1、2015-2016 学年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）己知集合 Q=x|2x25x0，x N，且 PQ，则满足条件的集合 P 的个数是（ ）A3 B4 C7 D82 （5 分）已知命题 p：“xR，x+10”的否定是“xR，x+10”；命题 q：函数 y=x3 是幂函数，下列为真命题的是（ ）Apq Bpq Cp Dp（q）3 （5 分）给定函数 ， ，y=|x 1|， y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）A B C D
2、4 （5 分）向量 =（ 2，1） ， =（，1） ，若 与 夹角为钝角，则 取值范围是（ ）A （ ，2）（2，+） B （2，+） C （ ，+） D （， ）5 （5 分）以椭圆的右焦点 F2 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点 M、N，若直线MF1（F 1 为椭圆左焦点）是圆 F2 的切线，则椭圆的离心率为（ ）A B C 1 D26 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A9 B18+9 C18 +3 D9+187 （5 分）已知 0a1，则函数 y=a|x|logax|的零点的个数为（ ）A1 B2 C3 D48 （5 分）已知点（a，b）在圆
3、 x2+y2=1 上，则函数 f（x ）=acos 2x+bsinxcosx 1 的最小正周期和最小值分别为（ ）A B C D9 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=2xy 的最大值为（ ）A3 B C5 D610 （5 分）定义 为 n 个正数 p1，p 2，p n 的“均倒数” 若已知数列a n的前 n 项的“均倒数” 为 ，又 bn= ，则 + + =（ ）A B C D11 （5 分）函数 f（x）=sin（x+） （x R） （ 0，| ）的部分图象如图所示，如果，且 f（x 1）=f（x 2） ，则 f（x 1+x2）= （ ）A B C D112 （5 分）定义
4、在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x）+f （2） ，且当 x0，2时，y=f（x）单调递减，若方程 f（x）=m 在 2，10上有 6 个实根 x1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则 x1+x2+x3+x4+x5+x6=（ ）A6 B12 C20 D24二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）已知 x ，求 y=4x2+ 的值域14 （5 分）A、B、C 三点在同一球面上， BAC=135， BC=2，且球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，则此球 O 的体积为 15 （5 分）已知 A（1，2） ， B（3，4） ，C（
5、2，2） ，D （ 3，5） ，则向量 在向量 上的投影为 16 （5 分）如果直线 2axby+14=0（a 0，b0）和函数 f（x）=m x+1+1（m0，m 1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（xa +1） 2+（y+b2） 2=25 的内部或圆上，那么 的取值范围 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （10 分）已知集合 A=x|a1x2a +1，B=x|0x1，U=R（1）若 a= ，求 AB；A （ UB） ；（2）若 AB=，求实数 a 的取值范围18 （12 分）在三角形 ABC 中，角 A、B 、C 的对边分
6、别为 a、b、c，且三角形的面积为 S= accosB（1）求角 B 的大小（2）已知 =4，求 sinAsinC 的值19 （12 分）已知a n是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a5=45，a 2+a6=14（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 + + =an+1（nN *） 求数列b n的前 n 项和 Sn20 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAC，PCBC ，M 为 PB 的中点，D 为 AB 的中点，且AMB 为正三角形（1）求证：BC平面 PAC；（2）若 BC=4，PB=10，求点 B 到平面 DCM 的距离21 （12 分）已知 F1、F
7、 2 是椭圆 + =1（a b0）的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P（1， ）在椭圆上，且椭圆的离心率为 （）求椭圆的标准方程；（）O 是以 F1F2 为直径的圆，直线 l：y=kx +m 与 O 相切，且与椭圆交于不同的两点 A、B当 =，且 ，求AOB 面积 S 的取值范围22 （12 分）已知函数 f（x） =x2+2lnx（）求函数 f（x）的最大值；（）若函数 f（x）与 g（x ）=x + 有相同极值点，（i）求实数 a 的值；（ii）若对于“x 1，x 2 ，3 ，不等式 1 恒成立，求实数 k 的取值范围2015-2016 学年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科
8、）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分） （2014 海南模拟）己知集合 Q=x|2x25x0， xN，且 PQ，则满足条件的集合 P 的个数是（ ）A3 B4 C7 D8【分析】解出集合 Q，再根据 PQ，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合 P 的个数；【解答】解：集合 Q=x|2x25x0，x N，Q=0 ，1，2，共有三个元素，P Q，又 Q 的子集的个数为 23=8，P 的个数为 8，故选 D；【点评】此题主要考查集合的包含关系判断及应用，是一道基础题；2 （5 分） （2
9、015 秋 天水校级期末）已知命题 p：“ xR，x+10”的否定是“ xR，x+10”；命题 q：函数 y=x3 是幂函数，下列为真命题的是（ ）Apq Bpq Cp Dp（q）【分析】分别判断出 p，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：命题“xR ，x+10”的否定是p：“ xR，x+10”，故命题 p 是假命题；命题 q：函数 y=x3 是幂函数，是真命题，故 pq 是真命题，故选：B【点评】本题考查了复合命题的判断，考查命题的否定和幂函数的定义，是一道基础题3 （5 分） （2010 北京）给定函数 ， ，y=|x 1|， y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的
10、函数序号是（ ）A B C D【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质； 为增函数， 为定义域上的减函数，y=|x1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，y=2 x+1 为增函数【解答】解：是幂函数，其在（0，+ ）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数 向左平移 1 个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数 y=x1 的图象保留 x 轴上方，下方图象翻折到 x 轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象为指数函数，因其底数大于 1
11、，故其在 R 上单调递增，不合题意故选 B【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件4 （5 分） （2016 中山市校级模拟）向量 =（2， 1） ， =（，1） ，若 与 夹角为钝角，则 取值范围是（ ）A （ ，2）（2，+） B （2，+） C （ ，+） D （， ）【分析】由于 与 夹角为钝角，可知 =210，且 与 夹角不为平角，解出即可【解答】解： 与 夹角为钝角， =210，解得 ，当 =2 时， 与 夹角为平角，不符合题意因此（ ，2）（2，+） 故选：A【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题5 （5 分） （2015 秋 常德校级月
12、考）以椭圆的右焦点 F2 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点 M、N，若直线 MF1（F 1 为椭圆左焦点）是圆 F2 的切线，则椭圆的离心率为（ ）A B C 1 D2【分析】根据题意思可得：点 P 是切点，因此 PF2=c 并且 PF1PF 2，可得PF 1F2=30，可知|PF1|= c根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PF2|=2a，可得|PF 2|=2ac求得 a，由离心率公式即可求得椭圆的离心率【解答】解：设 F2 为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于 P，并且直线 PF1（F 1 为椭圆的左焦点）是该圆的切线，点 P 是切点，PF 2=c，PF 1PF 2又F 1F
13、2=2c，PF 1F2=30，|PF 1|= c根据椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF2|=2a，|PF 2|=2ac2ac= c，即 a= c，e= = = 1，故选 C【点评】本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，勾股定理及离心率公式，考查计算能力，属于中档题6 （5 分） （2015 湖南模拟）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A9 B18+9 C18 +3 D9+18【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰三角形，侧棱 PB底面 ABC 的三棱锥，结合图形，求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面是等腰三角形，侧棱 PB
14、底面 ABC 的三棱锥，如图所示；且 AC=6，PB=3 ；取 AC 的中点 D，连接 PD，BD，BDAC ，BD=3；S ABC = ACBD= 63=9，SPAB =SPBC = ABPB= 3= ，SPAC = ACPD= 6 =9 ，该几何体的表面积为S=SABC +SPAD +SPBC +SPAC =9+ + +9 =9+18 故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目7 （5 分） （2012 湖南一模）已知 0a1，则函数 y=a|x|logax|的零点的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】转化为 y=a|x
15、|与 y=|logax|的图象交点个数，利用数形结合可得结论【解答】解：f（x）=a |x|logax|的实根个数即为 y=a|x|与 y=|logax|的图象交点个数，由图可得，交点有 2 个，故 f（x）=a |x|logax|的实根个数为 2 个故选 B【点评】本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具8 （5 分） （2015 郴州模拟）已知点（a，b）在圆 x2+y2=1 上，则函数 f（x）=
16、acos 2x+bsinxcosx 1 的最小正周期和最小值分别为（ ）A B C D【分析】由点（a，b）在圆 x2+y2=1 上，得到 a2+b2=1，然后利用倍角公式降幂后由两角和的正弦化积，化为 y=Asin（x+）+k 的形式后可求周期和最值【解答】解：点（a，b）在圆 x2+y2=1 上，a 2+b2=1= 1， （tan = ） 函数的最小正周期为 ，当 sin（2x+）= 1 时，函数有最小值 故选：B【点评】本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了形如y=Asin（x+）+k 的函数的周期和最值得求法，此类问题解决的方法是先降幂，后化积，是中档题9
17、 （5 分） （2015 安徽四模）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=2xy 的最大值为（ ）A3 B C5 D6【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数 z=2xy 对应的直线进行平移，可得当 x=2，y=1 时，z 取得最大值 5【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中 A（1， 1） ，B（2，1） ，C（0.5，0.5）设 z=F（x，y）=2x y，将直线 l：z=2x y 进行平移，当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最大值z 最大值 =F（ 2， 1）=5故选：C【点评】题给出二元一次不等式组，求
18、目标函数 z=2xy 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题10 （5 分） （2015 秋 重庆校级月考）定义 为 n 个正数 p1，p 2，p n 的“ 均倒数”若已知数列a n的前 n 项的“均倒数”为 ，又 bn= ，则 + + =（ ）A B C D【分析】首先根据信息建立等量关系，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出结果【解答】解：定义 为 n 个正数 p1，p 2，p n 的“均倒数” 所以：已知数列a n的前 n 项的“均倒数”为 ，即： = ，所以 Sn=n（2n+3）则 an=SnSn1=4n+1，当 n=1 时，也
19、成立则 an=4n+1由于 bn= =2n+1，所以 = = （ ） ，则 + + = （ ）+（ ）+（ ）= （ ）= 故选：A【点评】本题考查的知识要点：信息题型的应用，数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和11 （5 分） （2015 青岛模拟）函数 f（x）=sin（x+ ） （xR ） （0，| ）的部分图象如图所示，如果 ，且 f（x 1）=f（x 2） ，则 f（x 1+x2）= （ ）A B C D1【分析】通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出 f（x 1+x2）即可【解答】解：由图知
20、，T=2 =，=2 ，因为函数的图象经过（ ） ，0=sin （ +） ，所以 = ， ， ，所以 故选 C【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力12 （5 分） （2015 秋 常德校级月考）定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x）+f （2） ，且当x0，2时，y=f（x）单调递减，若方程 f（x）=m 在2，10上有 6 个实根 x1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6=（ ）A6 B12 C20 D24【分析】确定 x=2 是函数 f（x）的对称轴，周期 T=4，结合条件，即可得
21、出结论【解答】解：f（x+4）=f（ x）+f （2） ，令 x=2，则 f（ 2+4）=f（2）+f（2） ，f（2）=2f（2） ，解得f（2）=0；又 f（x+4）=f（x） ，f（4x）=f（ x）=f（x） ，x=2 是函数 f（x）的对称轴，周期 T=4，又函数 f（x）是偶函数，关于 y 轴对称，因此 x=4 也是其对称轴，函数 f（x）在区间6，8上单调递增当 x0，2时，y=f（x）单调递减， f（2）=0，当 x0，2）时，f（x）0，不妨取 x2=2，则 f（x 2）=0 同理在区间2 ，0）上只有 f（2）=0，取 x1=2，满足 f（ x1）=0可知：x 1+x2=2
22、+2=0同理，x 3+x4=8，x 5+x6=16，x 1+x2+x3+x4+x5+x6=24，故选：D【点评】本题综合考查了函数奇偶性、单调性、周期性，考查了推理能力和数形结合能力，属于难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分） （2015 秋 常德校级月考）已知 x ，求 y=4x2+ 的值域【分析】变形已知条件，利用基本不等式求解函数的值域即可【解答】解：x ，54x 0y=4x2+ =4x5+ +3=54x+ +3，54x+ 2 =2，当且仅当 x=1 时取得最小值 2， 54x+ +3 在 x=1 时，取得最大值：1y=4x2+ 的值域：（，1
23、【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力14 （5 分） （2015 南昌校级二模）A 、B、C 三点在同一球面上，BAC=135 ，BC=2，且球心 O 到平面ABC 的距离为 1，则此球 O 的体积为 4 【分析】运用正弦定理可得ABC 的外接圆的直径 2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的体积公式计算即可得到【解答】解：由于BAC=135，BC=2，则ABC 的外接圆的直径 2r= =2 ，即有 r= ，由于球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，则由勾股定理可得，球的半径 R= = = ，即有此球 O 的体积为 V= R3= （ ） 3=4 故答案为：4 【点评】本题考查球的体积的求法，主要考查球的截面的性质：球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：求三角形的外接圆的直径，属于中档题
