1、2015-2016 学年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）lgx，lgy，lgz 成等差数列是由 y2=zx 成立的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2 （5 分）已知 i 为虚数单位， aR，若（a1） （a+1+i ）是纯虚数，则 a 的值为（ ）A1 或 1 B1 C 1 D33 （5 分）已知等差数列a n的首项为 4，公差为 2，前 n 项和为 Sn，若 Skak+5=44（k N*） ，则 k 的值为（
2、 ）A6 B7 C8 D7 或84 （5 分）集合 A=（x，y）|xy+40，B=（x，y）|yx（x2），则集合 AB 的所有元素组成的图形的面积是（ ）A B C D225 （5 分）若函数 f（x）=2sin（x+ ） （0）的图象与 x 轴相邻两个交点间的距离为 2，则实数 的值为（ ）A B2 C D6 （5 分）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 ，则 k=（ ）A B C D27 （5 分）函数 f（x）=|sinx|+2|cosx |的值域为（ ）A1，2 B ，3 C2， D1， 8
3、（5 分）某公司新招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门则不同的分配方案有（ ）A36 种 B38 种 C108 种 D114 种9 （5 分）三棱锥 SABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（ ）A2 B4 C D1610 （5 分）双曲线 =1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2 渐近线分别为 l1，l 2，位于第一象限的点 P 在 l1 上，若 l2PF 1，l 2PF 2，则双曲线的离心率是（ ）A B C2 D11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1：（
4、x+1） 2+（y6） 2=25，圆 C2：（x17） 2+（y30） 2=r2，若圆 C2 上存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 一次交于点 A，B，满足|PA|=2|AB|，则半径 r的取值范围是（ ）A5，55 B5，50 C10，50 D10，5512 （5 分）已知函数 ，如在区间（1，+）上存在 n（n2）个不同的数x1，x 2，x 3，x n，使得比值 = = 成立，则 n 的取值集合是（ ）A2，3，4，5 B2，3 C2，3，5 D2，3，4二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）在半径为 2 的球面上有不同的四点 A，B
5、，C，D，若 AB=AC=AD=2，则平面 BCD 被球所截得图形的面积为 14 （5 分）已知 x，yR，满足 x2+2xy+4y2=6，则 z=x2+4y2 的最小值为 15 （5 分）直线 y=a 分别与曲线 y=2（x+1） ，y=x+lnx 交于 A、B，则|AB |的最小值为 16 （5 分）手表的表面在一平面上整点 1，2，12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 1 的圆周上从整点 i 到整点 i+1 的向量记作 ，则 + + = 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足
6、 Sn=2an1，等差数列b n满足 b1=1，b 4=S8（1）求数列a n，b n的通项公式；（2）设 ，求数列c n的前 n 项和 Tn18 （12 分）在ABC 中，A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若B= C，且，求ABC 的面积的最大值19 （12 分）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 ACC1A1 与侧面 CBB1C1 都是菱形，ACC 1=CC 1B1=60，AC=2（1）求证：AB 1CC 1；（2）若 ，求二面角 CAB1A1 的正弦值20 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为 的椭圆 C： + =1（ab0）的左顶点为 A，过原点
7、 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于M，N 两点若直线 PQ 斜率为 时，PQ=2 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）试问以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线 PQ 的斜率无关）？请证明你的结论21 （12 分）已知函数 f（x） =ex ，g（x）=2ln（ x+1）+e x（I）x（ 1，+）时，证明： f（x）0；（）a0，若 g（x）ax +1，求 a 的取值范围请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，圆周角BAC 的平分线与圆交
8、于点 D，过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E，AD 交 BC 于点 F（）求证：BCDE ；（）若 D，E，C，F 四点共圆，且 = ，求BAC 选修 4-4：坐标系与参数方程23已知椭圆 C： =1，直线 l： （ t 为参数） （）写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程；（）设 A（1，0） ，若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等，求点 P 的坐标选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|2x a|+|x+1|（）当 a=1 时，解不等式 f（x）3；（）若 f（x）的最小值为 1，求 a 的值2015-2016 学年河北省衡水
9、中学高三（上）五调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2013 天津模拟）lgx，lgy ，lgz 成等差数列是由 y2=zx 成立的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据题中已知条件先证明充分性是否成立，然后证明必要性是否成立，即可的出答案【解答】解：lgx，lgy，lgz 成等差数列，2lgy=lgxlgz，即 y2=zx，充分性成立，因为 y2=zx，但是 x，z 可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A【
10、点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题2 （5 分） （2014 高州市模拟）已知 i 为虚数单位，a R，若（a 1） （a+1+i）是纯虚数，则 a 的值为（ ）A1 或 1 B1 C 1 D3【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出【解答】解：（a1） （a+1+i）=（a 21）+（a1）i 是纯虚数， ，解得 a=1故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则和纯虚数的定义，属于基础题3 （5 分） （2015 秋 衡水校级月考）已知等差数列a n的首项为 4，公差为 2，前 n 项和为 Sn，若Skak
11、+5=44（k N*） ，则 k 的值为（ ）A6 B7 C8 D7 或8【分析】利用等差数列a n的通项公式与求和公式可得：a k+5，S k，又 Skak+5=44，代入解出即可得出【解答】解：等差数列a n的首项为 4，公差为 2，S k=4k+ =k2+3k，a k+5=4+2（k+4）=2k+12，又 Skak+5=44，k 2+3k（12+2k ）=44，化为 k2+k56=0，kN *，解得 k=7故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （5 分） （2015 秋 衡水校级月考）集合 A=（x，y）|xy+40，B= （x，
12、y）|yx（x2），则集合AB 的所有元素组成的图形的面积是（ ）A B C D22【分析】作出图形，则集合 AB 的所有元素组成的图形为直线与抛物线围成的封闭区域，使用定积分求出其面积【解答】解：作出约束条件表示的平面区域如图所示，解方程组 得 或 M（1.3） ，N （4，8） 直线与抛物线围成的封闭区域面积是： = =（ + +4x）| = 故选 C【点评】本题考查了了集合的表示法，曲边封闭图形的面积求法，作出平面区域是关键5 （5 分） （2015 秋 衡水校级月考）若函数 f（x）=2sin（x+ ） （0）的图象与 x 轴相邻两个交点间的距离为 2，则实数 的值为（ ）A B2 C
13、 D【分析】由题意可得出函数的周期为 4，再根据 y=Asin（x+）的周期即可求出 的值【解答】解：根据题意，得函数 f（x）的周期为 T=22= ，解得 = 故选：D【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，是基础题目6 （5 分） （2015 上饶一模）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，点 M（ 2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 ，则 k=（ ）A B C D2【分析】斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x2） ，代入抛物线方程，利用 =（x 1+2，y 12）（x 2+2，y 22）=0，即可求出 k 的值【解答】解：由抛物
14、线 C：y 2=8x 得焦点（2，0） ，由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x2） ，代入抛物线方程，得到 k2x2（4k 2+8）x+4k 2=0，0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） x 1+x2=4+ ，x 1x2=4y 1+y2= ，y 1y2=16，又 =0， =（x 1+2，y 12） （ x2+2，y 22）= =0k=2故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题7 （5 分） （2015 唐山一模）函数 f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（ ）A1，2 B ，3 C2， D
15、1， 【分析】先将函数 y=|sinx|+2|cosx|的值域当 x0， 时，y=sinx+2cosx 的值域，利用两角和与差的正弦函数化简，由正弦函数的性质求出函数的值域【解答】解：函数 y=|sinx|+2|cosx|的值域当 x0， 时，y=sinx+2cosx 的值域，y=sinx+2cosx= （其中 是锐角， 、 ） ，由 x0， 得，x+， +，所以 cossin（x+）1，即 sin（x+ ）1，所以 ，则函数 y=|sinx|+2|cosx|的值域是1， ，故选：D【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，正弦函数的性质，将函数 y=|sinx|+2|cosx|的值域当 x0，时
16、，y=sinx+2cosx 的值域，是解题的关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题8 （5 分） （2005 海淀区二模）某公司新招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门则不同的分配方案有（ ）A36 种 B38 种 C108 种 D114 种【分析】分类讨论：甲部门要 2 个 2 电脑编程人员和一个翻译人员；甲部门要 1 个电脑编程人员和1 个翻译人员分别求得这 2 个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论【解答】解：由题意可得，有 2 种分配方案：甲部门要 2 个电脑编程人员，则有 3 种情况；
17、翻译人员的分配有 2 种可能；再从剩下的 3 个人中选一人，有 3 种方法根据分步计数原理，共有 323=18 种分配方案甲部门要 1 个电脑编程人员，则方法有 3 种；翻译人员的分配方法有 2 种；再从剩下的 3 个人种选 2 个人，方法有 3 种，共 323=18 种分配方案由分类计数原理，可得不同的分配方案共有 18+18=36 种，故选：A【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法，属于中档题9 （5 分） （2016 淄博一模）三棱锥 SABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（ ）
18、A2 B4 C D16【分析】由已知中的三视图可得 SC平面 ABC，底面 ABC 为等腰三角形，SC=4 ，ABC 中AC=4，AC 边上的高为 2 ，进而根据勾股定理得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得 SC平面 ABC，且底面ABC 为等腰三角形，在ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，故 BC=4，在 Rt SBC 中，由 SC=4，可得 SB=4 ，故选 B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键10 （5 分） （2015 柳州一模）双曲线 =1（a 0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2 渐近线分别为l
19、1，l 2，位于第一象限的点 P 在 l1 上，若 l2PF 1，l 2PF 2，则双曲线的离心率是（ ）A B C2 D【分析】由双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，渐近线分别为 l1，l 2，点 P 在第一 象限内且在 l1 上，知 F1（ c，0）F 2（c，0）P（x，y） ，由渐近线 l1 的直线方程为 y= x，渐近线 l2 的直线方程为 y= x，l 2PF 2，知 ay=bcbx，由 ay=bx，知 P（ ， ） ，由此能求出离心率【解答】解：双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，渐近线分别为 l1，l 2，点 P 在第一 象限内且
20、在 l1 上，F 1（c，0）F 2（c ，0）P（x，y） ，渐近线 l1 的直线方程为 y= x，渐近线 l2 的直线方程为 y= x，l 2PF 2， ，即 ay=bcbx，点 P 在 l1 上即 ay=bx，bx=bc bx 即 x= ，P（ ， ） ，l 2PF 1， ，即 3a2=b2，a 2+b2=c2，4a 2=c2，即 c=2a，离心率 e= =2故选 C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和双曲线位置关系的灵活运用11 （5 分） （2015 秋 衡水校级月考）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1：（x+1） 2+（y6） 2=25
21、，圆C2：（x17） 2+（y30） 2=r2，若圆 C2 上存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 一次交于点A，B，满足|PA |=2|AB|，则半径 r 的取值范围是（ ）A5，55 B5，50 C10，50 D10，55【分析】求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径 r 的取值范围即可【解答】解：圆 C1：（x+1） 2+（y 6） 2=25，圆心（1，6） ；半径为：5圆 C2：（x17） 2+（y30） 2=r2圆心（17，30） ；半径为：r两圆圆心距为： =30如图：PA=2AB，可得 AB 的最大值为直径，此时 C2A=20，r 0当半径扩大到 55
22、 时，此时圆 C2 上只有一点到 C1 的距离为 25，而且是最小值，半径再大，没有点满足 PA=2ABr5，55故选：A【点评】本题考查两个圆的位置关系直线与圆的综合应用考查分析问题解决问题的能力12 （5 分） （2015 秋 牡丹江校级期末）已知函数 ，如在区间（1，+）上存在 n（n2）个不同的数 x1，x 2，x 3，x n，使得比值 = = 成立，则 n 的取值集合是（ ）A2，3，4，5 B2，3 C2，3，5 D2，3，4【分析】作出 f（x）的图象， = = 的几何意义为点（x n，f（x n） ）与原点的连线有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论【解答】解： 的几何意义为点（x n，f（x n） ）与原点的连线的斜率， = = 的几何意义为点（x n，f（x n） ）与原点的连线有相同的斜率，作出函数 f（x）的图象，在区间（ 1，+）上，y=kx 与函数 f（x）的交点个数有 1 个，2 个或者 3 个，故 n=2 或 n=3，即 n 的取值集合是2，3故选：B
