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1、9环球城市数学竞赛2000 春季赛 初中组 高级卷解析 试求方程式的所有0)1()(1)1()1()1( 22029202 xxxxx 实数解。(三分)小淳：我用公式 ，则yxynnn11 21202 )()()(0xx1222)()(若 ，矛盾。2|1| xx或又 无解1，代入原式符合。0小地：我先提出 ，再用公式2)(x xxnn112 101 )()(0x 22)(1)(221xx2若 ，矛盾。112xx或x又 无解，代入原式符合。01xx小君：我先把 2 项，2 项地结合起来 212)()1()(0x )1(80 x10)1()1()(1)(12082 xxxx 20820任意实数的偶

2、次方均大于等于 0。令 20182 )()()(A如果 ，则 ;x2x如果 ，则 。00，代入原式成立。)1()(1222 夌设梯形的上底与下底的长度都是整数，试证：这个梯形可以分割为若干个全等的三角形。(三分)小淳：我会画！例如上底长是 3，上底长是 4。那么我就如图 1a 所示，把梯形分割全等的三角形。小地：不对，你只是分割一个特殊的梯形。我知道边长为整数的正方形、长方形或等腰直角三角形一定可以被分割成全等三角形( 如图 1b)。但是这题我不会。小君：这题我会，其实你已经快作出答案了，你再仔细瞧瞧图，如果它不是长方形而是平行四边形呢？小地：那一样可以。您看，我用 GSP(动态几何画板 )的

3、软件在计算机上画出上图，我只要拖动长方形的一顶点就变成平行四边形了，可以清楚看出它可以被分割成许多全等的三角形。小君：如果每一个小平形四边形格子的长、宽不同长度呢？小地：嗯，那也可以。喔！我会啦！在计算机上拖动自由点就可以了。设梯形上底长为 ，下底长为 (如图 1c)，过 点作 的并行线。且交 于 ，因mnCADABE为 长度为 。所以我在 取 的等分点过这些点作 的并行线，EBEmnCD另外在 上找 等分点，过这些等分点作 的并行线。(如图 1c)就完成E了。小君：非常好，可是你别忘了要证明这些三角形都是全等的。否则被扣分就划不来了。小地：我差点忘了。因为平行四边形 (如图 1d)。PQRS

4、与 ， 与 是二对内错角所RSQP以它们都互相相等。 是公用边。由 ASA 定理SP1a1b 1c1dmn BEA CDmn-mn11。图 1c 中的三角形都是全等平行四边形中的右上三角形(三角RQSP形 或者左下三角形(三角形 ，所以它们都全等。) )PSQ奅给定一个圆盘及内部一点 , 求所有可能形成矩形 中之顶点 的轨迹，其AABCD中 和 点在圆盘的边上？(注：顶点 和 是变动的) (六分)BDB(i)令圆的半径为 ，圆心为 。rO如果 点是在圆心 上，则 。所以 的轨迹是以 为圆A22rCO心。半径为 的圆。2(ii)若 点不在圆心 上，则过圆心 作直线 平行 ，延长 与 的交点为 ，

5、LADBLE延长 与 的交点为 。则CDLF222OErBE22DrOF又 为长方形(四个角都是直角)EA又 22FAO(定数)22rB点的轨迹为以圆 为圆心， 为半径的圆。C2r妵强盗甲及强盗乙二人要分抢来的 100 个金币，他们分赃的方法如下：每次由强盗甲抓一把金币，并如实地报出金币的数量，然后由强盗乙决定这一把金币归谁所有，这样继续下去，直到当中有一人得九次为止，所剩的金币归另一人所有(依照这样的分法也有可能没人分到九次，金币就分完了)，强盗甲每次可按照自己的策略抓取若干个金币。无论强盗乙如何决定，问强盗甲保证最多可以得到几个金币 (除写出答案外，请详述强盗甲之策略，并证明他无法保证得到

6、更多)？(七分)强盗乙的策略：只要强盗甲抓金币的个数 6，则强盗乙就分配给自己，否则分配给强盗甲。在上述强盗乙的策略下强盗甲可分得的金币：(i)如果先分配给强盗乙 9 次，则强盗乙至少可分到 个金币。549(ii)如果先分配给强盗甲 9 次，则强盗甲至多分到 个金币。所以强盗甲最多分到不超过 46 个金币。强盗甲的策略：甲抓 16 次 6 个金币，1 次 4 个金币，在强盗甲策略下(i)如果先分配给强盗乙 9 次，则强盗乙至多分到 个金币。5496(ii)如果先分配给强盗甲 9 次，则强盗甲至少分到 个金币。28所以强盗甲最少分到 46 个金币。(5)在 的棋盘上，最多可以放置多少个西洋棋的“

7、骑士” ，使得每只棋子都恰可攻5击其它二个“骑士” (请绘出其配置图，在符合题目所给条件下，试证：不可能放置更多的“骑士”) ？( 注：骑士在棋盘上可攻击的位置为横二纵一或横一纵二的位12置。) (七分)(本解答为永吉国中一年级黄绍伦之解答；该解答荣获国中组最佳解题奖)答：最多可放置 16 个，配置图如图(一)证明：首先将棋盘涂成黑白相间，如图(二)，由图可看出在黑点的骑士只能攻击白点的骑士，在白点的骑士只能攻击在黑点的骑士。设在黑点的骑士有 个，由一个骑士k可攻两个骑士知被攻击的白点有 个，但每个白点的骑士可攻两人，即被两人攻击，k2故白点有 个。即在黑点的骑士数等于在白点的骑士数。k21(

8、1)假如角落 有骑士，如图(三)，颢然 、 的位置必有骑士，当 、 有骑士时，x1a2 1a2图中标识 的点就可能有骑士，但 、 已与 有关，故 9 个标识 的位置中最x多只有两个骑士，其余 7 个不能有骑士，即 7 个黑点没有骑士，有骑士的黑点最多为 13-7=6 个，又白点 = 黑点，故所有骑士最多为 。6(2)假设中心点 有骑士，如图(四)，则所有标识 的位置都可能有骑士，但 只能与y y两个骑士有关，故 中有 8-2=6 个点没有骑士，有骑士的白点至多为 12-6=6，又白点 = 黑点，所有骑士至多为 。162由(1)(2)可知角落与中心点如果有骑士，则所有骑士数小于 16，因此四个角落与中心点没有骑士，黑点剩下 13-4-1=8，所有骑士最多为 8+8=16。(一) (二)(三)x1a2(四) y