1、 学科: 数学 年级：高一版本：人教版 期数：2333本周教学内容：4.10 正切函数的图像和性质【基础知识精讲】1.正切函数的图像(1)根据 tan(x+)= )cos(inx= xcosin=tanx(其中 xk+ 2,kZ)推出正切函数的周期为 .(2)根据 tanx= xcosin,要使 tanx 有意义，必须 cosx0,从而正切函数的定义域为xxk+ 2,kZ(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取 x(- , 2).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出 y=tanx,x(- 2, )的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,xk+ (kZ)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.
2、y=tanx2.余切函数的图像如下：y=cotx3.正切函数、余切函数的性质：正切函数 y=tanx 余切函数 y=cotx定义域xxR 且 xk+ 2,kZxxR 且 xk,kz值域 R R周期性 奇偶性 奇 奇单调性每个区间(k- 2,k+ )上递增(kZ)每个区间(k,(k+1)上递减(kZ).注：正切函数在每一个开区间(k- ,k+ )(kZ)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.【重点难点解析】本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因 y=tanx 定义域是xxR,xk+ 2,kZ，所以它的图像被平行线x=
3、k+ 2(kZ)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数 y=tanx 的定义域是xxk+ 2,kZ,而不是 R，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k- ,k+ 2)(kZ)上是连续的；(3)在每一个区间(k- 2,k+ )(kZ)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数 .2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特
4、别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例 1 作出函数 y=tanx的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数 y=tanx的图像，可先作出 y=tanx 的图像，然后将它在 x 轴上方的图像保留，而将其在 x 轴下方的图像向上翻(即作出关于 x 轴对称图像)，就可得到y=tanx的图像.解：由于 y=tanx= tanx,xZk,k+ 2-tanx,x(k- ,k)(kZ)所以其图像如图所示，单调增区间为k,k+ 2)(kZ);单调减区间为 (k-2,k (kZ).说明：根据图像我们还可以发现：函数 y=tanx的最小正周期为 .一般地，y=Atan(x+)的最小正周期与 y
5、=Atan(x+)的最小正周期相同，均为 .例 2 求函数 y=lg(tanx- 3)+ 3cos2x的定义域.解：欲使函数有意义，必须tanx ,2cosx+ 0,xk+ 2(kZ)由此不等式组作图函数的定义域为(k+ 3,k+ 2).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例 3 求函数 y=tan(2x- 3)的单调区间.解：y=tanx,x(- 2+k, +k)(kZ)是增函
6、数.- 2+k2x- 3 +k,kZ.即- 1+kx 125+k， kZ函数 y=tan(2x- 3)的单调递增区间是 (-12+k,5+ 2).(kZ)例 4 求函数 f(x)=tan(2x+ )的周期.解：因为 tan(2x+ 3+)=tan(2x+ 3)即 tan2(x+ 2)+ =tan(2x+ )tan(2x+ 3)的周期是 .例 5 求函数 y=3tan(2x+ 3)的对称中心的坐标.分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即( 2k,0)(kZ).函数y=Atan(x+)的图像可由 y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与
7、x 轴交点.解：由 2x+ 3= 2k,(kZ)得x= 4k- 6(kZ)对称中心坐标为( 4k- 6,0)(kZ)注意：函数 y=Atan(x+)(A0,0)的图像及性质可与函数 y=Asin(x+)(A0,0)的图像及性质加以比较研究.【难题巧解点拔】例 判断函数 f(x)=tan(x- 4)+tan(x+ )的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间 .分析：奇偶性的判断必须考虑定义域是否关于原点对称.是否对任意 x 有 f(-x)=-f(x)，或 f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为xxR 且 xk+ 4,kZ它是关于原点对称
8、.又 f(-x) =tan(-x+ 4)+tan(-x- )=-tan(x- )-tan(x+ )=-f(x)故此函数是奇函数.y=tan(x- 4)+tan(x+ )=tan(x- )+(x+ ) 1-tan(x- 4)tan(x+ )=tan2x1+cot(x+ 4)tan(x+ )=2tan2xsin( 2-a)=cosacos( -a)=sinatan( 2-a)=cotacot(-a)=tana故 tan 2-(x+ 4)=cot(x+ 4)即-tan(x- )=cot(x+ )周期为 2当 k- 2xk+ 22k- 4xxk+ (kZ)即 x(- , 2+ 4)时，原函数是增函数.
9、评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.y=Atan(x+)(A0)的周期为 T= .例 2 已知)6cos(91lgx1,求函数 y=cot2x-2cotx+5 的值域.分析：从已知条件的不等式中解出 cotx 的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.解：由已知条件，可得 0lg 21-9cos(x+ )1.得- 21cos(x+ 6)k+ 3x+ k+ 3,kZ.k+ 6xk+ 2,kZ.0cotx y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4当 x=k+ 4,kZ 时，y 取最小值 4.当 x=k+ 2,kZ 时，y
10、取最大值 5.从而函数 y=cot2x-2cotx+5 的值域是4,5.【课本难题解答】课本第 72 页第 5 题：(1)x- 4+kx 2+k,kZ (2)x 3+kx +k,kZ第 6 题：(1)D (2)C (3)C (4)B【命题趋势分析】从历届高考试题可以看到，本节内容主要考查函数的定义域，周期性，图像及单调性等知识，一般以选择题，填空题题型出现，属基本题.【典型热点考题】例 1 满足 tancot 的角的一个取值区间是( )A.(0， 4) B.0， 4 C. 4， 2 D.( 4， 2)分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.解：由选择项，可以考虑 (0
11、， )的性况.tantan( 2-),且 , 2-(0, ) -, 4 .故选 C.例 2 函数 y= x2tan1的最小正周期是( )A. 4B. C. D.2解法 1：将四个选项分别代入函数式验算，可知 B 正确.应选 B.解法 2：y= x2tan=cos4xT= 4=应选 B.例 3 函数 y=x21log+ tan的定义域是 .解：x 应满足 2+log x0 x0 tanx0 xk+ 2,kZ 由得 0x4 由并注意到得 0x40x 或 x 230x 2或 x4.应填(0， )，4例 4 如果 、( 2,), 且 tancot,那么必有( )A. B. C.+ 23D.+ 23解：
12、tancot0，tantan1.有 tan(+)= tan1t0有 +(， 23)+ 23.应选 C.说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取 = 32,可排除A、B、D.本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.下列不等关系中，正确的是( )A.cot3cot4cot5 B.cot4cot3cot5B.cot4cot5cot3 D.cot5cot4cot32.下列不等式中，正确的是( )A.tan 74tan3 B.tan(- 413)tan(- 512)C.cot4cot3 D.cot281cot6653.观察正切曲线，满足条件tanx1 的 x 的取值范围是(其中 kZ
13、) ( )A.(2k- 4,2k+ ) B.(k,k+ 4)C.(k- ,k+ ) D.(k+ ,k+3)4.函数 y=tanx-cotx 的奇偶性是( )A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数 D.非奇非偶函数5.如果 4 2，则 sin,cos,tan 的大小关系是 ( )A.sincostan B.cossintanC.tansincos D.costansin6.y=tanx+cotx 的最小正周期是( )A. B. 2C. 4D.以上均不正确7.将函数 y=tan2x 的图像向右平移 个单位后得到的图像的解析式为( )A.y=tan(2x+ 4) B.y=tan(2x- 4
14、)C.y=cot2x D.y=-cot2x8.若 tan(2x- 3)1,则 x 的取值范围是 ( )A. 2k-1x 2k+ 47(kZ)B. - x + (kZ)C.k- 12xk+ 47(kZ)D.k- 12xk+ 47(kZ)9.函数 f(x)= xcott的定义域为( )A.(k,k+ 2),kZ B.(k- 2,k),kZC.(k,k+),kZ D.以上均不正确10.下列命题中正确的是( )A.y=tanx 在第一象限单调递增. B.在 y=cotx 中，x 越大，y 反而越小C.当 x0 时，tanx0. D.以上均不正确.11.函数 y=tan( 21x- 3)在一个周期内的图
15、像是 ( )12.函数 f(x)= x2sinco的最小正周期是( )A.4 B.2 C. D. 2二、填空题1.使函数 y=tanx 和 y=cosx 同时为单调递增函数的区间是 .2.满足 tancot 的角 的范围是 .3.函数 y=3tan( 21x- 4)的定义域是 ，值域是 .4.函数 y=sinx+cotx 的图像关于 对称.三、解答题：1.求下列函数的定义域：(1)y= xsin21)lg(ta(2)y=)3tan(1cos2x(3)y= 2cot3x2.求函数 y= taec2的值域.3.求函数 y=-2tan(3x+ 3)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.4
16、.已知 f(x)=tan(2x-b)的图像的一个对称中心为( 3，0)，若b 31，求 b 的值.【素质优化训练】1.解不等式 3tan2(2x- 4)-(3- 3)tan(2x- 4)- 0.2.已知函数 f(x)=tan(x+),且对于定义域内任何实数 x，都有 f(x)=f(x+1)-f(x+2),比较 tan(a+3)与 tan(a+-3)的大小.3.已知有两个函数 f1(x)=asin(kx+ 3),f2(x)=bsin(kx- 3)(k0)它们的最小正周期之和为 2，且 f1( 2)=f2( ),f1( 4)=- f2( )+1,求 a、b、k 之值.4.已知关于 x 的一元二次方
17、程 4x2+5x+k=0 的两根分别为 sin、cos,(1)求 k.(2)求以 tan、cot 为两根的一元二次方程.5.求证：函数 y=Atan(x+)(A0)为奇函数的充要条件是 =k(kZ).【生活实际运用】A、B、C 是一条直路上的三点，AB 与 BC 各等于 1 千米，从三点分别遥望塔 M，在 A 处见塔在东北方向，在 B 处见塔在正东方向，在 C 处见塔在南偏东 60，求塔与路的最短距离.分析：求塔与路的距离 MD 的最小值，在引入参变量角 以后，主要是找参变量 和 MD 的关系式，也就是将 MD 表示成 的函数，注意到 BD、DA 与 MD 的联系时，建立三角函数模型就不困难了
18、.解：如图所示，设塔到路的距离 MD 为 x 千米，BMD=，则CMD=30+,AMD=45-,AB=BD+DA=xtan+xtan(45-),BC=CD-BD=xtan(30+)-xtan.AB=BC=1,xtan+xtan(45-)=xtan(30+)-xtan=1.x= )45tan(1= tan)30tan(1.那么 x= t1t=tt,即 2tan= 2tan3.tan=.因此 x= 2tan1=2)13(= 357千米.即塔与路的最短距离是 千米.【知识探究学习】求函数 y= 21x+x2的最大、最小值.解：函数的定义域为 1-x20,且 x0,即-1x1,x0,作三角代换：令 x
19、=sin(- ,且 0)则y= cos1in2+ is= cos1in2+ si= cs)i(= 2s)(=(1+tan 2)2- ，0，- 4 ， 20.当 tan 2=1 即 =时，取得 ymax=4，当 tan =-1 即 =- 时，取得 ymax=0.参考答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D二、1.2k-,2k- 2)和(2k- ,2k (kZ)2.(k,k+ 4)(k+ ,k+ 43)(kZ)3.xx2k+ 23,kZ4.(k,0)(kZ)三、1.(1)(2k- 4,2k-)(kZ)(2)x2k- 3x2k+ 3,且 x2k- 6,kZ (3)x2k+ x2k+2,kZ 2. 31y33.定义域xx 3k+18,kZ值域 R，周期 ，非奇非偶函数在区间( 3k- 185, + )(kZ) 上是单调减函数.4.b=-【素质优化训练】1.k 2k+ 4x 2k+,kZ2.相等3.a=- 3-1,b= +1,k=24.(1)k= 89(2)x2- x+1=05.略
