ba1,)分）- 9 - 10 -w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
