1、2016-2017 学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题 5 分，共 70 分）1已知全集 U=1，2，3，4，集合 A=1，2，B=2， 3，则 U（A B）= 2 = 3函数 y=ln（ x+1）的定义域是 4等比数列a n中，若 a5=1，a 8=8，则公比 q= 5在ABC 中，sinA ：sinB：sinC=2：3：4，则 cosC 的值为 6命题“xR，使 x2ax+10”是真命题，则 a 的取值范围是 7已知向量 =（cos，sin） ， =（cos ，sin ） ，且 0 ，则 + 与 的夹角为 8已知函数 f（x）=ax 3+bx+1 且 f（m ）
2、=6，则 f（m）= 9已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=1，P 是腰 DC 上的动点，则| + |的最小值为 10若函数 f（x）=k cosx 的图象过点 P（ ，1） ，则该函数图象在 P 点处的切线倾斜角等于 11设函数 y=sin（ x+ ） （0x） ，当且仅当 x= 时，y 取得最大值，则正数 的值为 12已知函数 f（x）对于任意的 xR，都满足 f（x）=f（ x） ，且对任意的 a，b（ ，0，当 ab 时，都有 0若 f（m+1）f（2） ，则实数 m 的取值范围是 13设数列a n为等差数列，数列b n为等比数列若 a1a 2，b 1b
3、 2，且bi=ai2（i=1，2 ，3） ，则数列b n的公比为 14已知 ， 是非零不共线的向量，设 = + ，定义点集M=K| = ，当 K1，K 2M 时，若对于任意的 r2，不等式| |c| |恒成立，则实数 c 的最小值为 二、解答题（本大题 6 小题，共 90 分）15已知集合 A=x|33 x27，B=x|log 2x1（1）求（ RB）A；（2）已知集合 C=x|1xa，若 CA，求实数 a 的取值范围16已知函数 f（x）= （1）证明函数 f（x）在（1，+）上为单调递增函数；（2）若 x0，2，求函数 f（x）的值域17在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0） ，B（0，
4、2） ，C（cos，sin） （1）若 ，且 （0，） ，求角 的值；（2）若 ，求 的值18提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/ 千米）的函数，当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明：当 20x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数（）当 0x200 时，求函数 v（x）的表达式；（）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x
5、）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值 （精确到 1 辆/小时） 19设常数 a0，函数 f（x）=xln 2x+2alnx1（1）令 g（x）=xf（x） （x0） ，求 g（x）的最小值，并比较 g（x）的最小值与 0 的大小；（2）求证：f（x）在（0，+ ）上是增函数；（3）求证：当 x1 时，恒有 xln 2x2alnx+120设数列a n的各项均为正数若对任意的 nN*，存在 kN*，使得 an+k2=anan+2k 成立，则称数列a n为“J k 型”数列（1）若数列a n是“J 2 型”数列，且 a2=8，a 8=1，求 a2n；（2）若数列a n既是“J 3 型”数列，又是
6、“J 4 型”数列，证明：数列 an是等比数列2016-2017 学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题 5 分，共 70 分）1已知全集 U=1，2，3，4，集合 A=1，2，B=2， 3，则 U（A B）= 4 【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据 A 与 B 求出两集合的并集，找出并集的补集即可【解答】解：集合 A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，全集 U=1，2，3，4， U（AB）=4故答案为：42 = 【考点】二倍角的余弦【分析】利用二倍角的余弦公式即可求得【解答】解：由二倍角的余弦公式可得， =cos = ，故答案为： 3函数
7、 y=ln（ x+1）的定义域是 （ 1，+） 【考点】函数的定义域及其求法【分析】由对数式的真数大于 0 得答案【解答】解：由 x+10，得 x1函数 y=ln（x +1）的定义域是（ 1，+） 故答案为：（1，+） 4等比数列a n中，若 a5=1，a 8=8，则公比 q= 2 【考点】等比数列的通项公式【分析】直接由已知结合等比数列的通项公式求解【解答】解：在等比数列a n中，由 a5=1，a 8=8，得 ，q=2故答案为：25在ABC 中，sinA ：sinB：sinC=2：3：4，则 cosC 的值为 【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为 2k，3k，4
8、k，再由余弦定理求得 cosC 的值【解答】解：在ABC 中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为 2k，3k，4k，由余弦定理可得 16k2=4k2+9k212k2cosC，解方程可得 cosC= ，故答案为： 6命题“xR，使 x2ax+10”是真命题，则 a 的取值范围是 （， 2） （2，+） 【考点】特称命题【分析】若命题“xR，使 x2ax+10”是真命题，则函数 y=x2ax+1 的图象与 x 轴有两个交点，故=a 240，解不等式可得答案【解答】解：若命题“xR，使 x2ax+10”是真命题，则函数 y=x2ax+1 的图象与 x 轴有两个
9、交点，故=a 240，解得：a（，2）（2，+） ，故答案为：（， 2）（2，+） 7已知向量 =（cos，sin） ， =（cos ，sin ） ，且 0 ，则 + 与 的夹角为 【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知得 ，求出（ + ）（ ）=0 得答案【解答】解： =（cos，sin ） ， =（cos ，sin ） ， ，则（ + ）（ ）= ， + 与 的夹角为 故答案为： 8已知函数 f（x）=ax 3+bx+1 且 f（m ）=6，则 f（m）= 4 【考点】函数奇偶性的性质【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式 f（x）与 f（x）的关系，从面通过f（m）的值求出 f
10、（m）的值，得到本题结论【解答】解：函数 f（x）=ax 3+bx+1，f（ x）=a（x） 3+b（ x）+ 1=ax3bx+1，f（ x）+f（x）=2，f（ m）+f（m）=2f（m）=6 ，f（ m）=4故答案为：49已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=1，P 是腰 DC 上的动点，则| + |的最小值为 3 【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，把求| + |的最小值转化为求直角梯形 ABCD 的中位线长得答案【解答】解：如图，以 PA、PB 为邻边作平行四边形 PAQB，则 = ，要使| |取最小值，只需| |取最小值，E 为 AB 的
11、中点，故当 PE CD 时，| |取最小值，这时 PE 为梯形的中位线，即 （|BC|+|AD|）= ，故 =3故答案为：310若函数 f（x）=k cosx 的图象过点 P（ ，1） ，则该函数图象在 P 点处的切线倾斜角等于 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】把点 P（ ，1）代入解析式求出 k 的值，由求导公式求出 f（x） ，由导数的几何意义求出切线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角【解答】解：因为 f（x）=kcosx 的图象过点 P（ ，1） ，所以 1=kcos ，解得 k=2，则 f（x）=2cosx，所以 f（x）=2sinx ，所以在点 P（ ，1）处的切
12、线斜率是2sin = ，则在 P 点处的切线倾斜角是 ，故答案为： 11设函数 y=sin（ x+ ） （0x） ，当且仅当 x= 时，y 取得最大值，则正数 的值为 1 【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得正数 的值【解答】解：因为函数 y=sin（ x+ ）在 x= 处取得最大值，所以 + =2k+ ，k Z，所以 =12k+1，kZ；又 0x 时，当且仅当 x= 时 y 取得最大值；所以正数 的值为 1故答案为：112已知函数 f（x）对于任意的 xR，都满足 f（x）=f（ x） ，且对任意的 a，b（ ，0，当 ab 时，都有 0若 f（m+1）f（2） ，则
13、实数 m 的取值范围是 （3 ，1 ） 【考点】函数单调性的性质【分析】由题意可得函数 f（ x）为偶函数，在（，0上是减函数，故由不等式可得2 m+12，由此求得 m 的范围【解答】解：由 f（x）=f（x） ，可得函数 f（x）为偶函数 再根据对任意的 a，b（，0，当 ab 时，都有 0，故函数在（ ，0上是减函数故由 f（m+1）f（2） ，可得2 m+12，解得 3m1，故答案为：（3，1） 13设数列a n为等差数列，数列b n为等比数列若 a1a 2，b 1b 2，且bi=ai2（i=1，2 ，3） ，则数列b n的公比为 3+2 【考点】等比数列的性质【分析】设等差数列a n的
14、公差为 d，可得 d0，由数列b n为等比数列，可得b22=b1b3，代入化简可得 a1 和 d 的关系，分类讨论可得 b1 和 b2，可得其公比【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，由 a1a 2 可得 d0，b 1=a12，b 2=a22=（a 1+d） 2，b3=a32=（a 1+2d） 2，数列b n为等比数列，b 22=b1b3，即（a 1+d） 4=a12（a 1+2d） 2，（a 1+d） 2=a1（a 1+2d） 或（a 1+d） 2=a1（a 1+2d） ，由可得 d=0 与 d0 矛盾，应舍去；由可得 a1= d，或 a1= d，当 a1= d 时，可得 b1=a12=
15、b2=a22=（a 1+d） 2= ，此时显然与 b1b 2 矛盾，舍去；当 a1= d 时，可得 b1=a12= ，b2=（a 1+d） 2= ，数列b n的公比 q= =3+2 ，综上可得数列b n的公比 q=3+2 ，故答案为：3+214已知 ， 是非零不共线的向量，设 = + ，定义点集M=K| = ，当 K1，K 2M 时，若对于任意的 r2，不等式| |c| |恒成立，则实数 c 的最小值为 【考点】平面向量数量积的运算【分析】由 = + ，可得 A，B ，C 共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC 为AKB 的平分线，由角平分线的性质定理可得 = =r，可得 K 的轨迹为圆，求
16、得圆的直径与 AB 的关系，即可得到所求最值【解答】解：由 = + ，可得 A，B，C 共线，由 = ，可得| |cosAKC=| |cosBKC，即有AKC=BKC，则 KC 为AKB 的平分线，由角平分线的性质定理可得 = =r，即有 K 的轨迹为圆心在 AB 上的圆，由|K 1A|=r|K1B|，可得|K 1B|= ，由|K 2A|=r|K2B|，可得|K 2B|= ，可得|K 1K2|= + = |AB|= |AB|，由 r 在 r2 递增，可得 r 2 = ，即有|K 1K2| |AB|，即 ，由题意可得 c ，故 c 的最小值为 故答案为： 二、解答题（本大题 6 小题，共 90
17、分）15已知集合 A=x|33 x27，B=x|log 2x1（1）求（ RB）A；（2）已知集合 C=x|1xa，若 CA，求实数 a 的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算【分析】 （1）解指数不等式我们可以求出集合 A，解对数不等式，我们可以求集合 B，再由集合补集的运算规则，求出 CRB，进而由并集的运算法则，即可求出（ CRB）A；（2）由（1）中集合 A，结合集合 C=x|1xa，我们分 C=和 C 两种情况，分别求出对应的实数 a 的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案【解答】解：（1）A=x|33 x27=x|1x3B=x|log2x1 =x|x2（
18、C RB）A=x|x2x|1x3= x|x3（2）当 a1 时，C= ，此时 CA当 a1 时，CA ，则 1a3综上所述，a 的取值范围是（ ，316已知函数 f（x）= （1）证明函数 f（x）在（1，+）上为单调递增函数；（2）若 x0，2，求函数 f（x）的值域【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数单调性的判断与证明【分析】 （1）证法一：设 x1，x 2 是区间（1，+）上的两个任意实数，且 x1x 2，作差判断 f（x 1） ，f （x 2）的大小，可得绪论 证法二：求导，根据 x（1，+）时，f （x）0 恒成立，可得：函数 f（x）在（1 ，+ ）上为单调递增函数；（2）根据（1）中函数的单调性，求出函数的最值，进而可得函数的值域【解答】 （本题满分 14 分）（1）证法一： 设 x1，x 2 是区间（1，+）上的两个任意实数，且 x1 x2，于是= 因为 x2x 11，所以 x1+1 0，x 2+10，x 2x10，所以 f（x 2） f（x 1）0，所以 f（x 1）f（x 2） ，所以函数 f（x）在（1，+）上为单调增函数证法二：f（x）= f（x）= 当 x（1，+）时，f（x）0 恒成立，故函数 f（x）在（1，+）上为单调递增函数；
