1、2016-2017 学年第一学期期中浙江省杭州地区四校联考高三年级数学学科试卷考生须知：1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；2在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题卷。第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 |41|9,AxxR， |0,3xBR，则 ()RCAB （ ）A. 5(,3),)2 B. 5(320,) C. 5(,2 D. (32 2. i是虚数单位
2、，则复数 i的虚部为 （ ） A. B. C. D. i3. 已知直线 01)2(:1yaxl ， 02:2ayxl，则“ 21/l”是“ 1a”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 已知 02， 51cosin，则 22sinco1的值为 （ ）A. 57 B. 72 C. 7 D. 2545. 已知实数 yx,满足 0134yx，则 yx93的最小值为 （ ）A 82 B C 2 D 326. 设点 P为有公共焦点 21F， 的椭圆和双曲线的一个交点，且 5cos21PF，椭圆的离心率为 1e，双曲线的离心率为 2e，若 e，则 1 （ ）来
3、源:A 410 B 57 C 47 D 507已知向量 ,abc满足 2,3ba，若 2()()03cab，则 c的最小值是（ ）A 23 B C 1 D28.已知函数 1,2)(1log)5xxf ，则方程 axf)2(的实根个数不可能为（ ）A 8个 B 7个 C 6个 D 5个第卷（非选择题 共 110 分）二、 填空题: 本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分9若 nx)1(2的二项展开式中，所以二项式系数之和为 64，则 n ；该展开式中的常数项为 （用数字作答）.10已知等比数列 na的公比 0q,前 n项和为 nS , 若 3542,a成等差数列
4、， 246a,则na ,S 11函数 1logxya（ 且 1a）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线04nmx（m0，n0）上，则 nm = ； nm的最小值为 12已知曲线 21:()Cxy与曲线 2C： 0)(xy，则曲线 2C恒过定点 ；若曲线 1与曲线 2有 4 个不同的交点，则实数 的取值范围是 13袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量 ，则 P（7）= .（用分数表示结果）14函数 xxf)(的值域为 .15记bab,ma，设 82,4maxxyM,，若对一切实数 yx,M2恒成立，则实数
5、的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分 15 分）在 ABC中，内角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，已知Acos23cos()求角 A的大小；（）若 1a，求 BC的周长 l的取值范围17.（本题满分 14 分）如图，已知 O为 ABC的外心，角 CBA,的对边分别为 cba,（1）若 0543BOA，求 cos的值；（2）若 C，求 2ab的值18（本题满分 15 分）已知数列 na的各项均为正数，满足 1a， 1kia ,12,k（ 3)n（1）求证： 1,23,)kkn（ ；（2）若 na是等比数列，
6、求数列 na的通项公式； （3）设数列 的前 n 项和为 S，求证： 12)1(2nS19（本题满分 15 分）已知椭圆 21xya过直线 :2lx上一点 P作椭圆的切线，切点为 A，当 P点在 x 轴上时，切线 PA 的斜率为 2.（1）求椭圆的方程；（2）设 O为坐标原点，求 O面积的最小值.来源:Z.X.X.K20.（本题满分 15 分）已知函数 ,21)ln()(xxaf 其中 a 为非零实数.(1)讨论函数 )(xf的单调性；(2)若 fy有两个极值点 ,21x且 ,21求证： 21)(xf2016 学年第一学期四校联考期中考试高三数学试题答案 一、选择题1A 2C 3B 4B 5C
7、 6D 7A 8D二、 填空题9 6； 15 10 2n； 1 11 4；112 )0(，； 3,)(0,) 13 35 14 2， 6 15 71, 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.17.【解析】（1）设外接圆半径为 R，由 0543OCBA得： OACB354两边平方得： 22 954016OCBR，即： 2R，则 5cosBC.(7 分)（2） AO， )(OCAB即： O可得： RR2coscs2coscs22BCA2cos2cos，即： )sin2i(2)sin1( CBA2iniin利用正弦定理变形得： 22cba， 2a.(
8、14 分)18【答案】（1）详见解析；（2） 1n；（3）详见解析【解析】（1）因为 1,2,)kiak0（ ，所以数列 na是递增数列，即23n， 又因为 1,12,3)kiak（ ，所以1,2,)k（；.(5 分)（2）因为 1a，所以 21；因为 na是等比数列，所以数列 n的公比为 2，因为 ,12,3)kiak（ ，所以当 =ik时有 12ka， 这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以 n； .(10 分)（3）因为 1=a， 2，2， 34， 12na， 由上面 n 个式子相加，得到：01123+2nn ，化简得 )()na（ （ ， 所以 12)(nS.(15 分)19
9、【答案】（1）21xy（2） 2k【解析】试题解析：解：（1）当 P点在 x 轴上时， 22,0:()PAyx222()11yxxaa, 2a,椭圆方程为21y.(5 分)（2）设切线为 ykxm,设 012,PyAx,则 2221400ykxmkxm 21mk,且 11022,yk,则 04POy, P直线为 ,xA到直线 PO 距离 0124yxd,则 01 221221PA kmSdy 221kmkk2222210840SSS，,此时 2k.(15 分)20.(1) ,1)(1)(2 xaxxaf当 ,0a即 时 ） 单 调 递 增，在 （ -)(,0)( ff当 时由 axax1,21.,1-1)( 单 调 递 增单 调 递 减 ， 在单 调 递 增 ， 在，在 区 间 aaxf当.,-,)(,0 单 调 递 增单 调 递 减 ， 在在 xfa.(7 分)(2) a1,21且 ,0221 xaxx且)(1f)(2f 2)(xf01)ln(2xxa 021)ln(x令 g2)l( 1,1)( x命 题 得 证） 单 调 递 增 ，在 （ 0)(,0gx.(15 分)
