1、计算几何资料一、引言计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。二、目录本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容：1. 矢量的概念2. 矢量加减法3. 矢量叉积4. 折线段的拐向判断5. 判断点是否在线段上6. 判
2、断两线段是否相交7. 判断线段和直线是否相交8. 判断矩形是否包含点9. 判断线段、折线、多边形是否在矩形中10. 判断矩形是否在矩形中11. 判断圆是否在矩形中12. 判断点是否在多边形中13. 判断线段是否在多边形内14. 判断折线是否在多边形内15. 判断多边形是否在多边形内16. 判断矩形是否在多边形内17. 判断圆是否在多边形内18. 判断点是否在圆内19. 判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内20. 判断圆是否在圆内21. 计算点到线段的最近点22. 计算点到折线、矩形、多边形的最近点23. 计算点到圆的最近距离及交点坐标24. 计算两条共线的线段的交点25. 计算线段或直线与线
3、段的交点26. 求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点27. 求线段或直线与圆的交点28. 凸包的概念29. 凸包的求法三、算法介绍1.矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。如果有向线段 p1p2 的起点 p1 在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2 。2.矢量加减法：设二维矢量 P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为： P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。显然
4、有性质 P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。3. 矢量叉积：计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。设矢量 P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2 和 p1+p2 所组成的平行四边形的带符号的面积，即： P Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。显然有性质 P Q = - ( Q P ) 和 P ( - Q ) = - ( P Q )。一般在不加说明的情况下，本文下述算法中所有的点都看作矢量，两点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。叉积的一个非常重要性质是可以通过它
5、的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：若 P Q 0 , 则 P 在 Q 的顺时针方向。若 P Q 0,则 p0p1 在 p1 点拐向右侧后得到 p1p2。若(p2 - p0) (p1 - p0) 0。当 ( P1 - Q1 ) ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2 上；同理，( Q2 - Q1 ) (P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2 上。所以判断 P1P2 跨立Q1Q2 的依据是：( P1 - Q1 ) ( Q2 - Q1 ) * ( Q2
6、 - Q1 ) ( P2 - Q1 ) = 0。同理判断 Q1Q2 跨立 P1P2的依据是：( Q1 - P1 ) ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) ( Q2 - P1 ) = 0。具体情况如下图所示：在相同的原理下，对此算法的具体的实现细节可能会与此有所不同，除了这种过程外，大家也可以参考算法导论上的实现。7. 判断线段和直线是否相交：有了上面的基础，这个算法就很容易了。如果线段 P1P2 和直线 Q1Q2 相交，则 P1P2 跨立 Q1Q2，即：( P1 - Q1 ) ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) ( P2 - Q1 ) = 0。8. 判断矩形是否包
7、含点：只要判断该点的横坐标和纵坐标是否夹在矩形的左右边和上下边之间。9. 判断线段、折线、多边形是否在矩形中：因为矩形是个凸集，所以只要判断所有端点是否都在矩形中就可以了。10. 判断矩形是否在矩形中：只要比较左右边界和上下边界就可以了。11. 判断圆是否在矩形中：很容易证明，圆在矩形中的充要条件是：圆心在矩形中且圆的半径小于等于圆心到矩形四边的距离的最小值。12. 判断点是否在多边形中：判断点 P 是否在多边形中是计算几何中一个非常基本但是十分重要的算法。以点 P 为端点，向左方作射线 L，由于多边形是有界的，所以射线 L 的左端一定在多边形外，考虑沿着 L 从无穷远处开始自左向右移动，遇到
8、和多边形的第一个交点的时候，进入到了多边形的内部，遇到第二个交点的时候，离开了多边形，所以很容易看出当 L 和多边形的交点数目 C 是奇数的时候，P 在多边形内，是偶数的话 P 在多边形外。但是有些特殊情况要加以考虑。如图下图(a)(b)(c)(d)所示。在图(a)中，L 和多边形的顶点相交，这时候交点只能计算一个；在图(b)中，L 和多边形顶点的交点不应被计算；在图 (c)和(d) 中，L 和多边形的一条边重合，这条边应该被忽略不计。如果 L 和多边形的一条边重合，这条边应该被忽略不计。为了统一起见，我们在计算射线 L 和多边形的交点的时候，1。对于多边形的水平边不作考虑；2。对于多边形的顶
9、点和 L 相交的情况，如果该顶点是其所属的边上纵坐标较大的顶点，则计数，否则忽略；3。对于 P 在多边形边上的情形，直接可判断 P 属于多边行。由此得出算法的伪代码如下：count 0;以 P 为端点，作从右向左的射线 L; for 多边形的每条边 sdo if P 在边 s 上 then return true;if s 不是水平的then if s 的一个端点在 L 上if 该端点是 s 两端点中纵坐标较大的端点then count count+1else if s 和 L 相交then count count+1;if count mod 2 = 1 then return true;e
10、lse return false;其中做射线 L 的方法是：设 P的纵坐标和 P 相同，横坐标为正无穷大（很大的一个正数） ，则 P 和 P就确定了射线 L。 判断点是否在多边形中的这个算法的时间复杂度为 O(n)。另外还有一种算法是用带符号的三角形面积之和与多边形面积进行比较，这种算法由于使用浮点数运算所以会带来一定误差，不推荐大家使用。 13. 判断线段是否在多边形内： 线段在多边形内的一个必要条件是线段的两个端点都在多边形内，但由于多边形可能为凹，所以这不能成为判断的充分条件。如果线段和多边形的某条边内交（两线段内交是指两线段相交且交点不在两线段的端点） ，因为多边形的边的左右两侧分属多
11、边形内外不同部分，所以线段一定会有一部分在多边形外(见图 a)。于是我们得到线段在多边形内的第二个必要条件：线段和多边形的所有边都不内交。 线段和多边形交于线段的两端点并不会影响线段是否在多边形内；但是如果多边形的某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交点之间的线段是否包含于多边形内部（反例见图 b)。 因此我们可以先求出所有和线段相交的多边形的顶点，然后按照 X-Y 坐标排序(X 坐标小的排在前面，对于 X 坐标相同的点，Y 坐标小的排在前面，这种排序准则也是为了保证水平和垂直情况的判断正确) ，这样相邻的两个点就是在线段上相邻的两交点，如果任意相邻两点的中点也在多边形内，则该线段一定在多边形
12、内。 证明如下：命题 1：如果线段和多边形的两相邻交点 P1 ，P2 的中点 P 也在多边形内，则 P1, P2 之间的所有点都在多边形内。证明：假设 P1,P2 之间含有不在多边形内的点，不妨设该点为 Q，在 P1, P之间，因为多边形是闭合曲线，所以其内外部之间有界，而 P1 属于多边行内部，Q 属于多边性外部， P属于多边性内部，P1-Q-P完全连续，所以 P1Q 和 QP一定跨越多边形的边界，因此在 P1,P之间至少还有两个该线段和多边形的交点，这和 P1P2 是相邻两交点矛盾，故命题成立。证毕。 由命题 1 直接可得出推论：推论 2：设多边形和线段 PQ 的交点依次为 P1,P2,P
13、n，其中 Pi 和 Pi+1 是相邻两交点，线段 PQ 在多边形内的充要条件是：P，Q 在多边形内且对于 i =1, 2, n-1，Pi ,Pi+1 的中点也在多边形内。在实际编程中，没有必要计算所有的交点，首先应判断线段和多边形的边是否内交，倘若线段和多边形的某条边内交则线段一定在多边形外；如果线段和多边形的每一条边都不内交，则线段和多边形的交点一定是线段的端点或者多边形的顶点，只要判断点是否在线段上就可以了。至此我们得出算法如下：if 线端 PQ 的端点不都在多边形内 then return false;点集 pointSet 初始化为空;for 多边形的每条边 sdo if 线段的某个端
14、点在 s 上then 将该端点加入 pointSet;else if s 的某个端点在线段 PQ 上then 将该端点加入 pointSet;else if s 和线段 PQ 相交 / 这时候已经可以肯定是内交了then return false;将 pointSet 中的点按照 X-Y 坐标排序;for pointSet 中每两个相邻点 pointSet i , pointSet i+1do if pointSet i , pointSet i+1 的中点不在多边形中then return false;return true;这个过程中的排序因为交点数目肯定远小于多边形的顶点数目 n，所以最
15、多是常数级的复杂度，几乎可以忽略不计。因此算法的时间复杂度也是 O(n)。 14. 判断折线是否在多边形内： 只要判断折线的每条线段是否都在多边形内即可。设折线有 m 条线段，多边形有 n 个顶点，则该算法的时间复杂度为 O(m*n)。 15. 判断多边形是否在多边形内： 只要判断多边形的每条边是否都在多边形内即可。判断一个有 m 个顶点的多边形是否在一个有 n 个顶点的多边形内复杂度为 O(m*n)。 16. 判断矩形是否在多边形内： 将矩形转化为多边形，然后再判断是否在多边形内。 17 判断圆是否在多边形内： 只要计算圆心到多边形的每条边的最短距离，如果该距离大于等于圆半径则该圆在多边形内
16、。计算圆心到多边形每条边最短距离的算法在后文阐述。 18. 判断点是否在圆内： 计算圆心到该点的距离，如果小于等于半径则该点在圆内。 19. 判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内： 因为圆是凸集，所以只要判断是否每个顶点都在圆内即可。 20. 判断圆是否在圆内： 设两圆为 O1,O2，半径分别为 r1, r2，要判断 O2 是否在 O1 内。先比较 r1，r2 的大小，如果 r1 r 则 L 和圆没有交点；c) 利用勾股定理，可以求出两交点坐标，但要注意考虑 L 和圆的相切情况。3. 如果 L 平行于 X 轴，做法与 L 平行于 Y 轴的情况类似； 4. 如果 L 既不平行 X 轴也不平行
17、Y 轴，可以求出 L 的斜率 K，然后列出 L 的点斜式方程，和圆方程联立即可求解出 L 和圆的两个交点； 5. 如果 L 是线段，对于 2，3，4 中求出的交点还要分别判断是否属于该线段的范围内。 28. 凸包的概念： 点集 Q 的凸包(convex hull)是指一个最小凸多边形，满足 Q 中的点或者在多边形边上或者在其内。下图中由红色线段表示的多边形就是点集 Q=p0,p1,.p12的凸包。 29. 凸包的求法： 现在已经证明了凸包算法的时间复杂度下界是 O(n*logn),但是当凸包的顶点数 h 也被考虑进去的话，Krikpatrick 和 Seidel 的剪枝搜索算法可以达到 O(n
18、*logh)，在渐进意义下达到最优。最常用的凸包算法是Graham 扫描法和 Jarvis 步进法。本文只简单介绍一下 Graham 扫描法，其正确性的证明和 Jarvis 步进法的过程大家可以参考算法导论 。 对于一个有三个或以上点的点集 Q，Graham 扫描法的过程如下： 令 p0 为 Q 中 Y-X 坐标排序下最小的点 设为对其余点按以 p0 为中心的极角逆时针排序所得的点集（如果有多个点有相同的极角，除了距 p0 最远的点外全部移除压 p0 进栈 S压 p1 进栈 S压 p2 进栈 Sfor i 3 to mdo while 由 S 的栈顶元素的下一个元素、S 的栈顶元素以及 pi
19、构成的折线段不拐向左侧对 S 弹栈压 pi 进栈 Sreturn S;此过程执行后，栈 S 由底至顶的元素就是 Q 的凸包顶点按逆时针排列的点序列。需要注意的是，我们对点按极角逆时针排序时，并不需要真正求出极角，只需要求出任意两点的次序就可以了。而这个步骤可以用前述的矢量叉积性质实现。 四、结语 尽管人类对几何学的研究从古代起便没有中断过，但是具体到借助计算机来解决几何问题的研究，还只是停留在一个初级阶段，无论从应用领域还是发展前景来看，计算几何学都值得我们认真学习、加以运用，希望这篇文章能带你走进这个丰富多彩的世界。目录 点的基本运算 1. 平面上两点之间距离 1 2. 判断两点是否重合 1
20、 3. 矢量叉乘 1 4. 矢量点乘 2 5. 判断点是否在线段上 2 6. 求一点饶某点旋转后的坐标 2 7. 求矢量夹角 2 线段及直线的基本运算 1. 点与线段的关系 3 2. 求点到线段所在直线垂线的垂足 4 3. 点到线段的最近点 4 4. 点到线段所在直线的距离 4 5. 点到折线集的最近距离 4 6. 判断圆是否在多边形内 5 7. 求矢量夹角余弦 5 8. 求线段之间的夹角 5 9. 判断线段是否相交 6 10.判断线段是否相交但不交在端点处 6 11.求线段所在直线的方程 6 12.求直线的斜率 7 13.求直线的倾斜角 7 14.求点关于某直线的对称点 7 15.判断两条直
21、线是否相交及求直线交点 7 16.判断线段是否相交，如果相交返回交点 7 多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 8 2. 检查多边形顶点的凸凹性 9 3. 判断多边形是否凸多边形 9 4. 求多边形面积 9 5. 判断多边形顶点的排列方向，方法一 10 6. 判断多边形顶点的排列方向，方法二 10 7. 射线法判断点是否在多边形内 10 8. 判断点是否在凸多边形内 11 9. 寻找点集的 graham 算法 12 10.寻找点集凸包的卷包裹法 13 11.判断线段是否在多边形内 14 12.求简单多边形的重心 15 13.求凸多边形的重心 17 14.求肯定在给定多边形内的一个
22、点 17 15.求从多边形外一点出发到该多边形的切线 18 16.判断多边形的核是否存在 19 圆的基本运算 1 .点是否在圆内 20 2 .求不共线的三点所确定的圆 21 矩形的基本运算 1.已知矩形三点坐标，求第 4 点坐标 22 常用算法的描述 22 补充 1两圆关系： 24 2判断圆是否在矩形内： 24 3点到平面的距离： 25 4点是否在直线同侧： 25 5镜面反射线： 25 6矩形包含： 26 7两圆交点： 27 8两圆公共面积： 28 9. 圆和直线关系： 29 10. 内切圆： 30 11. 求切点： 31 12. 线段的左右旋： 31 13公式： 32 /* 需要包含的头文件
23、 */ #include /* 常用的常量定义 */ const double INF = 1E200 const double EP = 1E-10 const int MAXV = 300 const double PI = 3.14159265 /* 基本几何结构 */ struct POINT double x; double y; POINT(double a=0, double b=0) x=a; y=b; /constructor ; struct LINESEG POINT s; POINT e; LINESEG(POINT a, POINT b) s=a; e=b; LINE
24、SEG() ; struct LINE / 直线的解析方程 a*x+b*y+c=0 为统一表示，约定 a = 0 double a; double b; double c; LINE(double d1=1, double d2=-1, double d3=0) a=d1; b=d2; c=d3; ; /* * 点的基本运算 * */ double dist(POINT p1,POINT p2) / 返回两点之间欧氏距离 return( sqrt( (p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y) ) ); bool equal_point(POI
25、NT p1,POINT p2) / 判断两个点是否重合 return ( (abs(p1.x-p2.x)0:ep 在矢量 opsp 的逆时针方向； r=0：opspep 三点共线； r0:两矢量夹角为钝角 */ double dotmultiply(POINT p1,POINT p2,POINT p0) return (p1.x-p0.x)*(p2.x-p0.x)+(p1.y-p0.y)*(p2.y-p0.y); /* 判断点 p 是否在线段 l 上，条件：(p 在线段 l 所在的直线上) if (cosfi 0) return fi; / 说明矢量 os 在矢量 oe 的顺时针方向 retu
26、rn -fi; /* * * * 线段及直线的基本运算 * * * */ /* 判断点与线段的关系 ,用途很广泛 本函数是根据下面的公式写的，P 是点 C 到线段 AB 所在直线的垂足 AC dot AB r = - |AB|2 (Cx-Ax)(Bx-Ax) + (Cy-Ay)(By-Ay) = - L2 r has the following meaning: r=0 P = A r=1 P = B r1 P is on the forward extension of AB 01) np=l.e; return dist(p,l.e); np=perpendicular(p,l); ret
27、urn dist(p,np); / 求点 p 到线段 l 所在直线的距离,请注意本函数与上个函数的区别 double ptoldist(POINT p,LINESEG l) return abs(multiply(p,l.e,l.s)/dist(l.s,l.e); /* 计算点到折线集的最近距离 ,并返回最近点 . 注意：调用的是 ptolineseg()函数 */ double ptopointset(int vcount,POINT pointset,POINT p,POINT double cd=double(INF),td; LINESEG l; POINT tq,cq; for(i=
28、0;i=min(v.s.x,v.e.x) / (线段 u 和 v 相交) / 线段 v 所在直线与线段 u 相交时返回 true；方法：判断线段 u 是否跨立线段 v bool intersect_l(LINESEG u,LINESEG v) return multiply(u.s,v.e,v.s)*multiply(v.e,u.e,v.s)=0; / 根据已知两点坐标，求过这两点的直线解析方程： a*x+b*y+c = 0 (a = 0) LINE makeline(POINT p1,POINT p2) LINE tl; int sign = 1; tl.a=p2.y-p1.y; if(tl
29、.a0) return atan(k); else return PI+atan(k); / 求点 p 关于直线 l 的对称点 POINT symmetry(LINE l,POINT p) POINT tp; tp.x=(l.b*l.b-l.a*l.a)*p.x-2*l.a*l.b*p.y-2*l.a*l.c)/(l.a*l.a+l.b*l.b); tp.y=(l.a*l.a-l.b*l.b)*p.y-2*l.a*l.b*p.x-2*l.b*l.c)/(l.a*l.a+l.b*l.b); return tp; / 如果两条直线 l1(a1*x+b1*y+c1 = 0), l2(a2*x+b2*
30、y+c2 = 0)相交，返回 true，且返回交点 p bool lineintersect(LINE l1,LINE l2,POINT if(abs(d)EP) / 不相交 return false; p.x = (l2.c*l1.b-l1.c*l2.b)/d; p.y = (l2.a*l1.c-l1.a*l2.c)/d; return true; / 如果线段 l1 和 l2 相交，返回 true 且交点由(inter)返回，否则返回 false bool intersection(LINESEG l1,LINESEG l2,POINT ll1=makeline(l1.s,l1.e); l
31、l2=makeline(l2.s,l2.e); if(lineintersect(ll1,ll2,inter) return online(l1,inter); else return false; 可以应付大部分 zoj 上的几何题 Sample TextSample Textzoj 上的计算几何题Vol I 1010 by pandahyx 1032 by javaman 1037 by Vegetable Bird 1041 by javaman 1081 by Vegetable Bird 1090 by Vegetable Bird Vol II 1104 by javaman 11
32、23 by javaman 1139 by Vegetable Bird 1165 by javaman 1199 by Vegetable Bird Vol V 1426 by Vegetable Bird 1439 by Vegetable Bird 1460 by Vegetable Bird 1472 by Vegetable Bird Vol VI 1597 by Vegetable Bird Vol VII 1608 by Vegetable Bird 1648 by Vegetable Bird Vol XII 2102 by pandahyx 2107 by pandahyx 2157 by pandahyx Vol XIII 2234 by pandahyx Vol XIV 2318 by ahyangyi 2394 by qherlyt Vol XV 2403 by Vegetable Bird
