1、苏北四市高三年级摸底考试数学参考公式：锥体的体积公式： 13VSh，其中 是锥体的底面面积， h是高一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知全集 1,02U，集合 ,2A，则 UA 2已知复数 z满足 (i)，其中 i为虚数单位，则 z的实部为 3函数 cos26yx的最小正周期为 4右图是一个算法的流程图，则输出 x的值为 5某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员 120 人，其中足球、篮球、排球的成员分别有 40 人、60 人、20 人现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取 24 人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应
2、抽取 人6若随机地从 1，2，3，4，5 五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 7设实数 x， y满足0,12,xy 则 32xy的最大值为 8设 nS是等差数列 na的前 项和，且 2a， 416S，则 9的值为 9将斜边长为 4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字
3、笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。开始结束Yx2，n1输出 xnn+1x2x+1n3N（第 4 题）10如图 ， 在平面直角坐标系 xOy中，已知 A， 1B， 2分别为椭圆2:1(0)xyCab的 右、下、 上顶点 ， F是椭圆的右焦点若 21BFA， 则椭圆 C的离心率是 11若 tant，且 2cosin3，则 sin()的值为 12已知正数 ， b满足 95ab，则 的最小值为 13已知 AB为圆 O的直径， M为圆 O的弦 C
4、D上一动点， 8AB， 6CD，则 MAB的取值范围是 14已知函数 2()|4|2|fxx， 3,若 ()fx的最大值是 0，则实数 a的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15 （本小题满分 14 分）在 ABC 中，已知角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 tan2B， ta3C（1）求角 的大小；（2）若 3c，求 b的长16 （本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱 1ABC中，已知 D， E分别为 BC， 1的中点，点 F在棱 1C上，且1EFD求证：（1）直线 平面 ；（2）直
5、线 平面 117 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2:40Cxy及点 (1,)A， (,2)B（1）若直线 l平行于 AB，与圆 相交于 M， N两点， ，求直线 l的方程；（2）在圆 C上是否存在点 P，使得 1AB？若存在，求点 P的个数；若不存在，说明理由18 （本小题满分 16 分）某城市有一直角梯形绿地 ABCD，其中 90ABD， 2ACkm， 1Bkm现过边界 CD上的点 E处铺设一条直的灌溉水管 EF，将绿地分成面积相等的两部分（1）如图，若 为 的中点， 在边界 上，求灌溉水管 EF的长度；（2）如图，若 F在边界 上，求灌溉水管 的最短长度
6、ABCD（第 18 题图）EF ABCD（第 18 题图）EFy（第 17 题）xOBA CABACADAEDAA1B11C1FF（第 16 题）y（第 10 题）xOFAB2B119 （本小题满分 16 分）在数列 na中，已知 13a， 1123nna， *N，设 nS为 a的前 n项和（1）求证：数列 n是等差数列；（2）求 nS；（3）是否存在正整数 p， q， r()r，使 ,pqr成等差数列？若存在，求出 p， q， r的值；若不存在，说明理由20 （本小题满分 16 分）设函数 2()lnfxax， 为正实数（1）当 时，求曲线 ()yf在点 1,()f处的切线方程；（2）求证：
7、 1()0f ；（3）若函数 x有且只有 个零点，求 a的值21选做题本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 41：几何证明选讲 （本小题满分 10 分）如图， 是圆 O的直径，弦 ， A的延长线相交于点 E，过 作 BA的延长线的垂线，垂足为 F求证： 2ABECA BCDEF(第 21A 题)OB选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分）求椭圆2:19xyC在矩阵1032A对应的变换作用下所得的曲线的方程C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）已知曲线 的极坐标方程为 sin()3，以极点
8、为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线 C的直角坐标方程D选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分）设 0c， |1|3cx， |cy，求证： |23|xyc【 必 做 题 】 第 22 题 、 第 23 题 ， 每 题 10 分 ， 共 计 20 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 PABCD中， P平面 ABCD， 90BAD， 4AP，AB， M为 的中点（1）求异面直线 ， 所成角的余弦值；（2）点 N在线段 上，且 N，若直线 MN与平面 P所
9、成角的正弦值为 5，求 的值23 （本小题满分 10 分）设 *nN， ()372nf（1）求 ， ， ()f的值；（2）证明：对任意正整数 ， fn是 8 的倍数AB CDNPMB（第 22 题）参考答案与评分标准一、填空题1 0, 21 3 4 423 58 6 35 7 8819 63 10 5 11 13 1236 13 9,0 14 (,5二、解答题15 （1）因为 tan2B， taC， AB，所以 ()tan()AC2分t123，4分又 (0,)A，所以 4A6分（2）因为 sinta2coB，且 22sincos1B，又 (0,)，所以 5i，8分同理可得， 310sinC 1
10、0分由正弦定理，得25is310cBb14分16 （1）连结 ED，因为 ， E分别为 C， 1的中点，所以 1B 且 1，所以四边形 是平行四边形，2 分所以 1 且 1，又 1BA 且 1，所以 A 且 ，所以四边形 1ED是平行四边形，4 分所以 1 ，又因为 11DC平 面 ， 1ADC平 面 ，所以直线 平面 7 分（2）在正三棱柱 1BC中， 1B平面 ，又 A平面 ，所以 A，又 是正三角形，且 为 的中点，所以 B，9 分又 1,平面 1， 1C，所以 D平面 ，又 EF平面 1BC，所以 DEF，11 分又 ， ,A平面 1， AD，所以直线 平面 114 分17 （1）圆
11、的标准方程为 2()4xy，所以圆心 (2,0)C，半径为 2因为 lB ， ,0， ,，所以直线 l的斜率为 1，设直线 的方程为 m， 2 分ABACADAEDAA1B11C1FF（第 16 题）则圆心 C到直线 l的距离为 202md4 分因为 2MNAB，而 2()d，所以 ()4， 6 分解得 0m或 ，故直线 l的方程为 0xy或 0xy8 分（2）假设圆 C上存在点 P，设 (,)，则 2()4y，222(1)11PAB，即 3xy，即 2， 10 分因为 2|0()，12 分所以圆 ()4与圆 22()4xy相交，所以点 的个数为 14 分18 （1）因为 ADC， 1B， 9
12、0ACBD，所以 3，2 分取 B中点 G，则四边形 EF的面积为 2EFGABCDBSS梯 形 梯 形 ，即 13()21313()2，解得 6，6 分所以 221()3EF(km)故灌溉水管 的长度为 km8 分（2）设 Da， b，在 ABC 中， 221(3)，所以在 AC 中， D，所以 60，所以 EF 的面积为 1sin6024EFSabab ，又 32ABCDS梯 形 ，所以 34，即 312 分在 中，由余弦定理，得 23 ，当且仅当 ab时，取“ ”故灌溉水管 EF的最短长度为 3km16 分19 （1）证明：因为 1123nn，所以 132nna，2 分又因为 a，所以
13、=a，所以 n是首项为 1，公差为 2的等差数列 4 分（2）由（1）知 3()3nn，所以 1(32)nna，6 分所以 121()()nS ，ABC（第 18 题图）EFGDABCD（第 18 题图）EF所以 23 +1111()()(52)(32)(33nnnS ，两式相减得 21n11()(23)(39nn12()3n，所以 nS10 分（3）假设存在正整数 p， q， r()r，使 ,pqrS成等差数列，则 2qr，即 23pr由于当 n 时， 1()0nna，所以数列 n单调递减又 p，所以 q 且 至少为 2，所以 13pq ， 12 分1233q当 时， 13pq ，又 0r，
14、所以 3pr，等式不成立14 分当 2q时， ，所以 419r，所以 19r，所以 3r(nS单调递减，解唯一确定 )综上可知， p， ， 的值为 ， 2， 16 分20 （1）当 2a时， ()lnfxx，则 1()42fx，2 分所以 1f，又 10，所以曲线 ()yf在点 ,()f处的切线方程为 0y4 分（2）因为 lnfa，设函数 ln1gx，则 1()xgx， 6 分令 0，得 ，列表如下：(,)1()()x0g极大值 所以 的极大值为 ()g所以 1()ln1fa 8 分（3）22axx， 0x，令 ()0f，得28844a，因为204a，所以 fx在2,)a上单调增，在2(,)
15、上单调减所以28()4afxf10 分设20，因为函数 (fx只有 1 个零点，而 (1)0f，所以 1是函数 ()fx的唯一零点当 0x时， 10f ， ()f有且只有 个零点，此时284a，解得 a12 分下证，当 0时， ()fx的零点不唯一若 1x，则 10，此时2814a，即 01a，则 由（2）知， ()fa，又函数 ()fx在以 0和 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在 0x和 之间存在 f的零点，则 ()f共有 2 个零点，不符合题意；若 1，则 0()1ff，此时2814a，即 a，则 10a同理可得，在 a和 x之间存在 ()fx的零点，则 ()fx共有 2 个零点，不符
16、合题意因此 0x，所以 的值为 16 分21选做题本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A证明：连结 ，因为 为圆 O的直径，所以 90，又 EFB， AE，则 ,D四点共圆，所以 F，5 分又 C ，即 BAEC，所以 BEAFBAF2B 10 分B设椭圆 上的点 1(,)xy在矩阵 对应的变换作用下得到点 (,)xy，则 110332y， 5 分则 1,xy 代入椭圆方程2194x，得 21xy，所以所求曲线的方程为 2y10 分C由 sin()3得 13sincos，5 分又 cox，
17、 ，所以曲线 的直角坐标方程为 60xy10 分A BCDEF(第 21A 题)OD因 为 |1|3cx， 所 以 2|3cx，故 221yy5 分| 3c，故 |2|xy 10 分22 （1）因为 PA平面 BCD，且 ,A平面 BCD，所以 ， ，又因为 90，所以 ,P两两互相垂直分别以 ,为 ,xyz轴建立空间直角坐标系，则由 24， 可得(0,)A， ()B， (2)， (0,4)， (,04)P，又因为 M为 C的中点，所以 1M所以 1,， ,AP，2 分所以 cos|0()1463，所以异面直线 AP， BM所成角的余弦值为 5 分（2）因为 N，所以 (0,)4) ，则 (1
18、,2)MN，(0,2)BC， 2，设平面 的法向量为 ,xyzm，则 ,PDm即 40. 令 2，解得 0y， 1z，所以 (2,01)是平面 PBC的一个法向量7 分因为直线 MN与平面 所成角的正弦值为 45，所以 2|cos, (1)m，解得 104，所以 的值为 10 分23 （1）代入求出 ()8f， (2)56f， (3)8f3 分（2）当 n时， 是 8 的倍数，命题成立4 分假设当 k时命题成立，即 72kf是 8 的倍数，那么当 1时， 1()3()4(71)kkfk ，因为 7是偶数，所以 47是 的倍数，又由归纳假设知 32是 8 的倍数，所以 ()fk是 8 的倍数，所以当 1n时，命题也成立根据知命题对任意 *nN成立10 分 AB CDNPMB（第 22 题）yxz
