1、2015-2016 学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科） （八）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若 z（1+i）=2+i（i 是虚数单位） ，则 z=（ ）A B C D2 （5 分）甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为 0.8 与 0.7，且预报准确与否相互独立那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是（ ）A0.06 B0.24 C0.56 D0.943 （5 分）命题“存在 x0R，2 x00”的否定是（ ）A不存在 x0R，2 x0
2、0 B存在 x0R，2 x00C对任意的 xR，2 x0 D对任意的 xR，2 x04 （5 分）若双曲线 =1 上一点与其左顶点、右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形，则此双曲线的离心率为（ ）A B C2 D25 （5 分）下列各式中，值为 的是（ ）Asin15 cos15 BC D6 （5 分）如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为 4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处，则该小虫爬行的最短路程为 ，则圆锥底面圆的半径等于（ ）A1m B C D2m7 （5 分）如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若 = + ，则 +
3、 的值为（ ）A B C1 D18 （5 分）执行右面的程序框图，如果输入的 N=10，那么输出的 S=（ ）A BC D9 （5 分）若（ax 2+x+y） 5 的展开式的各项系数和为 243，则 x5y2 的系数为（ ）A10 B20 C30 D6010 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 +，则 a=（ ）A B1 C2 D311 （5 分）如图：M（x M，y M） ，N （x N，y N）分别是函数 f（x）=Asin（x+） （A0， 0）的图象与两条直线 l1：y=m，l 2：y=m （A m 0）的两个交点，记 S=|xNxM|，则 S（m）图象大致是（ ）
4、A B C D12 （5 分）已知 a，bR，直线 y=ax+b+ 与函数 f（x）=tanx 的图象在 x= 处相切，设 g（x）=ex+bx2+a，若在区间 1，2上，不等式 mg（x）m 22 恒成立，则实数 m（ ）A有最小值e B有最小值 e C有最大值 e D有最大值 e+1二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若圆 C：x 2+y24x+2y+m=0 与 y 轴交于 A，B 两点，且ACB=90 ，则实数 m 的值为 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 15 （5 分）已知函数 f（x） =ln（x+ ）+ax 7+
5、bx34，其中 a，b 为常数，若 f（3）=4，则 f（3）= 16 （5 分）如图，平面上有四个点 A、B、P、Q，其中 A、B 为定点，且 AB= ，P、Q 为动点，满足AP=PQ=QB=1，又APB 和 PQB 的面积分别为 S 和 T，则 S2+T2 的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）S n 为数列a n的前 n 项和，对任意 nN*，都有 Sn=2an1（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列 的前 n 项和为 Tn，求使得|T n2| 成立的 n 的最小值18 （12 分）如图，在四棱锥 PAB
6、CD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABAD，ABCD ，AB=2AD=2CD=2 ，PC=2 ，E 是 PB 上的点（1）求证：平面 EAC平面 PBC；（2）若 E 是 PB 的中点，求二面角 PACE 的余弦值19 （12 分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在髙三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图年级名次是否近视150 9511000近视 41 32不近视 9 18（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视
7、的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在 150 名和 9511000 名的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否有 95%的把握认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2 ）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这 9 人中任取 3 人，恰好有 2 人的年级名次在 150 名的概率附：P（K 2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2= 20 （12 分）已知椭圆
8、 E： + =1（ab0）的一个焦点为 F2（1，0） ，且该椭圆过定点M（1， ） （I）求椭圆 E 的标准方程；（）设点 Q（2，0） ，过点 F2 作直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且 = ，若 2，1以QA，QB 为邻边作平行四边形 QACB，求对角线 QC 的长度的最小值21 （12 分）已知函数 f（x） =lnxmx（mR） （）讨论函数 f（x）的单调区间；（）当 m 时，设 g（ x）=2f（x）+x 2 的两个极值点 x1，x 2（x 1x 2）恰为 h（x）=lnx cx2bx 的零点，求 y=（x 1x2）h（ ）的最小值请考生在 22、23、24 三题中任选
9、一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，在ABC 中，DCAB 于 D，BEAC 于 E，BE 交 DC 于点 F，若BF=FC=3，DF=FE=2 （1）求证：AD AB=AEAC；（2）求线段 BC 的长度选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，已知曲线 C：= sin（ ） ，P 为曲线 C 上的动点，定点 Q（1， ） （）将曲线 C 的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（）求 P、Q 两点的最短距离选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|2x+1| |x2|（1）求不等式 f（x）2 的解集；（2）xR ，
10、使 f（x）t 2 t，求实数 t 的取值范围2015-2016 学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科） （八）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2015 秋 济南期末）若 z（1+i ）=2+i（i 是虚数单位） ，则 z=（ ）A B C D【分析】由 z（1+i）=2+i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则答案可求【解答】解：由 z（1+i）=2+i，得 z= 故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2 （5 分
11、） （2012 春 西城区期末）甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8 与 0.7，且预报准确与否相互独立那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是（ ）A0.06 B0.24 C0.56 D0.94【分析】求得甲气象台预报不准确的概率为（10.8） ，乙气象台预报不准确的概率为（1 0.7） ，相乘即得所求【解答】解：甲气象台预报不准确的概率为（10.8）=0.2 ，乙气象台预报不准确的概率为（1 0.7）=0.3，故在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是 0.20.3=0.06，故选 A【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的
12、概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题3 （5 分） （2016 衡水校级模拟）命题“存在 x0R，2 x00”的否定是（ ）A不存在 x0R，2 x00 B存在 x0R，2 x00C对任意的 xR，2 x0 D对任意的 xR，2 x0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题“存在 x0R，2 x00”的否定是对任意的 xR，2 x0，故选：D【点评】此题考查了命题的否定，熟练掌握含有量词的命题的否定是解本题的关键4 （5 分） （2016 秋 襄城区校级月考）若双曲线 =1 上一点与其左顶点、右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形，则此双曲线的离心率为（ ）A
13、B C2 D2【分析】设出左顶点为 A（a，0） ，右焦点为 F（c，0） ，由条件可得|PF|= |AF|，且 PFx 轴，可得|PF|=a+c，令 x=c，代入计算可得 |PF|= ，再由 a，b，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：设双曲线上一点为 P，左顶点为 A（ a，0） ，右焦点为 F（c，0） ，由题意可得|PF|=|AF |，且 PFx 轴，可得|PF|=a+c，由 x=c 代入双曲线的方程可得 y=b = ，可得 a（a+c）=b 2=c2a2=（ca） （c+a） ，即为 c=2a，可得 e= =2故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等腰
14、直角三角形的概念，考查运算能力，属于基础题5 （5 分） （2015 秋 赤峰校级期末）下列各式中，值为 的是（ ）Asin15 cos15 BC D【分析】由条件利用二倍角公式、两角和的差三角公式，求出各个选项中式子的值，从而得出结论【解答】解：由于 sin15cos15= sin30= ，故排除 A由于 =cos = ，故排除 B由于 =tan60= ，满足条件由于 =cos15=cos（4530）=cos45cos30 +sin45sin30= ，故排除 D，故选：C【点评】本题主要二倍角公式、两角和的差三角公式，属于基础题6 （5 分） （2016 衡水一模）如图，一竖立在水平对面上的
15、圆锥形物体的母线长为 4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处，则该小虫爬行的最短路程为 ，则圆锥底面圆的半径等于（ ）A1m B C D2m【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为 PP，由余弦定理求出 设底面圆的半径为 r，求解即可得到选项【解答】解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为 PP，由余弦定理可得 ， 设底面圆的半径为 r，则有 ， 故 C 项正确故选：C【点评】本题考查空间几何体的表面展开图的应用，最小值的求法，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力7 （5 分） （2016 潍坊校级二模）如图，正方形
16、 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若 = + ，则 + 的值为（ ）A B C1 D1【分析】利用向量转化求解即可【解答】解：由题意正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，可知： = 则 + 的值为： 故选：A【点评】本题考查向量的几何意义，考查计算能力8 （5 分） （2013 新课标）执行右面的程序框图，如果输入的 N=10，那么输出的 S=（ ）A BC D【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能【解答】解：框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 赋值，S=0+1=1，k=1 +1=2；判断 k10 不成立，执行 S=
17、1+ ，k=2+1=3；判断 k10 不成立，执行 S=1+ + ，k=3+1=4；判断 k10 不成立，执行 S=1+ + + ，k=4+1=5；判断 i10 不成立，执行 S= ，k=10+1=11；判断 i10 成立，输出 S= 算法结束故选 B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律9 （5 分） （2015 秋 武汉校级期末）若（ax 2+x+y） 5 的展开式的各项系数和为 243，则 x5y2 的系数为（ ）A10 B20 C30 D60【分析】根据各项系数和求出 a 的值，再利用乘方的意义求出 x5y2 的系数【解答】解：令 x=y=1，可
18、得（ax 2+x+y） 5 的展开式的各项系数和为（a+2） 5=243，a=1， （x 2+x+y） 5=（x 2+x+y） 5而（ax 2+x+y） 5 表示 5 个因式（ax 2+x+y）的积，故有 2 个因式取 y，2 个因式取 x2，剩下的一个因式取x，可得函 x5y2 的项，故 x5y2 的系数为 =30，故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的应用，乘方的意义，属于基础题10 （5 分） （2016 春 长沙校级月考）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 +，则 a=（ ）A B1 C2 D3【分析】由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左边是一个三棱锥，右面是一个圆柱的一半利用体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左边是一个三棱锥，右面是一个圆柱的一半该几何体的体积为 += + a22，解得 a=1故选：B【点评】本题考查了三棱锥与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分） （2015 南昌一模）如图：M（x M，y M） ，N（x N，y N）分别是函数 f（x）=Asin （ x+）（A0，0）的图象与两条直线 l1：y=m ，l 2：y=m（Am0）的两个交点，记 S=|xNxM|，则S（m）图象大致是（ ）A B C D
