完全四点四线型论文.doc

1、楚 雄 师 范 学 院(Chuxiong Normal University)楚雄师范学院数学系数学与应用数学专业高等几何小论文姓 名 范秀兰 学 号 20091021261 专 业 数学与应用数学 年 级 2009 级 高等几何中完全四点（线）形的调和性质应用于初等几何中某些问题的初探摘要：本文对高等几何中的完全四点（线）形的调和性质进行了归纳整理，并从初等几何与高等几何之间的本质联系出发，主要讨论了高等几何中的完全四点（线）形的调和性质应用于初等几何中某些问题的作用，以达到化难为易，拓广解题思路，并进一步获得某些初等几何命题的推广，以更加充实和完善初等几何的内容。关键词：完全四点（线）形；

2、调和性；应用一、完全四点（线）形的概念定义 1：平面内无三点共线的四点及其两两联线所构成的图形称为完全四点形（完全四角形） ，记作完全四点形ABCD。定义 1： 完全四点形含四点六线，每一点称为顶点，每一直线称为边，不过同一顶点的两边称为对边，六边分为三对，每一对对边的交点称为对边点（对角点） ，三个对边点构成的三角形称为对角三角形，如图 1。图 1 图 2 图 3定义 2：平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。称为完全四线形（完全四边形） ，记作完全四线形 。sbcd定义 ：完全死线形 含四线六点，每一直线称为边，每一点称为顶点，不在同一边上的两个顶点称为sbcd对顶，六个顶点分

3、为三对，每一对对顶的连线称为对顶线（对角线） ，三条对顶线构成的三角形称为对角三角形，如图 2.二、完全四点（线）形的调和性质定理 1：设 、 是完全四点形 的一对对边，它们的交点是对边点 ，若 与其它二对边点的连sABCDX线是 、 ，则有 。t1,t推论 1：在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是对边点，另外两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。如图 1 中， 等。,XEPQYZR推论 2：在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是顶点，另一对点偶里，一个点是对边点，一个点是对边点，另一个点是这个边与对边三角形的边的交点。如图 1 中： 等。

4、1,ADB对偶地，可以得出完全四线形的调和性质。定理 2：设 C、D 是完全四线形 abcd 的一对对顶点，它们的连线是对顶线 x，若 x 与其它二对顶点的交点是 A、B，则有（AB，CD）=-1。推论 1：到达完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一组调和共轭线束，其中两直线是对顶线，另两条直线此顶点与第三条对顶线上两对顶点的连线。如图 2 中，E（BA，CD）=-1 等。推论 2：在完全四线形的每个顶点上，有一组调和线束，其中两条边是过此点的两边，在另一对线偶里，一条是对顶边，另一条是这个顶点与对顶三线形的顶点的连线。如图 2 中，F（BA,CD）=-1 等。上述定理及推论的证明可祥见于高等几

5、何 （朱德祥编） 。利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题，以使得初几与高几的学习能够融合贯通，并从中体现高几对初几的指导作用。三、应用举例1、证明平分线段问题例 1 四边形 ABCD 的对边 AB 与 CD 交于 M,BC 与 AB 交于 N,直线 MN 平行于四边形 ABCD 的对角线BD 上,求证：另一对角线 AC 平分线段 MN。证明：如图 3 所示，设平行线 BD 与 MN 交与 ，AC 与 MN 交于 P，视四边形 ABCD 为完全四点Q形（或四线型） ，则 MN 为完全四点形 ABCD 的对边三点行的一条边，由定理 1 的推论 1 或定理 2，易得（MN, )=

6、-1,即（MN, )=(MNP)= =-1PQPQNPM故 P 为线段 MN 的中点，从而对角线 AC 平分线段 MN。由此题的证明过程不难证明其逆命题成立。逆命题：四边形 ABCD 的对边 AB、CD 交于 M,BC、AD 交于 N，对角线 AC 平分线段 MN，求证：直接 MN 平行于四边形 ABCD 的对角线 BD。由以上说明，这一类初等几何问题通过构造四边形，进而把问题转化为完全四点（线）形的问题，然后用其调和性极易得到解决。图 4 图 5 图 62.证明平分角度问题例 2 设 X 为 ABC 的高线 AD 上的任一点，BX、CX 延长线交对边于 Y、Z，则 DA 平分YDZ。证明：如

7、图 4，设 DY 与 CZ 交于 O，则 DCYX 为完全四点形，由完全四点行的调和性，有（CX,OZ)=-1以 D 为射影中心向这四点投影得（DC、DX,DO、DZ)=-1又因 ,则知 DX，DC 分别为 的内、外角平分线，即 DA 平分 。CXDZYDZ当ABC 为钝角三角形时，仿上同理可证。例 3 两圆相交于 A、B 两点，过 A 引 AB 的垂线，交两圆于 C、D，连 BC、BD 交两圆于 E、F，证明 AB 平分 或其外角。EF设 AF 交 CB 于 G，视 ABGD 为完全四点形，仿上例可同理证明本题结论。由以上两例不难看出，利用完全四点（线）形的调和性解决某些初等几何平分角问题时

8、，主要在于完成两个步骤，一是构造四边形，得四直线调和分割，二是设法建立交错二直线相互垂直关系，由此即可证明平分角结论。3、证线共点问题4、 例 4 设 X、Y、Z 是完全四点形 ABCD 的三个对边点，XZ 分别交 AC、BD 于L、M，证明 YZ、BL、CM 共点。证明：如图 5，在完全四点形 ABCD 中，据定理 1 的推论 1 知，边 AC 上的四个点 A、C、Y、L是一组调和点，即（AC，YL）=-1。又在完全四点形 YBZL 中，设 LB 与 YZ 交于 N，MN 交 YL 于 ,据定理 1 的推论 1 知，边 YL 上的C四点 Y、L、 、A 是一组调和点，即（ YL，A ）=-1

9、。C C由于（YL，AC ）=1，故 C ，所以 YZ，BL,CM 共点与 N。 4.证共线点问题例 5 设 D,E,F 分别是 ABC 的三边 BC,CA,AB 或者延长线上的点，且 ，则它们三点 1FBAEDC共线（梅尼劳斯定理的逆定理） 。证明：如图 6，因为 则 ，故 EF 必与 BC 相交。,1DCBEAF图 7 图 8 图 9 图 10设 EF 交 BC 于 ，连 BE 交于 H 点，连 AH 交 BC 于 F ，得到完全四点形 AFHE，由定理 1 的D 推论有（ ）=BCF, 1 又 共点于 H，由赛瓦定理有EA 1 BAEC(1) (2)得,又 ，故有 ，且 、 在 BC 上

10、，从而 ，所以1 FBCD 1FBAD DC重合，即 共线。,E,仿此可证朱德祥编高等几何P66 第 4,8 题。由以上说明处理共点、共线的问题，最常用的方法一是把平行四边形视为四点形或四线形，二是用重合法进行证明。5、证线平行问题例 6 如图 7 在 ABC 中，AD 是 A 的内角平分线，在 AD 上任取点 P，连 BP 交 AC 于 F，连 CP 交 AB 于 E，EF 交 BC 于 H，求证：垂直于 AH 的直线平行于 AD。证明：如图 7，设 BAD= DAC= ， DAH= ， CAH= 。视四边形 AEPF 为完全四边形，则由定理 2 的推论 2 或定理 1 有（AB、AC 、A

11、D、AH）=-1又由线束交比的几何意义，即得（AB、AC，AD、AH）= = =-1),sin(),si(ADCHB)sin(si(故 sin =sin（ + ） ，又 sin =sin（ - ）所以 sin（ - ）= sin （ + ）即 ，故 或 ，于是 或 。0sinco 0cosin2但 是 ABC 的一个内角，不可能等于 ，所以 ，从而 ，即垂直于 AH 的ADH直线平行于 AD，并且 AH 即为 A 的外角平分线。由例 1 及本例不难得到利用完全四点（线）形的调和性质证明二直线平行的一般方法。6.证比例线段问题例 7 已知在 中，点 是 的中点， ， 交 于 ，求证：BCDEBF

12、2ECG。ACG51证明：如图 8，连 交 于 H，过 E 作 交 于 ，连 交 于 ，视ADAAB为完全四点形。F因 E 为 中点，且 ，所以 为 之中位线， 为 之中点，由初等几ABEBDBCE何知识易证 ，所以321),(3AAGF由定理 1，得),(即 1)32(32),( AGAGAG即 ， ,所以AG54ACH412 。由此题的证明，不难得到更一般性的结论成立。推广：在 ABCD 中,E 在 AB 上，F 在 AD 上，且 EF 交 AC 于,DnBmEG，则 n证明略。例 8 在四边形 ABCD 中, 对角线 AC 平分BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,

13、 延长DF 交 BC 于 G, 求证GAC=EAC.证明:过 A 作 AC 的垂线与 BD 交于 S,SD 交 AC于 T,则( BD, TS) =- 1.连 GE 交 BD 于 S1,GE 交 AC 于 R. 在完全四点形 CEFG 中, 根据调和性质( BD,TS1) =- 1有( BD, TS) =( BD, TS1) 知 S 和 S1 重合。又 ACAS,且 ( GE, RS) =( BD, TS) =- 1知 AC 与 AS 是EAC 的内外角平分线,所以GAC=EAC7.解决作图问题从以上可以看出，利用完全四点（线）形的调和性质可以使我们由纯粹几何方法得到调和共轭点列或调和共轭线束

14、，即仅用直尺可作出已知点列上的三点的第四调和点或已知线束中三直线的第四调和直线的方法。例 8 已知共线三点 F、E、G ，求作第四点 p，使得 或 1PGFE解：如图 9,过 E、F 分别任作一直线交于点 A，在 FA 上任取一点 B，连接 BG 交 EA 于点C，再连接 FC、EB，这两条连线交于点 D，连接 A、D 与已知直线的交点 p 即为所求。由以上作图可看出，如果点偶 与 和共轭，则存在一个完全四点形 ABCD，两对21,Q1对边分别交于 ，另一对对边分别通过 ；反过来，两对点偶对于一个完全四点形有以p21,上关系时，必成调和共轭。于是有：命题一：一直线 1 上的点偶 与 成为调和共

15、轭的充要条件是： 是一个完2121 p21,全四点形的对边点； 是通过第三个对边点的两条对边 2与 1 的交点。-例 9 已知线束中的三直线 a、b、c，求作直线 d 使（ab,cd）=-1。解：如图 10，设线束中心为 S，以直线 1 方分别截 a、b、c 于 A、B、C，在直线 c 上任取一点Q，连 AQ 交 b 于点 R，连 BQ 交 a 于点 P，连 PR 交 1 于点 D，则直线 SD 即为所求。因为 SPQR 构成以完全四点形，所以有（AB，CD ）=-1 ，从而（ab,cd）=（AB ，CD）=-1。由此例题，易得如下命题（即上述命题 1 的对偶命题）结论成立。命题 2：易得 P 上的线束 与 为调和共轭的充要条件是： 是一个完全四线形21,q2 a21,的两边， 是对点三角形顶点与 P 的连线。q1,除上述外，完全四点形（四线形）的调和性质更为广泛的应用还有待于我们进一步研究。参考文献1 朱德祥.高等几何.高等教育出版社.2 梅向明 刘增贤 林向岩.高等几何.高等教育出版社 .（责任编辑 亚涛）