1、9. (2008 湖北理)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC侧面 A1ABB1.（）求证：ABBC；（）若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ,二面角 A1-BC-A 的大小为 的大小关系，并予以证明.9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分 12 分）（）证明：如右图，过点 A 在平面 A1ABB1 内作AD A1B 于 D，则由平面 A1BC侧面 A1ABB1,且平面 A1BC 侧面 A1ABB1=A1B,得AD平面 A1BC,又 BC 平面 A1BC，所以 AD BC.因为三棱柱 ABCA1
2、B1C1是直三棱柱，则 AA1底面 ABC，所以 AA1BC.又 AA1 AD=A,从而 BC侧面 A1ABB1，又 AB 侧面 A1ABB1，故 AB BC.（）解法 1：连接 CD，则由（）知 是直线 AC 与平面CDA1BC 所成的角，是二面角 A1BCA 的平面角，即B1,AB于是在 RtADC 中， 在 RtADB 中，sin,sin由 ABAC，得 又 所以和02和和解法 2：由（）知，以点 B 为坐标原点，以 BC、BA、BB 1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0),
3、 于是21(,0)(,)Cba20,1(,)().Ac设平面 A1BC 的一个法向量为 n=(x,y,z)，则由 得0,nBC20,yab可取 n=(0,-a,c)，于是 与 n 的夹角cACA和为锐角，则 与 互为余角.2sio,ab所以12c,BcA2sin,ac于是由 c b，得 22,ac和即 又 所以sin,和0,2和,和10. (2008 湖南理)如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA2.（）证明：平面 PBE平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.10解
4、: 解法一（）如图所示，连结 BD，由 ABCD 是菱形且BCD=60知，BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD,又ABCD,所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD， 平面 ABCD，所B以PABE.而 AB=A,因此 BE平面 PAB.P又 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.BE（）延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.过点 A 作 AH PB 于 H，由（ ）知平面 PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE.在 Rt ABF 中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2= AP.在等腰 RtPAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG.则 AG
5、PF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）.在等腰 RtPAF 中， 2AP在 Rt PAB 中， 225.BAH所以，在 Rt AHG 中， 10sin.5HG故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 arcsin.解法二: 如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，P（0，0，2）,3(,),2C13(,)2D3(,0).2E（）因为 ，,BE平面 PAB 的一个法向量是 ，0(,1)n所以 共线.从而 BE平面 PAB.0n
6、和又因为 平面 PBE，故平面 PBE平面 PAB.()易知 3(1,02)(,0PBE， ） ， 13(0,2)(,0)2PAD设 是平面 PBE 的一个法向量，则由 得11,nxyz 1nBE所以120,30.xyz111,2.(2,0).yxz故 可 取设 是平面 PAD 的一个法向量，则由 得2(,)n 2,nPAD所以 故可取2200,13.xyz22,3.zxy2(3,10).于是， 1212 15cos, .nA故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 15arcos.11(2008 湖南文) 如图所示，四棱锥 的底面 是边长为 1 的菱形，PABCD，06BC
7、DE 是 CD 的中点，PA 底面 ABCD， 。3（I）证明：平面 PBE 平面 PAB；（II）求二面角 ABEP 和的大小。11解：解法一（I）如图所示, 连结 由 是菱形且 知，,BCD06B是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点，CD所以 又 所以E ,/,A又因为 PA 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 而 因此 平面 PAB.,PA A又 平面 PBE，所以平面 PBE 平面 PAB.（II）由（I）知， 平面 PAB, 平面 PAB, B PB所以 .E又 所以 是二面角 的平面角,E 在 中, Rttan360.PAB故二面角 的大小为解法二：如图所示,以 A 为原
8、点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是PABCED(0),A， ， (1),B， ， 3(0),2C， ， 13(),2D， ， (03),P， ， (10).2E， ，（I）因为 平面 PAB 的一个法向量是 所以 和 共线.,E， 0,n， ， B0n从而 平面 PAB. 又因为 平面 PBE，所以平面 PBE 平面 PAB. E（II）易知 设 是平面 PBE 的一个法向3(10,3)(0,),2PB， ， 11()xyz， ，量,则由 得 10nE， 1102xyz，所以 113.yz=，故可取 而平面 ABE 的n()， ，一个法向量是 20.， ，于是, 121cos,.|n
9、A故二面角 的大小为BEP612(2008 江苏)记动点 P 是棱长为 1 的正方体 的对角线 上一点，记1-BCDA1BD当 为钝角时，求 的取值范围1DPAC12解：由题设可知，以 、 、 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐D1标系 ，则有 , , ,xyz(10)()(0)(,1)由 ，得 ，所以1(,)BPB1,PA()(1)()C显然 不是平角，所以 为钝角等价于AC，coscs,0P则等价于 0A即 ，得2(1)()1()(1)313因此， 的取值范围是 ,313(2008 江西文、理) 如图，正三棱锥 的三条OABC侧棱 、 、 两两垂直，且长度均为 2 、OABCE分别是
10、 、 的中点， 是 的中点，过 的FHF平面与侧棱 、 、 或其延长线分别相交于 、1xyzCBADD1 C1B1A1P、 ，已知 1BC132OA（1）求证： 面 ；H（2）求二面角 的大小1BC13解 ：（1）证明：依题设， 是 的中位线，EFAB所以 ，EF则 平面 ，所以 。 O1又 是 的中点，所以 ，HH则 。 A1BC因为 ， ，所以 面 ，则 ，A1BC因此 面 。1（2）作 于 ，连 。ON1N因为 平面 ，C根据三垂线定理知， ， 1就是二面角 的平面角。 1ABC作 于 ，则 ，则 是 的中点，EM1EOMB则 。设 ，由 得， ，解得 ，1OBx132xx在 中， ，则
11、， 。RtA2115A135OABN所以 ，故二面角 为 。an5CN1BCarctn解法二：（1）以直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，O、 、 xy、 、 z则Oxyz1(2,0)(,2)(0,)(1,)(,0)(,)2ABEFH所以 12HBC所以 ,CO所以 平面 A由 得 ，故： 平面 EFB11OA(2)由已知 设13(,0)21(,)z则 0A由 与 共线得:存在 有 得1E1BR11AEB B1C1A1 HFECBAOx yzNMB1C1A1 HFECBAO132()0,zB同理: C1133(,)(,0)22AA设 是平面 的一个法向量,1nxyz1BC则 令 得又 是平面
12、 的一个法量1(,).2(,)n1OA26cos41所以二面角的大小为 arcos14(2008 辽宁文)如图，在棱长为 1 的正方体 中，AP=BQ=b （0b1） ，ABCD截面 PQEF ，截面 PQGH AD （）证明：平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直；（）证明：截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（）若 ，求 与平面 PQEF 所成角的正弦值12bE14本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力满分 12 分解法一：（）证明：在正方体中， ， ，ADAB又由已知可得， ， ，PFAD H PQ所以
13、 ， ，所以 平面 EF所以平面 和平面 互相垂直 4 分G（）证明：由（）知，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截22PFAP，面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是，是定值 8 分()Q（）解：设 交 于点 ，连结 ，DFNE因为 平面 ，E所以 为 与平面 所成的角N P因为 ，所以 分别为 ， ， ， 的中点12b， ， ， ABCAD可知 ， 3432A B CD EFP QHGA BCDEFP QHGN所以 12 分324sinDEN解法二：以 D 为原点，射线 DA，DC，DD分别为 x，y ，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知
14、得 ，故1Fb， ， ， ，(10)A， ， ()， ， (0)， ， (01)D， ， ， ，Pb， ， Q， ， E， ， ， F， ， G， ， H， ，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，(01)(0)b， ， ， ， ，Hb， ，1AD， ， ， ， ，因为 ，所以 是平面 PQEF 的法向量PQAF， AD因为 ，所以 是平面 PQGH 的法向量0H，因为 ，所以 ，所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分（）证明：因为 ，所以 ，又 ，所以(10)E， ， EFPQ ， =PFQPQEF 为矩形，同理 PQGH 为矩形在所建立的坐标系中可求得 ， ，2()Pb2b所
15、以 ，又 ，2PHF所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 ，是定值 8 分（）解：由（）知 是平面 的法向量(10)AD， ， PQEF由 为 中点可知， 分别为 ， ， 的中点QEF， ， BCAD所以 ， ，因此 与平面 所成角的正弦值等于102E， ， 2， ， 12 分|cos|A，15(2008 辽宁理)如图，在棱长为 1 的正方体 中，AP=BQ=b （0b1） ，ABCD截面 PQEF ，截面 PQGH AD （）证明：平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直；（）证明：截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（）若 与平面 PQEF 所成的
16、角为 ，求 与平E 45E面 PQGH 所成角的正弦值15本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分 12 分解法一：（）证明：在正方体中， ， ，又由已知可得ADAB， ， ，PFAD H PQ A B CD EFP QHGA BCDEFP QHGN MA BCDEFP QHyxzG所以 ， ，PHFPQ所以 平面 E所以平面 和平面 互相垂直 4 分GH（）证明：由（）知，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截22A，面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是，是定值 8 分()PQ（III）解：连结 BC
17、交 EQ 于点 M因为 ， ，HD B所以平面 和平面 PQGH 互相平行，因此 与平面 PQGH 所成角与 与平面AC DE DE所成角相等B与（）同理可证 EQ平面 PQGH，可知 EM平面 ，因此 EM 与 的比值就ABC是所求的正弦值设 交 PF 于点 N， 连结 EN，由 知 1Fb22(1)()DEbD，因为 平面 PQEF， 又已知 与平面 PQEF 成 角，A E45所以 ，即 ， 2(1)()2b解得 ，可知 E 为 BC 中点12b所以 EM= ，又 ，423(1)Db故 与平面 PQCH 所成角的正弦值为 12 分 26EMD解法二：以 D 为原点，射线 DA，DC，DD
18、分别为 x，y ，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz 由已知得 ，故1Fb， ， ， ，(10)A， ， ()， ， (0)， ， (01)， ， ， ，Pb， ， Q， ， E， ， ， F， ， G， ， H， ，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，(01)(0)b， ， ， ， ，Hb， ，1AD， ， ， ， ，因为 ，所以 是平面 PQEF 的法向量PQAF， AD因为 ，所以 是平面 PQGH 的法向量0H，因为 ，所以 ，所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分（）证明：因为 ，所以 ，又 ，所以(10)E， ， EFPQ ， PFQPQEF 为矩形，同
19、理 PQGH 为矩形在所建立的坐标系中可求得 ， ，2()Pb2bA B CD EFP QHyx z G所以 ，又 ，2PHF1PQ所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 ，是定值 8 分2（）解：由已知得 与 成 角，又 可得DEA45(1)(10)DEbAD， ， ， ， ，2即 ，解得 21()b2b所以 ，又 ，所以 与平面 PQGH 所成角的正弦值DE， ， (10)AD， ， DE为 12 分12|cos|36，16(2008 全国卷文、理) 如图，正四棱柱 中， ，点1ABCD124AB在 上且 E1CEC（）证明： 平面 ；ABD（）求二面角 的大小116解法一：依题
20、设， ， 2E（）连结 交 于点 ，则 CFAC由三垂线定理知， 3 分1B在平面 内，连结 交 于点 ，1AG由于 ，2FE故 ， ，1Rtt 1AFE与 互余C于是 A与平面 内两条相交直线 都垂直，1BDBD，所以 平面 6 分E（）作 ，垂足为 ，连结 由三垂线定理知 ，GH1AH1AHDE故 是二面角 的平面角 8 分11，23EFC， 23ECG， 13G15FDHA B CD EA1 B1 C1D1 F HGA B CD EA1 B1C1D1又 ， 2116AC1563AGCtan5HG所以二面角 的大小为 -12 分 1DEBarctn5解法二：以 为坐标原点，射线 为 轴的正
21、半轴，Ax建立如图所示直角坐标系 yz依题设， 1(20)()(02)(4)C， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， -3 分1DEB， ， ， ， ， 1(20)DA， ， ， ， ，（）因为 ， ，AEA故 ， 11D又 ，所以 平面 6 分C（）设向量 是平面 的法向量，则()xyz， ，n1， E1A故 ， 20yz40令 ，则 ， ， 9 分2(42)， ，n等于二面角 的平面角，1C，n1DEB1cosA，所以二面角 的大小为 12 分14arcos217(2008 全国卷文)（四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面ABCDEBEABC， ， ， BCDE2（）证明： ；A（）设侧面 为等边三角形，求二面角 的大小A17解：（1）取 中点 ，连接 交 于点 ，BFO，FC又面 面 ，ADE面 ，2tanta，90OE，即 ，DCDF面 ，CAA B CDEA1 B1C1D1yxzC D E A B CEAD（2）在面 内过 点做 的垂线，垂足为 CAG， ，G面 ，则 即为所求二面角， ，23ACD6G，0EG，6则 ，2210cosECCGA10arcosE
