1、省前中国际分校 2017 届高三第二次学情检测数学试卷（ 160 分 文理通用） 2016.10 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1. 函数 28yx的定义域为 A，值域为 B，则 AB= 2. 已知等差数列a n，a 4+a6=10，前 5 项的和 S5=5，则其公差为 3. 函数 y=x2sinx 在（0，2）内的单调增区间为 4. 若 ,rab均为单位向量，且 (2)rrb，则 ,ra的夹角大小为 . 5. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边经过点 P（2，t） ，且5sinco，则实数 t 的值为 6.数列 na中，
2、11,23nna，则 20a= 7. 设 为第二象限角 ,若 t()4,则 sinco_. 8. 已知下列四个命题，其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)(1) 命题“ xR，使得 012x”的否定是“ xR，都有 012x”； (2) 命题“在 ABC中，若 ，则 BAsini”的逆命题为真命题；(3) “ 0)(f”是“函数 )(f在 0处取得极值”的充分不必要条件；(4) 直线 bxy21不能作为函数 xe1图象的切线 .9.如图 ABC中,已知点 D 在 BC 边上,AD AC,sin,3,A则 B的长为_ 10.已知 f(x)是定义在-1，1上的奇函数，若 m， n -1，
3、1， m+n0 时，有 ffn0，则不等式 1()2fx的解集为 11. 已知函数 ()sin)(0),24fx+x，为 ()fx的零点， 4为 ()yfx图像的对称轴，且 f在 51836， 单调，则 的最大值为 12. 已知函数 ()lnxax在 (0,)e上是增函数，函数2()|xage.当 0,ln3x时，函数()gx的最大值 M 与最小值 m 的差为 32，则 a=_ _. 13. 已知 O是锐角 ABC的外接圆的圆心，且 A,若 coss2iniBCAmOurrur,则 m （用 表示）14已知以 4T为周期的函数21,(,1()3xfx，其中 0若方程 3()fx恰有 5 个实数
4、解，则 的取值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分 14 分） 已知函数 )0(4)(2xaxf。（）若 f为奇函数，求 a 的值；（）若 )(x在 ),3上恒大于 0，求 a 的取值范围。16. （本小题满分 14 分）已知向量 (sin,1)mxur， 1(3cos,)2xr，函数 ()fxmnur（1 ）求函数 )(xf的最小正周期 T及单调增区间；（2 ）在 ABC中，内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c， A为锐角， 23a， 4c且)(f是函数 )(xf在 2,0上的最大值，求 A的面积
5、S17. （本小题满分 14 分）在 ABC中，角 、 、 C所对的边分别是 a、 b、 c，且满足 os2cCA2sin3Csin3（1）求角 A的大小； （2）若 3a且 b，求 2c的取值范围18. （本小题满分 16 分）如图，直线 l 是湖岸线，O 是 l 上一点，弧 是以 O 为圆心的半圆形栈桥，C 为湖岸线 l 上一观景亭，现规划在湖中建一小岛 D，同时沿线段 CD 和 DP（点 P 在半圆形栈桥上且不与点 A，B 重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为 DP=DC，CDP=60且圆弧栈桥 BP 在CDP 的内部，已知 BC=2OB=2（km） ，设湖岸BC 与直线栈桥 CD，
6、DP 是圆弧栈桥 BP 围成的区域（图中阴影部分）的面积为 S（km 2） ，BOP=（1）求 S 关于 的函数关系式；（2）试判断 S 是否存在最大值，若存在，求出对应的 cos 的值，若不存在，说明理由19. （本小题满分 16 分）已知数列 an是公差为正数的等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a2a315， S416（1）求数列 an的通项公式；（2）数列 bn满足 b1 a1， bn1 bn 1anan+1求数列 bn的通项公式；是否存在正整数 m， n(m n)，使得 b2， bm， bn成等差数列？若存在，求出 m， n 的值；若不存在，请说明理由20. （本小题满分 16 分
7、）已知函数 32()()fxabax（ ,b不同时为零的常数） ，导函数为 ()fx.（1）当 时，若存在 ,1使得 ()0f成立，求 的取值范围；（2）求证：函数 ()yfx在 0)内至少有一个零点；（3）若函数 f为奇函数，且在 处的切线垂直于直线 230xy，关于 x的方程1()4fxt在 ,(1)t上有且只有一个实数根，求实数 t的取值范围.省前中国际分校 2017 届高三第二次学情检测数学试卷（ 160 分 卷）答案一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1.-4,3 2. 2 3.(,)3 4.35. 4 6. 215 7.10
8、5 8. (2)(4) 9. 3 10.)41,011. 912. 52 13. sin 14. (,7)3二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 解：（） )(xf的定义域关于原点对称若 f为奇函数，则 )(4)()(2xfxaf a=0（） 241)(xf在 ),3上 0(f f在 ,3上单调递增 x在 ,3上恒大于 0 只要 大于 0 即可, 3101aa若 )(f在 )上恒大于 0，a 的取值范围为 316. 解：（1）由题意可得： ()sin2)6fxp=-+， 则 T，单调递增区间为： ,k()kZ （2 ）由（1）可知：
9、()si()fA-，又由于 0,2A，则 5266A，由正弦函数的图像可知，当 3时， fx取得最大值 3， 由正弦定理得 sinC，即 2，则 b，故 1ABCSab 17. （1）由已知得 2isinAC22cosin4，化简得 3sin，故 3或 （2）由正弦定理 2iisinbcaBCA，得 sin,2sibBcC， 故 4sn24()3bc= 3o3i().6因为 ba，所以 23B， 62，所以 2sin()3,)c18. 解：（1）在COP 中，CP2=CO2+OP22OCOPcos=106cos，从而CDP 得面积 SCDP = CP2= （5 3cos） ，又因为COP 得面
10、积 SCOP = OCOP= sin，所以 S=SCDP +SCOP S 扇形 OBP= （3sin3 cos ）+ ，0 0，cos 0= ，当 DP 所在的直线与半圆相切时，设 取的最大值为 0，此时在 COP 中，OP=1， OC=3， CPO=30 ，CP= =6sin0，cos 0= ，（2 ）存在，S = （3cos+3 sin1） ，令 S=0，得 sin（+ ）= ，当 0 0，S0，所以当 =0 时，S 取得最大值，此时 cos（ 0+ ）= ，cos 0=cos（ 0+ ） =cos（ 0+ ）cos +sin（ 0+ ）sin =19. 解：（1）设数列a n的公差为 d
11、，则 d0由 a2a315 ， S416，得 (a1 d)(a1 2d) 15，4a1 6d 16， )解得 或 （舍去）a1 1，d 2， ) a1 7，d 2 )所以 an2n1 4 分（2 ） 因为 b1a 1，b n1 b n ，1anan+1所以 b1a 11，bn+1b n ( )， 6 分1anan+1 1(2n 1)(2n 1) 12 12n 1 12n 1即 b2b 1 (1 )，12 13b3 b2 ( )，1213 15bn bn 1 ( )， （n2）12 12n 3 12n 1累加得：b nb 1 (1 ) ， 9 分12 12n 1 n 12n 1所以 bnb 1
12、1 n 12n 1 n 12n 1 3n 22n 1b1 1 也符合上式故 bn ，nN* 11 分3n 22n 1假设存在正整数 m、n(mn )，使得 b2，b m，b n 成等差数列，则 b2b n2b m又 b2 ，b n ，b m ，43 3n 22n 1 32 14n 2 32 14m 2所以 ( )2( )，即 ， 43 32 14n 2 32 14m 2 12m 1 16 14n 2化简得：2m 7 14 分7n 2n 1 9n 1当 n13，即 n2 时，m2 ， （舍去） ；当 n19，即 n8 时，m3 ，符合题意所以存在正整数 m3，n8，使得 b2，b m，b n 成
13、等差数列 16 分20解：（1）当 1a时， ()fx= 31= 31)(2bx，其对称轴为直线 xb，当 2,(3)0bf ，解得 2615b，当 2,(1)0bf， b无解，所以 的的取值范围为 (,)4 分（2）因为 2()3()fxabxa，法一：当 0时， 1适合题意6 分当 a时， 0)(2ax，令 abt，则 0)1(23tx，令 ()31hxt，因为 124h，当 1t时， (0)，所以 ()yx在 ,0)内有零点当 t时， 20t，所以 在（ 21内有零点因此，当 a时， ()yhx在 1,)内至少有一个零点 综上可知，函数 f在 内至少有一个零点10 分法二： (0)fb，
14、 ()2ab， 2()3af由于 ,a不同时为零，所以 10f，故结论成立(3)因为 ()fx= 32()bax为奇函数，所以 b,所以 ()fxax3，又 在 1处的切线垂直于直线 23y，所以 1a，即 因为 3()(fxx 所以 ()fx在 3,),()上是増函数，在 3,上是减函数，由 0f解得 1,0，如图所示，当 31t时， ()4ftt，即 43tt，解得 32t；当 0t时， 1()0ftt ，解得 0t；当 t时，显然不成立；当 30t时， 1()04ftt，即 43tt，解得 30t；当 t时， ()ftt，故 2t所以所求 t的取值范围是 023t或 3tyO 1 x-1
