1、2015-2016 学年天津市八校高三（上）12 月联考数学试卷（理科）一选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）复数 z= 的共轭复数所对应的点位于复平面的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知设 ，b=log 23， ，则 a，b，c 大小关系是（ ）Aabc Bba c Cc ba Dbca3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+3y 的最小值为（ ）A2 B4 C5 D204 （5 分）抛物线 y2=12x 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的
2、三角形的面积等于（ ）A B C2 D5 （5 分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A82 B8 C8 D86 （5 分）已知条件 p：关于 x 的不等式|x1|+|x 3|m 有解；条件 q：f（x）=（73m） x 为减函数，则 p成立是 q 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）两圆 x2+y2+2ax+a24=0 和 x2+y24by1+4b2=0 恰有三条公切线，若 aR，b R，且 ab0，则的最小值为（ ）A B C1 D38 （5 分）已知函数 f（x）= ，定义在 R 上的函数 g（x）周期为 2，且满足
3、 g（x）=，则函数 h（x）=f（x）g（x）在区间 5，1上的所有零点之和为（ ）A4 B6 C 7 D8二填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ）9 （5 分）某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人，其中高一 480 人，高二比高三多 30 人为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生 96 人，则该样本中的高三学生人数为 10 （5 分）已知向量 =（2，1） ， =（1，2） ，若 m +n =（9，8） （m，n R） ，则 mn 的值为 11 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 5，则整数 m 值为 12
4、 （5 分）如图，F 1，F 2 是椭圆 C1： +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C 2 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是 13 （5 分）在区间1，1上随机取一个数 x，则 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 14 （5 分）数列a n中，a 1=1，S n 为数列a n的前 n 项和，且对n2，都有 =1则a n的通项公式 an= 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15 （13 分）已知圆 C 的圆心为（ 1，2）且与直线 2x+y+1=0 相切（）求圆 C 的标
5、准方程；（）若直线 l 经过点（1，1）且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程16 （13 分）已知数列a n是一个等差数列，S n 为其前 n 项和，a 2=1，S 9=45（）求数列a n的通项公式；（）设 bn= ，c n=2bn，求数列c n的前 n 项和 Tn17 （13 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ac= b，sinB= sinC，（）求 cosA 的值；（）求 cos（2A ）的值18 （13 分）已知函数 f（x） =cosxsin（x+ ） cos2x+ ，xR（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在闭区间 ， 上
6、的最大值和最小值19 （14 分）已知数列a n满足 a1=2，a 2=6，且对 nN+，都有 an+2=2an+1an+2（）设 bn=an+1an，证明数列b n为等差数列；（）求数列a n的通项公式；（）求数列 3n的前 n 项和 Tn20 （14 分）已知函数 （）若 p=2，求曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若函数 f（x）在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围；（）设函数 ，若在1，e上至少存在一点 x0，使得 f（x 0）g（x 0）成立，求实数 p 的取值范围2015-2016 学年天津市八校高三（上）12 月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析
7、一选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分） （2016 海淀区校级一模）复数 z= 的共轭复数所对应的点位于复平面的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】首先化简复数为最简形式，然后求出共轭复数，根据对应点坐标找到位置【解答】解：复数 z= = = =i（1+i）=1+i；其共轭复数为： 1i，对应点为（1 ， 1） ，在第三象限；故选 C【点评】本题考查了复数的运算、共轭复数以及复数的几何意义；属于基础题2 （5 分） （2013 秋 安达市校级期中）已知设 ，b=log 23， ，则
8、a，b，c 大小关系是（ ）Aabc Bba c Cc ba Dbca【分析】由 =0，b=log 23log 22=1，0 （ ） 0=1，能够比较 a，b，c大小关系【解答】解： =0，b=log23log 22=1，0 （ ） 0=1，bca故选 D【点评】本题考查对数值和指数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数和指数函数的性质的灵活运用3 （5 分） （2010 和平区一模）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+3y 的最小值为（ ）A2 B4 C5 D20【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点
9、的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 2x+3y 的最小值【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令 2x+3y=z，显然当平行直线过点 A（2，0）时，z 取得最小值为 4；故选 B【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解4 （5 分） （2014 海口二模）抛物线 y2=12x 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（ ）A B C2 D【分析】根据抛物线的方程算出其准线方程为 x=3，由双曲线的方程算出渐近线方程为 ，从而得到它们的交点 M、
10、N 的坐标，再利用三角形的面积公式算出OMN 的面积，可得答案【解答】解：抛物线方程为 y2=12x，抛物线的焦点为 F（ 3，0） ，准线为 x=3又双曲线 中，a=3 且 b= ，双曲线的渐近线方程为 y= ，即 直线 x=3 与直线 相交于点 M（3， ） ，N（3， ） ，三条直线围成的三角形为MON，以 MN 为底边、O 到 MN 的距离为高，可得其面积为 S= |MN|3= （ ）3=3 故选：A【点评】本题给出抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成的三角形，求三角形的面积着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题5 （5 分） （2016 深圳校级模拟）某几
11、何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A82 B8 C8 D8【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，其底面面积 S=222 12=4 ，柱体的高 h=2，故该几何体的体积 V=Sh=8，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键6 （5 分） （2016 淄博校级模拟）已知条件 p：关于 x 的不等式|x1|+|x 3|m 有解；条件 q：f （x）=（73m） x 为减函数，则 p
12、成立是 q 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】条件 p：由于|x1|+| x3|2，即可得出 m 的取值范围；条件 q：f（x）=（73m） x 为减函数，可得 073m1，解得 m 范围即可得出【解答】解：条件 p：|x1 |+|x3|31|=2，而关于 x 的不等式|x1|+|x 3|m 有解，m2；条件 q：f（x）=（7 3m） x 为减函数，07 3m1，解得 则 p 成立是 q 成立的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了含绝对值不等式的性质、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （5 分） （2010 天
13、津校级模拟）两圆 x2+y2+2ax+a24=0 和 x2+y24by1+4b2=0 恰有三条公切线，若aR，bR，且 ab0，则 的最小值为（ ）A B C1 D3【分析】由题意可得 两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由 =3，得到 =1，= + = + + ，使用基本不等式求得 的最小值【解答】解：由题意可得 两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a） 2+y2=4，x 2+（y2b） 2=1，圆心分别为（a ，0） ， （0，2b） ，半径分别为 2 和 1，故有 =3，a 2+4b2=9， =1， = + = + + +2 =1，当且仅当 = 时，等号成立，故选 C【点评
14、】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到 =1，是解题的关键和难点8 （5 分） （2015 秋 天津月考）已知函数 f（x）= ，定义在 R 上的函数 g（x）周期为 2，且满足g（x）= ，则函数 h（x）=f（x）g（x）在区间 5，1上的所有零点之和为（ ）A4 B6 C 7 D8【分析】化简 g（x）的表达式，得到 g（x）的图象关于点（2，1）对称，由 f（x）的周期性，画出 f（x） ，g（x）的图象，通过图象观察5，1上的交点的横坐标的特点，求出它们的和【解答】解：由题意知 g（x）=2+ ，函数 f（x）的周期为 2，则函数 f（
15、x） ，g（x）在区间 5，1上的图象如下图所示：由图形可知函数 f（x） ，g（x ）在区间5，1上的交点为 A，B，C，易知点 B 的横坐标为 3，若设 C 的横坐标为 t（0t1） ，则点 A 的横坐标为4 t，所以方程 f（x）=g（x）在区间 5，1上的所有实数根之和为3+（ 4t）+t= 7故选：C【点评】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题二填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ）9 （5 分） （2015 秋 黄石校级期中）某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人，其中高一 480 人，高二比
16、高三多 30 人为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生 96 人，则该样本中的高三学生人数为 78 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可【解答】解：高一 480 人，高二比高三多 30 人，设高三 x 人，则 x+x+30+480=1290，解得 x=390，故高二 420，高三 390 人，若在抽取的样本中有高一学生 96 人，则该样本中的高三学生人数为 =78故答案为：78【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据比例关系是解决本题的关键10 （5 分） （2015 江苏）已知向量 =（2，1） ， =（1，2） ，若 m +n =（9，8） （m
17、，n R） ，则 mn 的值为 3 【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可【解答】解：向量 =（2，1） ， =（1，2） ，若 m +n =（9，8）可得 ，解得 m=2，n=5，mn= 3故答案为：3【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力11 （5 分） （2015 秋 天津月考）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 5，则整数 m 值为 5 【分析】由 z=log9P=5，得 P=93=36，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 P，k 的值，当 P=310，k=5时，由题意，应该满足条件 km ，退出循环计算输出 z=log9P=5【解答】解：由 z=lo
18、g9P=5，可得 P=95=310，模拟执行程序，可得：P=1，k=0不满足条件 km，P=1，k=1不满足条件 km，P=3，k=2不满足条件 km，P=33 2=33，k=3不满足条件 km，P=3 333=36，k=4不满足条件 km，P=3 634=310，k=5此时，由题意，应该满足条件 km ，退出循环，计算并输出 z=log9P=5则整数 m=5故答案为：5【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构，根据题意正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题12 （5 分） （2014 抚州一模）如图，F 1，F 2 是椭圆 C1： +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点，
19、A，B 分别是C1，C 2 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是 【分析】设|AF 1|=x，|AF 2|=y，利用椭圆的定义，四边形 AF1BF2 为矩形，可求出 x，y 的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率【解答】解：设|AF 1|=x，|AF 2|=y，点 A 为椭圆 上的点，2a=4，b=1，c= ；|AF 1|+|AF2|=2a=4，即 x+y=4；又四边形 AF1BF2 为矩形， ，即 x2+y2=（2c） 2=12，由得 ，解得 x=2 ，y=2+ ，设双曲线 C2 的实轴长为 2a，焦距为 2c，则 2a=|AF2|AF1|=yx=2 ，2c=2 ，C 2 的离心率是 e= = 故答案为： 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF 1|与|AF 2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题
