1、2015-2016 学年湖南省常德一中高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x2250，B= 5，0，1，则（ ）AAB= BBA CAB=0，1 DA B2 （5 分）已知命题 p：x（0，+） ，2 xx 2，命题 q： x（0，+） ，x+ 20，则 （ ）Apq 为假 Bpq 为真 Cpq 为真 Dpq 为假3 （5 分）已知向量 ， 夹角为 60，且| |=1，|2 |=2 ，则|2 + |=（ ）A B2 C6 D24 （5 分）过椭圆 + =1（
2、ab0）的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F 2 为右焦点，若F 1PF2=60，则椭圆的离心率为（ ）A B C D5 （5 分）已知等差数列a n中，|a 3|=|a9|，公差 d0； Sn 是数列a n的前 n 项和，则（ ）AS 5S 6 BS 5S 6 CS 6=0 DS 5=S66 （5 分）已知圆 C：x 2+y2=4，若点 P（x 0，y 0）在圆 C 外，则直线 l：x 0x+y0y=4 与圆 C 的位置关系为（ ）A相离 B相切 C相交 D不能确定7 （5 分）若 f（x）=e xaex 为奇函数，则 的解集为（ ）A （，2） B （一，1） C （2，+）
3、 D （1，+）8 （5 分）已知关于 x，y 的不等式组 ，所表示的平面区域的面积为 l6，则 k 的值为（ ）Al B0 C1 D39 （5 分）已知 f（x）=2sin（2x+ ） ，若将它的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）图象的一条对称轴的方程为（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=10 （5 分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A10cm 3 B20cm 3 C30cm 3 D40cm 311 （5 分）已知函数 f（x） =asinx+bx3+4（aR，b R） ，f（x）为 f（x）的导函数，则 f（2014）+f
4、（ 2014）+f （ 2015）f（2015）=（ ）A0 B2014 C2015 D812 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（x 2）=f（2+x） ，且当 x2，0时，f（x）= 1，若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0 恰有 3 个不同的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （1，2） B （2，+） C （1， ） D （ ，2）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知 sin（ x） = ，则 sin2x 的值为 14 （5 分）已知过点 P（2，2）的直线与圆（x1） 2+y2=5
5、 相切，且与直线 axy+1=0 垂直，则 a= 15 （5 分）已知 x0，y0，若 + m 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 16 （5 分）在ABC 中，三内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2=b2+c2+bc，a= ，S 为ABC的面积，则 S+ cosBcosC 的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （10 分）已知圆 C 的极坐标方程为 =2cos，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，t R） （）求直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；（）求直线 l 与圆 C 相交的弦长18 （12 分）a n为公差不为 0
6、的等差数列，a 1=1 且 a1、 a3、a 9 成等比数列（）求数列a n的通项公式；（）若数列a n的前 n 项和为 Sn，求数列 的前 n 项和19 （12 分）某市举行了“高速公路免费政策”满意度测评，共有 1 万人参加了这次测评（满分 100 分，得分全为整数） 为了解本次测评分数情况，从中随机抽取了部分人的测评分数进行统计，整理见下表：组別 分组 频数 频率1 50，60） 60 0.122 60，70 120 0.243 70，80） 180 0.364 80，90） 130 c5 90，100 a 0.02合计 b 1.00（1）求出表中 a，b，r 的值；（2）若分数在 60
7、 分以上（含 60 分）的人对“高速公路免费政策 ”表示满意，现从全市参加了这 次满意度测评的人中随机抽取一人，求此人满意的概率；（3）请你估计全市的平均分数20 （12 分）已知四棱锥 ABCDE，其中 AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面 ABC，BECD，F 为 AD的中点（）求证：EF面 ABC；（）求证：平面 ADE平面 ACD；（）求四棱锥 ABCDE 的体积21 （12 分）已知椭圆 E： （ab0） ，F 1（c，0） ，F 2（c，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为 3（1
8、）求椭圆 E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且 ，求出该圆的方程22 （12 分）已知函数 f（x） =xlnx，g（x）=（x 2+ax3）e x（a 为实数） （）当 a=5 时，求函数 y=g（x）在 x=1 处的切线方程；（）求 f（x）在区间t，t+2（t0）上的最小值；（）若存在两不等实根 x1，x 2 ，e ，使方程 g（x）=2e xf（x）成立，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年湖南省常德一中高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每
9、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2015 秋 常德校级月考）已知集合 A=x|x2250，B= 5，0，1，则（ ）AAB= BBA CAB=0，1 DA B【分析】通过解不等式求得集合 A，然后再来确定集合 A、B 的关系【解答】解：A=x|x 2250=（5，5） 又B=5，0，1，AB=B，即 BA故选：B【点评】本题考查了不等式的解集表示、集合的元素表示法，属于基础题2 （5 分） （2015 秋 常德校级月考）已知命题 p：x （ 0，+） ，2 xx 2，命题 q： x（0，+） ，x+ 2 0，则 （ ）Apq 为假 Bpq 为真 Cpq 为真
10、Dpq 为假【分析】举出正例 x=3，可判断命题 p 的真假，举出反例 x=1，可判断命题 q 的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案【解答】解：当 x=3 时，2 xx 2，故命题 p： x（0，+） ，2 xx 2 为真命题；x=1 时，x+ 2=0，故命题 q：x（0，+） ，x+ 20 为假命题，故 pq 为真命题；pq 为假命题；pq 为真命题；pq 为真命题；故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数图象和性质，对勾函数的图象和性质，复合命题，难度中档3 （5 分） （2015 秋 常德校级月考）已知向量 ， 夹角为 60，且| |=1，|2 |=
11、2 ，则|2 + |=（ ）A B2 C6 D2【分析】由题意利用两个的数量积的运算可得| |=4，可得 =2，从而求得 =4 + +4的值，可得|2 + |的值【解答】解：向量 ， 夹角为 60，且| |=1，|2 |=2 ， =1| |cos60= ，且 4 + 4 =4+ 2| |=12，| |=4， =2，则 =4 + +4 =4+16+8=28，|2 + |=2 ，故选：B【点评】本题主要考查两个的数量积的运算，求向量的模的方法，属于基础题4 （5 分） （2009 江西）过椭圆 + =1（ab0）的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F 2 为右焦点，若F 1PF2=60
12、，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】把 x=c 代入椭圆方程求得 P 的坐标，进而根据F 1PF2=60推断出 = 整理得e2+2e =0，进而求得椭圆的离心率 e【解答】解：由题意知点 P 的坐标为（c， ）或（ c， ） ，F 1PF2=60， = ，即 2ac= b2= （a 2c2） e2+2e =0，e= 或 e= （舍去） 故选 B【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力5 （5 分） （2016 河南模拟）已知等差数列a n中，|a 3|=|a9|，公差 d0；S n 是数列a n的前 n 项和，则（ ）AS 5S 6 BS
13、 5S 6 CS 6=0 DS 5=S6【分析】先根据 d0，|a 3|=|a9|确定 a30，a 90，且 a3+a9=0，进而根据等差中项性质可知 a6=0，进而可推断 a50，a 70；最后根据 S6=S5+a6 进而推断出 S6=S5【解答】解：d0，|a 3|=|a9|，a 30，a 90，且 a3+a9=0，a 6=0，a 50 ，a 70；S 5=S6故选 D【点评】本题主要考查了等差数列的性质属基础题6 （5 分） （2015 洛阳二模）已知圆 C：x 2+y2=4，若点 P（x 0，y 0）在圆 C 外，则直线 l：x 0x+y0y=4 与圆C 的位置关系为（ ）A相离 B相
14、切 C相交 D不能确定【分析】由条件可得得 x02+y02 4，再利用点到直线的距离公式求得圆心 C（0，0）到直线 l 的距离 d 小于半径，可得结论【解答】解：由点 P（x 0，y 0）在圆 C：x 2+y2=4 外，可得 x02+y02 4，求得圆心 C（0，0）到直线 l：x 0x+y0y=4 的距离 d= =2，故直线和圆 C 相交，故选：C【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题7 （5 分） （2015 秋 漳州校级月考）若 f（x）=e xaex 为奇函数，则 的解集为（ ）A （，2） B （一，1） C （2，+） D
15、（1，+）【分析】根据函数奇偶性的性质先求出 a 的值，结合函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：f（x）=e xaex 为奇函数，f（0）=0 ，即 f（0）=1 a=0，则 a=1，即 f（x）=e xex，则函数 f（x）在（ ，+）上为增函数，则 f（1）=e ，则不等式 f（x1）e 等价为 f（x1）f（1） ，即 x1 1，解得 x2，即不等式的解集为（，2） ，故选：A【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出 a 的值是解决本题的关键8 （5 分） （2012 东港区校级模拟）已知关于 x，y 的不等式组 ，所表示的平面区域的面积为 l6，则 k 的值为（
16、 ）Al B0 C1 D3【分析】依题意，k0，故画出线性约束条件表示的可行域，利用三角形面积公式，数形结合即可解得 k的值【解答】解：画出可行域如图阴影部分，显然 k 一定大于零，由 得 A（4，4k +4）平面区域的面积为 S=l6S= 4AC=2（4k+4）=16解得 k=1故选 C【点评】本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题9 （5 分） （2015 济宁一模）已知 f（x）=2sin（2x+ ） ，若将它的图象向右平移 个单位，得到函数g（x）的图象，则函数 g（x）图象的一条对称轴的方程为（ ）Ax= Bx= Cx=
17、 Dx=【分析】由条件根据 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论【解答】解：f（x）=2sin（2x+ ） ，若将它的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）=2sin2（x ）+ ）=2sin（2x ）的图象，令 2x =k+ ，kz，求得 x= + ，故函数的图象的一条对称轴的方程为 x= ，故选：C【点评】本题主要考查 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题10 （5 分） （2016 河南二模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A10cm 3 B20cm 3 C30cm 3 D40cm 3
18、【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 3、4，几何体的体积 V= 345 345=20（cm 3） 故选 B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量11 （5 分） （2015 石家庄一模）已知函数 f（x）=asinx+bx 3+4（aR，b R） ，f（x）为 f（x）的导函数，则 f（20
19、14）+f（2014）+f（2015） f（ 2015）= （ ）A0 B2014 C2015 D8【分析】先求出函数的导数，判定出导函数为偶函数；得到 f（2015）f（ 2015）=0；进一步求出式子的值【解答】解：f（x）=acosx +3bx2，f（ x）=acos（x）+3b（x） 2f（x）为偶函数；f（2015）f （ 2015）=0f（2014）+f（2014）=asin（2014）+b 20143+4+asin（2014）+b（2014） 3+4=8；f（2014）+f（2014）+f（2015） f（ 2015）=8故选 D【点评】本题考查函数的导数基本运算以及奇偶性的判定
20、，属于基础题12 （5 分） （2016 桂林模拟）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（x2）=f（2+x） ，且当 x2，0时，f（x）= 1，若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0 恰有 3 个不同的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （1，2） B （2，+） C （1， ） D （ ，2）【分析】由已知中 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（x 2）=f（2+x） ，我们可以得到函数 f（x）是一个周期函数，且周期为 4，则不难画出函数 f（x）在区间（ 2，6上的图象，结合方程的解与函数的零点之间
21、的关系，我们可将方程 f（x）log ax+2=0 恰有 3 个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数 y=） logax+2 的图象恰有 3 个不同的交点，数形结合即可得到实数 a 的取值范围【解答】解：对于任意的 xR，都有 f（x 2）=f（2+x） ，函数 f（x）是一个周期函数，且 T=4又当 x2，0时，f（x） = 1，且函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，故函数 f（x）在区间（2，6上的图象如下图所示：若在区间（2， 6内关于 x 的方程 f（x）log ax+2=0 恰有 3 个不同的实数解则 loga43，log a83，解得： a2故选 D【点评】本题考查的知识点
22、是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分） （2015 上饶一模）已知 sin（ x）= ，则 sin2x 的值为 【分析】利用诱导公式和两角和公式对 sin2x 化简整理，然后把 sin（ x）= 代入即可得到答案【解答】解：sin2x=cos（ 2x）=12sin 2（ x）=故答案为【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式属基础题14 （5 分） （2016 太原校级二模）已知过点 P（2，2）的直线与圆（x1） 2
23、+y2=5 相切，且与直线 axy+1=0垂直，则 a= 2 【分析】由题意判断点在圆上，求出 P 与圆心连线的斜率就是直线 axy+1=0 的斜率，然后求出 a 的值即可【解答】解：因为点 P（2，2）满足圆（x1） 2+y2=5 的方程，所以 P 在圆上，又过点 P（2，2）的直线与圆（x1） 2+y2=5 相切，且与直线 axy+1=0 垂直，所以切点与圆心连线与直线 axy+1=0 平行，所以直线 axy+1=0 的斜率为： a= =2故答案为：2【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力15 （5 分） （2014 秋 临沂期末）已知 x0，y0，若 + m 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 4 m 2 【分析】根据题意，由基本不等式的性质，可得 + 2 =8，即 + 的最小值为 8，结合题意，可得 m2+2m8 恒成立，解可得答案【解答】解：根据题意，x0，y0，则 0， 0，则 + 2 =8，即 + 的最小值为 8，若 + m 2+2m 恒成立，必有 m2+2m8 恒成立，m2+2m8m 2+2m80，解可得，4m2，故答案为4m2【点评】本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用，关键是利用基本不等式求出 + 的最小值
